(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题3.pdf
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1、专题专题 3.53.5 导数的综合应用导数的综合应用【考纲解读】【考纲解读】考 点考纲内容5 年统计分析预测2013浙江文科 21,理科8,22;1.1.以研究函数的单调性、单调区间、极值(最值)等问题为主,2014浙江文科 21,理科 22;与不等式、函数与方程、函数的2017浙江卷 7,20.图象相结合;2.2.单独考查利用导数研究函数的了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数导数在研究函数中的应用小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值,会用导数解决某些实际问题.的极大值、极某一性质以小题呈现,综合研究函数的性质以大题呈现;3.3.适度关注生活中的优化问题.3.3.备考
2、重点:备考重点:(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础;(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值(最值)的基本方法,灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等,分析问题解决问题.【知识清单】【知识清单】1.1.利用导数研究函数的图象与性质利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处,然后根据不同之处研究函数的相关性质,进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂,但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.对点练习:对点练习:【2017 浙江卷】函数 y=
3、f(x)的导函数y f(x)的图像如图所示,则函数 y=f(x)的图像可能是【答案】D2 2与函数零点有关的参数范围问题与函数零点有关的参数范围问题1方程f(x)0有实根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f(x)有零点2求极值的步骤:先求f(x)0的根x0(定义域内的或者定义域端点的根舍去);分析x0两侧导数f(x)的符号:若左侧导数负右侧导数正,则x0为极小值点;若左侧导数正右侧导数负,则x0为极大值点.3求函数的单调区间、极值、最值是统一的,极值是函数的拐点,也是单调区间的划分点,而求函数的最值是在求极值的基础上,通过判断函数的大致图像,从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.4
4、函数y f(x)的零点就是f(x)0的根,所以可通过解方程得零点,或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.对点练习:对点练习:【2016 新课标 1 卷】已知函数fxx2e ax1有两个零点.x2(I)求a的取值范围;(II)设x1,x2是fx的两个零点,证明:x1 x2 2.【答案】(0,)【解析】()f(x)(x1)e 2a(x1)(x1)(e 2a)xx(i)设a 0,则f(x)(x2)ex,f(x)只有一个零点1,)时,f(x)0所以f(x)在(ii)设a 0,则当x(,1)时,f(x)0;当x(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增又f(1)e,f(2)a,取b满足b 0且b
5、 lna,则2f(b)a3(b2)a(b1)2 a(b2b)0,22故f(x)存在两个零点()不妨设x1 x2,由()知x1(,1),x2(1,),2 x2(,1),f(x)在(,1)上单调递减,所以x1 x2 2等价于f(x1)f(2 x2),即f(2 x2)0由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2,而f(x2)(x22)ex2a(x21)20,所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2设g(x)xe2x(x2)ex,则g(x)(x1)(e2xex)所以当x 1时,g(x)0,而g(1)0,故当x 1时,g(x)0从而g(x2)f(2 x2)0,故x1 x2 23 3与不等式恒成立、有
6、解、无解等问题有关的参数范围问题与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁,也是高考的重点和热点问题,往往用到的方法是依据不等式的特点,等价变形,构造函数,借助图象观察,或参变分离,转化为求函数的最值问题来处理恒成立 f(x)min af(x)a:有解 f(x)max a无解 f(x)amax对点练习:对点练习:设0 a 1,函数f(x)x a,g(x)x ln x,若对任意的x1,x21,e,都有xf(x1)g(x2)成立,则a的取值范围为【答案】e2,14 4利用导数证明、解不等式问题利用导数证明、解不等式问
7、题无论不等式的证明还是解不等式,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题,是解题的法宝.对点练习:对点练习:【2017 课标 II,理】已知函数fxax axxlnx,且fx0。2(1)求a;(2)证明:fx存在唯一的极大值点x0,且e【答案】(1)a 1;(2)证明略。【解析】2 fx022。(2)由(1)知fx x xxlnx,f x 2x2lnx。2设hx 2x2lnx,则hx 21。x当x0,时,hx0;当x12 1,时,hx0,2所以hx在0,单调递减,在12 1,单调递增。2【考点深度剖析】
8、【考点深度剖析】导数是研究函数性质的重要工具,它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等从题型看,往往有一道选择题或填空题,有一道解答题.其中解答题难度较大,常与不等式的证明、方程等结合考查,且有综合化更强的趋势【重点难点突破】【重点难点突破】考点考点 1 1利用导数研究函数的图象与性质利用导数研究函数的图象与性质【1-1】【2017 河南开封 10 月月考】函数 y=4cosx-e(e 为自然对数的底数)的图象可能是|x|A B C D【答案】A【解析】函数为y 4cosxe偶函数,图象关于y轴对称,排除 B、D,若x 0时,xy 4cosxex,y 4sin xex(4s
9、in xex),当0 x,sin x 0,ex 0,当x 时,ex e,4 4sin x 4,4sin xex 0,则y 0,函数在(0,)上为减函数,选A.【1-2】【2016全国卷】函数y2xe 在2,2的图象大致为()2|x|【答案】D【领悟技法】导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与x轴的交点为x0,且图象在x0两侧附近连续分布于x轴上下方,则x0为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数f(x)的正负,得出原函数f(x)的单调区间【触类旁通】【变式一】【2016 江西新余二模】将函数g(x)2cos(x)cos(x)图象上各点的横坐4412标伸长为原来的 2
10、倍(纵坐标不变)后得到h(x)的图象,设f(x)x h(x),则f(x)4的图象大致为()【答案】A【变式二】【2017丽水模拟】设函数f(x)在 R R 上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D【解析】由题图,当x2 时,f(x)0;当2x1 时,f(x)0;当 1x2 时,f(x)0;当x2 时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2 处取
11、得极大值,在x2 处取得极小值考点考点 2 2与函数零点有关的参数范围问题与函数零点有关的参数范围问题【2-1】【2017 浙江杭州二模】设方程x lnax(a 0,e为自然对数的底数),则()A.当a 0时,方程没有实数根 B.当0 a e时,方程有一个实数根C.当a e时,方程有三个实数根 D.当a e时,方程有两个实数根【答案】D【2-2】【2017 课标 3,理 11】已知函数f(x)x 2xa(e2x1ex1)有唯一零点,则a=A12B13C12D1【答案】C【解析】2x1x1试题分析:函数的零点满足x 2x a ee,设gxex1ex1,则gx ex1ex1 ex11ex1e2x1
12、1ex1,当gx0时,x 1,当x 1时,gx0,函数gx单调递减,当x 1时,gx0,函数gx单调递增,当x 1时,函数取得最小值g1 2,设hx x 2x,当x 1时,函数取得最小值1,2【领悟技法】1.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.3.与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与 轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价
13、变形转化为两个函数图象的交点问题【触类旁通】【变式一】【2017 湖南长沙二模】已知函数fx是定义在R上的奇函数,且当x 0时,fxx1ex,则对任意mR,函数Fx ffxm的零点个数至多有()A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.9 个【答案】A【解析】当x 0时f xx2e,由此可知fx在,2上单调递减,在2,0 x上单调递增,f2 e,f10且x 0,fx1,数fx是定义在R上的2奇函数,f00,而x,1时,fx0,所以fx的图象如图,令t fx,则ftm,由图可知,当t1,1时方程t fx至多 3 个根,当t1,1时方程t fx没有根,而对任意mR,ftm至多有一个根t1,1,从而函
14、数Fx ffxm的零点个数至多有 3 个.【变式二】【2017 安徽阜阳二模】已知函数fxlnxe(1)当a 0是,求证:fx 2;(2)若函数fx有两个零点,求a的取值范围.【答案】()见解析;()a 1.xaa(e是自然对数的底数).试题解析:()当a 0时,f x1 1ex,令f x=0.得:x x0,1x2且fx在0,x0上单增,在x0,上单减 fxmax11 lnx0e x0 x0 2.x0 x0 x0()g x1exax故等价于gx在0,上有唯一极大值点x1,且gx10gx1 01 ex1a lnx1 x1ax1得:a x1lnx1故gx1 2lnx1令hx 2lnx1 x1,x1
15、1 x,h1 0 xhx又211 0,hx 0 x 1,则x11xx2y xlnx在0,上单增,由x11,得a x1lnx11.综上,a 1.考点考点 3 3与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题3【3-1】若不等式mx ln x 1对x0,1恒成立,则实数m的取值范围是 .e2【答案】,)3所以f(x)在(0,e2323)上是增函数,在(e,1是减函数.所以2323f(x)max2122elne1elnx1,则3m,所以.(2)令g(x)f(e)23x3e2333(e)1x3(ln x1)3x2224x 3x ln x,因为x 0
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