2017年上海市高考数学试卷.pdf
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1、第 1 页(共 21 页)2017 年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共12 题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712 题每题 5 分)1(4 分)已知集合 A=1,2,3,4,集合 B=3,4,5,则 AB=2(4 分)若排列数?6?=654,则 m=3(4 分)不等式?-1?1 的解集为4(4 分)已知球的体积为36,则该球主视图的面积等于5(4 分)已知复数 z满足 z+3?=0,则|z|=6(4 分)设双曲线?29?2?2=1(b0)的焦点为 F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|=7(5 分)如图,以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点
2、 D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若?1的坐标为(4,3,2),则?1的坐标是8(5 分)定义在(0,+)上的函数 y=f(x)的反函数为 y=f1(x),若 g(x)=3?-1,?0?(?),?0为奇函数,则 f1(x)=2 的解为9(5 分)已知四个函数:y=x,y=1?,y=x3,y=x12,从中任选2个,则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为10(5 分)已知数列 an 和 bn,其中 an=n2,nN*,bn 的项是互不相等的正整 数,若 对 于 任 意n N*,bn 的 第an项 等 于 an 的 第bn项,则?(?1?4?
3、9?16)?(?1?2?3?4)=第 2 页(共 21 页)11(5 分)设 a1、a2R,且12+?1+12+?(2?2)=2,则|10 a1a2|的最小值等于12(5 分)如图,用 35 个单位正方形拼成一个矩形,点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合=P1,P2,P3,P4,点 P,过P作直线 lP,使得不在 lP上的“”的点分布在 lP的两侧用 D1(lP)和 D2(lP)分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到 lP的距离之和若过 P的直线 lP中有且只有一条满足 D1(lP)=D2(lP),则 中所有这样的 P为二、选择题(本大题共4 题,每题 5 分
4、,共 20 分)13(5 分)关于 x、y 的二元一次方程组?+5?=02?+3?=4的系数行列式 D 为()A0543B1024C1523D605414(5 分)在数列 an中,an=(12)n,nN*,则?an()A等于-12 B等于 0 C等于12D不存在15(5 分)已知 a、b、c 为实常数,数列 xn 的通项 xn=an2+bn+c,nN*,则“存在 kN*,使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是()Aa0 Bb0 Cc=0 Da2b+c=016(5 分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆 C1:?236+?24=1 和 C2:x2+?29=1
5、 P为 C1上的动点,Q 为 C2上的动点,w 是?的最大值记=(P,Q)|P在 C1上,Q在 C2上,且?=w,则 中元素个数为()A2 个 B 4 个 C 8 个 D无穷个三、解答题(本大题共5 题,共 14+14+14+16+18=76分)第 3 页(共 21 页)17(14 分)如图,直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和 AC的长分别为 4 和 2,侧棱 AA1的长为 5(1)求三棱柱 ABC A1B1C1的体积;(2)设 M 是 BC中点,求直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小18(14 分)已知函数 f(x)=cos2xsin2x+12,x(0,)(1
6、)求 f(x)的单调递增区间;(2)设 ABC为锐角三角形,角A 所对边 a=19,角 B 所对边 b=5,若 f(A)=0,求 ABC的面积19(14 分)根据预测,某地第 n(nN*)个月共享单车的投放量和损失量分别为 an和 bn(单位:辆),其中 an=5?4+15,1?3-10?+470,?4,bn=n+5,第 n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=4(n46)2+8800(单位:辆)设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点
7、的单车容纳量?20(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 :?24+?2=1,A 为 的上顶点,P为 上异于上、下顶点的动点,M 为 x 正半轴上的动点(1)若 P在第一象限,且|OP|=2,求 P的坐标;(2)设 P(85,35),若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形,求M 的横坐标;(3)若|MA|=|MP|,直线 AQ 与 交于另一点 C,且?=2?,?=4?,求直线 AQ的方程第 4 页(共 21 页)21(18 分)设定义在 R上的函数 f(x)满足:对于任意的x1、x2R,当 x1x2时,都有 f(x1)f(x2)(1)若 f(x)=ax3+1,求 a 的取值范围;(
8、2)若 f(x)是周期函数,证明:f(x)是常值函数;(3)设 f(x)恒大于零,g(x)是定义在 R上的、恒大于零的周期函数,M 是g(x)的最大值函数h(x)=f(x)g(x)证明:“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”第 5 页(共 21 页)2017 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12 题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712 题每题 5 分)1(4 分)已知集合 A=1,2,3,4,集合 B=3,4,5,则 AB=3,4【分析】利用交集定义直接求解【解答】解:集合 A=1,2,3,4,集合 B=3,4,5,AB=3,4 故
9、答案为:3,4【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用2(4 分)若排列数?6?=654,则 m=3【分析】利用排列数公式直接求解【解答】解:排列数?6?=654,由排列数公式得?63=6 5 4,m=3故答案为:m=3【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用3(4 分)不等式?-1?1 的解集为(,0)【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可【解答】解:由?-1?1 得:1-1?1?1?0?0,故不等式的解集为:(,0),故答案为:(,0)第 6 页(共 21 页)【点评】本题考查了解分式不等式,考查转化
10、思想,是一道基础题4(4 分)已知球的体积为36,则该球主视图的面积等于9【分析】由球的体积公式,可得半径R=3,再由主视图为圆,可得面积【解答】解:球的体积为 36,设球的半径为 R,可得43R3=36,可得 R=3,该球主视图为半径为3 的圆,可得面积为 R2=9 故答案为:9【点评】本题考查球的体积公式,以及主视图的形状和面积求法,考查运算能力,属于基础题5(4 分)已知复数 z满足 z+3?=0,则|z|=3【分析】设 z=a+bi(a,bR),代入 z2=3,由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案【解答】解:由 z+3?=0,得 z2=3,设 z=a+bi(a,bR),由 z2=3
11、,得(a+bi)2=a2b2+2abi=3,即?2-?2=-32?=0,解得:?=0?=3?=3?则|z|=3故答案为:3第 7 页(共 21 页)【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模的求法,是基础题6(4 分)设双曲线?29?2?2=1(b0)的焦点为 F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|=11【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a 的值,结合双曲线的定义可得|PF1|PF2|=6,解可得|PF2|的值,即可得答案【解答】解:根据题意,双曲线的方程为:?29?2?2=1,其中 a=9=3,则有|PF1|PF2|=6,又由|PF1|
12、=5,解可得|PF2|=11 或1(舍)故|PF2|=11,故答案为:11【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的定义7(5 分)如图,以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若?1的坐标为(4,3,2),则?1的坐标是(4,3,2)【分析】由?1的坐标为(4,3,2),分别求出 A 和 C1的坐标,由此能求出结果【解答】解:如图,以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点,过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,第 8 页(共 21 页)?1的坐标为(4,3,2),A(4,0,0
13、),C1(0,3,2),?1=(-4,3,2)故答案为:(4,3,2)【点评】本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题8(5 分)定义在(0,+)上的函数 y=f(x)的反函数为 y=f1(x),若 g(x)=3?-1,?0?(?),?0为奇函数,则 f1(x)=2 的解为89【分析】由奇函数的定义,当x0 时,x0,代入已知解析式,即可得到所求 x0 的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得到所求值【解答】解:若 g(x)=3?-1,?0?(?),?0为奇函数,可得当 x0 时,x0,即有 g(x)=3x1,
14、由 g(x)为奇函数,可得g(x)=g(x),则 g(x)=f(x)=13x,x0,由定义在(0,+)上的函数 y=f(x)的反函数为 y=f1(x),且 f1(x)=2,可由 f(2)=132=89,可得 f1(x)=2 的解为 x=89故答案为:89【点评】本题考查函数的奇偶性和运用,考查互为反函数的自变量和函数值的关第 9 页(共 21 页)系,考查运算能力,属于基础题9(5 分)已知四个函数:y=x,y=1?,y=x3,y=x12,从中任选2个,则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为13【分析】从四个函数中任选2 个,基本事件总数 n=?42=6,再利用列举法求出事
15、件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数,由此能求出事件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率【解答】解:给出四个函数:y=x,y=1?,y=x3,y=x12,从四个函数中任选2 个,基本事件总数n=?42=6,有两个公共点(0,0),(1,1)事件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有:,共 2 个,事件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为 P(A)=26=13故答案为:13【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用10(5 分)已知数列 an 和 bn,其中
16、 an=n2,nN*,bn 的项是互不相等的正整数,若对于任意 nN*,bn 的第 an项等于 an的第 bn项,则?(?1?4?9?16)?(?1?2?3?4)=2【分析】an=n2,nN*,若对于一切 nN*,bn中的第 an项恒等于 an 中的第bn项,可得?=?=(?)2于是 b1=a1=1,(?2)2=b4,(?3)2=b9,(?4)2=b16即可得出【解答】解:an=n2,nN*,若对于一切nN*,bn中的第 an项恒等于 an中的第 bn项,?=?=(?)2第 10 页(共 21 页)b1=a1=1,(?2)2=b4,(?3)2=b9,(?4)2=b16b1b4b9b16=(?1
17、?2?3?4)2?(?1?4?9?16)?(?1?2?3?4)=2故答案为:2【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11(5 分)设 a1、a2R,且12+?1+12+?(2?2)=2,则|10 a1a2|的最小值等于?4【分析】由题意,要使12+?1+12+?2?2=2,可得 sin 1=1,sin2 2=1求出 1和 2,即可求出|10 12|的最小值【解答】解:根据三角函数的性质,可知sin 1,sin2 2的范围在 1,1,要使12+?1+12+?2?2=2,sin 1=1,sin2 2=1则:?1=-?2+2?1?,k1Z2?2=-?2+
18、2?2?,即?2=-?4+?2?,k2Z那么:1+2=(2k1+k2)-3?4,k1、k2Z|10 12|=|10+3?4(2k1+k2)|的最小值为?4故答案为:?4【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用,属于基本知识的考查12(5 分)如图,用 35 个单位正方形拼成一个矩形,点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合=P1,P2,P3,P4,点 P,过P作直线 lP,使得不在 lP上的“”的点分布在 lP的两侧用 D1(lP)和 D2(lP)分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到 lP的距离之和若过 P的直线 lP中有且只有第 11 页(共
19、21 页)一条满足 D1(lP)=D2(lP),则 中所有这样的 P为P1、P3、P4【分析】根据任意四边形 ABCD两组对边中点的连线交于一点,过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧,则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等;由此得出结论【解答】解:设记为“”的四个点是 A,B,C,D,线段 AB,BC,CD,DA的中点分别为 E,F,G,H,易知 EFGH为平行四边形,如图所示;又平行四边形 EFGH的对角线交于点 P2,则符合条件的直线lP一定经过点 P2,且过点 P2的直线有无数条;由过点 P1和 P2的直线有且仅有 1 条,过点 P3和 P2的直线有且仅有 1 条,
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