大学物理动量和角动量.pptx
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1、大学物理第四章 动量和角动量本章主要内容:本章主要内容:1.1.动量定理及守恒定律动量定理及守恒定律 2.2.角动量定理及守恒定律角动量定理及守恒定律 3.3.质心运动定理质心运动定理 4.4.碰撞碰撞 一、动一、动 量量质点动力质点动力学问题学问题度量质点度量质点运动的量运动的量动动 量量与质量和速度与质量和速度有关的状态量有关的状态量1、瞬时性、瞬时性2、矢量性、矢量性3、相对性、相对性在直角坐标系中在直角坐标系中在国际单位制(在国际单位制(SI)千克千克米米/秒秒(kgm/s)讨论讨论4.1 动量定理动量定理二、质点的动量定理二、质点的动量定理(动量的变化与作用量的关系)动量的变化与作用
2、量的关系)由牛顿第二定律:由牛顿第二定律:表示力的时间累积,叫时间表示力的时间累积,叫时间d t 内内合外力合外力 的冲量的冲量。1)微分形式:)微分形式:2)积分形式:)积分形式:若为恒力:若为恒力:1、冲量冲量(impulse)力对时间的积累产生的效果是什么呢力对时间的积累产生的效果是什么呢?冲量是力对时间的积累。冲量是力对时间的积累。2、动量定理动量定理1)微分形式:微分形式:由由 得:得:动量定理的微分式动量定理的微分式在一个过程中,质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。在一个过程中,质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。2)积分形式:积分形式:对上式积分,对上式积分,动量定理的积
3、分式动量定理的积分式即:即:1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。3、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。说明说明 从动量定理可以知道,在从动量定理可以知道,在相等的冲量相等的冲量作用下,作用下,不同质量不同质量的物的物体,其体,其速度变化速度变化是不相同的,但它们的是不相同的,但它们的动量的变化动量的变化却是一样的,却是一样的,所以从过程角度来看,所以从过程角度来看,动量比速度能更恰当地反映了物体的运动动量比速度能更恰当地反映了物体的运动状态。状态。因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更确切些。用速度
4、更确切些。动量和位矢动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。是描述物体机械状态的状态参量。3、动量定理分量形式、动量定理分量形式即即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中,动量定理的在直角坐标系中,动量定理的分量式分量式为为 在在低速运动低速运动情况下,质点的质量是恒量,动量定理可写为情况下,质点的质量是恒量,动量定理可写为1)冲力冲力:碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短,相互作用,相互作用力力 很大很大,而且往往,而且往往随时间变化随时间变化,
5、这种力通常称为,这种力通常称为冲力冲力。若冲力很大若冲力很大,其它外力可忽略时其它外力可忽略时,则:则:若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时,则则 是合外力的平均。是合外力的平均。2)平均冲力平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即:即:4、动量定理的应用、动量定理的应用 增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用 例题例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节,以减轻与地面的撞人在跳跃时都本能地弯曲关节,以减轻与地面的撞击力。击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面,将会发生什么情况?若有人双腿绷直地从高处跳向地面,将会发生什么情况?解解 设人的
6、质量为设人的质量为M,从高,从高h 处跳向地面,落地的速率为处跳向地面,落地的速率为v0,与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t,重心下移了,重心下移了s 。由由动量定理动量定理得:得:设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止,则:到静止,则:设人从设人从 2m 处跳下,重心下移处跳下,重心下移 1cm,则:,则:可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论设人的体重为设人的体重为70 kg70 kg,此时平均冲力:,此时平均冲力:例例4-2 质质量量为为m=0.2kg的的皮皮球球,向向地地板板落落下下,以以8m/s的的速速率率与与地地板板相相碰碰,并并以以近近似似相相同同的的速速率率弹弹回
7、回,接接触触时时间间为为10-3s。求求 1)地板对球的平均冲力地板对球的平均冲力 2)冲力的冲量和重力的冲量。冲力的冲量和重力的冲量。解解 1)取地板为参考系,向上为正,由取地板为参考系,向上为正,由 得:得:中的中的F 实为合外力,除冲力外实为合外力,除冲力外还有重力。还有重力。即即2)冲力的冲量:冲力的冲量:重力的冲量:重力的冲量:外力的冲量外力的冲量可忽略可忽略由两个质点组成的质点系:由两个质点组成的质点系:n 个质点组成的质点系:个质点组成的质点系:质点系的动力学方程质点系的动力学方程即:即:即即 质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。三、质
8、点系的动力学方程三、质点系的动力学方程ddpFt=vv外外1、微分形式:、微分形式:动量定理的微分式动量定理的微分式它表明它表明 在一个过程中,系统所受合外力的冲量等于在一个过程中,系统所受合外力的冲量等于 系统在同一时间内动量的增量。系统在同一时间内动量的增量。2、积分形式:积分形式:由由 得:得:对上式积分,对上式积分,动量定理的积分式动量定理的积分式即:即:四、质点系的动量定理:四、质点系的动量定理:内力可以改变一个质点的动量,但对系统总动量内力可以改变一个质点的动量,但对系统总动量 的改变无贡献。的改变无贡献。说明说明3、动量定理分量形式动量定理分量形式即即系统所受合外力的冲量在某一方
9、向上的分量等于系统动量系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量。在该方向上分量的增量。在直角坐标系中,动量定理的分量式为在直角坐标系中,动量定理的分量式为 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将和即将落入车厢的煤落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平为研究的系统。取水平向右为正。向右为正。t 时刻系统的水平总动量:时刻系统的水平总动量:t+dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量:dt 时间内水平总动量的增量:时间内水平总动量的增量:由动量定理得:由动量定理得:例题例题4-3 一辆装煤车以一辆装煤车以v=3m/s 的速率从煤斗下面通
10、过,每秒的速率从煤斗下面通过,每秒落入车厢的煤为落入车厢的煤为m=500kg。如果使车厢的速率保持不变,应。如果使车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?用多大的牵引力拉车厢?(摩擦忽略不计(摩擦忽略不计)一、动量守恒定律一、动量守恒定律对质点系,由对质点系,由知,当知,当时时动量守恒定律动量守恒定律应用动量守恒定律时应注意应用动量守恒定律时应注意 系统的动量守恒系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变并不意味着每个质点的动量不变,在内力的作用下,每个质点一般均不断改变着其动量。但总的在内力的作用下,每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和保持不变,即内力不改变总动量,这一结论与内
11、力的性动量和保持不变,即内力不改变总动量,这一结论与内力的性质无关。质无关。若外力与内力相比较小得多时,可认为近似满足动量守恒若外力与内力相比较小得多时,可认为近似满足动量守恒条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计略不计。当质点系所受的合外力为零时,质点系的总动量就保持不变。当质点系所受的合外力为零时,质点系的总动量就保持不变。4.2 动量定理守恒定律动量定理守恒定律不受外力。不受外力。外力矢量和为零外力矢量和为零 动量守恒定律由牛顿定律导出,但它比牛顿定律应用的范动量守恒定律由牛顿定律导出,但它比牛顿定律应用的范围更广泛
12、。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。动量和力是矢量,可沿坐标轴分解,当沿某坐标方向所受合动量和力是矢量,可沿坐标轴分解,当沿某坐标方向所受合外力为零时,总动量沿该方向的分量守恒。外力为零时,总动量沿该方向的分量守恒。动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。例题例题4-4 质量为质量为M,仰角为,仰角为的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了一枚质量为m的炮的炮弹,炮弹发射时相对炮身的速率为弹,炮弹发射时相对炮身的速率为u,不计摩擦,求,不计摩擦,求(1)炮弹炮弹出口时炮车的速率;出口时炮车的速率;()发射炮弹过程中,炮车移动的距离发
13、射炮弹过程中,炮车移动的距离(炮身长为炮身长为L)。解解()选炮车和炮弹为系统选炮车和炮弹为系统,地面为参地面为参考系考系,系统所受合外力为系统所受合外力为N,mg,Mg都沿都沿竖直方向,水平方向合外力为零,系竖直方向,水平方向合外力为零,系统总动量统总动量x分量守恒。设炮弹出口时相分量守恒。设炮弹出口时相对于地面的水平速度为对于地面的水平速度为vx,炮身的反冲速度为炮身的反冲速度为vx,对地面参考系有对地面参考系有由相对速度的概念可得由相对速度的概念可得得得负号表示炮车反冲速度与负号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。轴正向相反。()若以()若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮表示
14、炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮车的速率,则此时炮车相对地面的速率车的速率,则此时炮车相对地面的速率设炮弹经设炮弹经t1s出口,在出口,在t1s内炮车沿水平方向移动了内炮车沿水平方向移动了解得解得负号表示炮身沿负号表示炮身沿x轴负向后退。轴负向后退。例题例题4-5:光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接,的竖直光滑半圆环轨道相接,两滑块两滑块A,B的质量均为的质量均为m,弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数为k,其一端固定在,其一端固定在O点,另一端与滑块点,另一端与滑块A接触,开始时滑块接触,开始时滑块B静止于半圆环轨道的底静止于半圆环轨道的底端,今用外力推滑块端,今用外
15、力推滑块A,使弹簧压缩一段距离使弹簧压缩一段距离x后再释放,滑块后再释放,滑块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞,碰后作完全弹性碰撞,碰后B将沿半圆环轨道上升,将沿半圆环轨道上升,升到升到C点与轨道脱离,点与轨道脱离,OC与竖直方向成与竖直方向成60,求弹簧被压缩,求弹簧被压缩的距离的距离x.解:解:设滑块设滑块A离开弹簧时速度离开弹簧时速度为为v,在弹簧恢复原形的过程中机械在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒能守恒A脱离弹簧后速度不变,与脱离弹簧后速度不变,与B作完全弹性碰撞,交换速度,作完全弹性碰撞,交换速度,A静止,静止,B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上
16、运动时,它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时,它与地球系统的机械能守恒当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时,满足点时,满足(4 4)(1 1)、()、(2 2)、()、(3 3)、()、(4 4)联立求解可得)联立求解可得 例例题题4-54-5如如图图,两两个个带带理理想想弹弹簧簧缓缓冲冲器器的的小小车车A A和和B B,质质量量分分别别为为m m1 1和和m m2 2B B不不动动,A A以以速速度度 与与B B碰碰撞撞,如如已已知知两两车车的的缓缓冲冲弹弹簧簧的的劲劲度度系系数数分分别别为为k k1 1和和k k2 2,在在不不计计摩摩擦擦的的情情况况下下
17、,求求两两车车相相对对静静止止时,其间的作用力为多大?(弹簧质量略而不计)时,其间的作用力为多大?(弹簧质量略而不计)解解:两小车碰撞为弹性碰撞,在碰撞过程中当两小车相对静止:两小车碰撞为弹性碰撞,在碰撞过程中当两小车相对静止时,两车速度相等。时,两车速度相等。在碰撞过程中,以两车和弹簧为在碰撞过程中,以两车和弹簧为系统,动量守恒,机械能守恒。系统,动量守恒,机械能守恒。x x1 1、x x2 2分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律相对静止时两车间的相互作用力相对静止时两车间的相互作用力一、质心一、质心 质点系运动时,各质点的运动情况可能是各
18、不相同的,很质点系运动时,各质点的运动情况可能是各不相同的,很复杂的,为了简洁描述质点系的运动状态,引入质量中心复杂的,为了简洁描述质点系的运动状态,引入质量中心(简简称质心:质点系的质量中心称质心:质点系的质量中心)的概念。的概念。N个质点组成的系统个质点组成的系统 位矢分别为位矢分别为 质点系的动量为质点系的动量为 4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理取质量为取质量为并与质点系具有相同动量的质点并与质点系具有相同动量的质点C其位矢为其位矢为,其速度为其速度为,则有,则有C称为称为质点系的质心质点系的质心,称为质心的位矢。称为质心的位矢。可可以以证证明明:质质心心相相对对质质点点系系的
19、的位位置置与与坐坐标标系系的的选选取取无无关关,即即质心相对于质点系本身是一个特定的位置。质心相对于质点系本身是一个特定的位置。引入质心后,质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得引入质心后,质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得质心质心C的坐标的坐标对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 (1)几何形状对称的均匀物体,质心就是几何对称中心。几何形状对称的均匀物体,质心就是几何对称中心。(2)有有些些物物体体的的质质心心可可能能不不在在所所求求的的物物体体上上,但但有有明明确确的物理意义。的物理意义。(3)重重心心是是重重力力合合力力的的作作用用点点,尺尺寸寸不不大大的的物物体体,
20、质质心心与重心重合。与重心重合。说明说明二、质心运动定理二、质心运动定理由质心位矢由质心位矢对对t求导,得求导,得为质心运动的加速度。由于为质心运动的加速度。由于 质心运动定理质心运动定理作用于质点系的作用于质点系的合外力合外力等于质点系的等于质点系的总质量乘上质心的加速度总质量乘上质心的加速度说明说明 质心的运动只由质点系所受的质心的运动只由质点系所受的合外力合外力决定,内力对质心的决定,内力对质心的运动不产生影响。运动不产生影响。时,时,质点系受的合外力在某个方向为零时,质点系受的合外力在某个方向为零时,在该方向的投影等在该方向的投影等于恒矢量,该方向动量守恒。于恒矢量,该方向动量守恒。质
21、心运动定理不能描述各质点的运动情况,每个质点的质心运动定理不能描述各质点的运动情况,每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。质点系各质点由于内力和外力的作用,其运动情况可能很复质点系各质点由于内力和外力的作用,其运动情况可能很复杂,但质心的运动可能很简单。杂,但质心的运动可能很简单。时,时,质心的加速度与把全部质量集中在质心质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。的质点的加速度相同。例题例题4-6 一长为一长为L,密度分布不均匀的细棒,其质量线密度,密度分布不均匀的细棒,其质量线密度=0 x/L.0为常量,为常量,
22、x从轻端算起,求其质心。从轻端算起,求其质心。解解 取坐标原点与轻端相重合,取坐标原点与轻端相重合,x轴沿棒长方向,如图,取质元轴沿棒长方向,如图,取质元x例题例题4-74-7 质量分别为质量分别为m1和和m2的两质点组成的质的两质点组成的质点系,质心处于静止状态。质量为点系,质心处于静止状态。质量为m1的质点以的质点以半径半径r1,速率,速率v1绕质心作匀速圆周运动,求质点绕质心作匀速圆周运动,求质点m2的运动规律。的运动规律。解解 如图所示,取质心为坐标系的原点,可得如图所示,取质心为坐标系的原点,可得 两质点的位矢满足如下方程两质点的位矢满足如下方程 由于质心静止,所以质心的动量为零,即
23、由于质心静止,所以质心的动量为零,即即动量的大小为即动量的大小为如何描述质点如何描述质点系的运动?系的运动?SI 中中:kgm 2/s的方向:用的方向:用右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。b)、)、相对性相对性(1)参考系不同,矢径不同,动量不同,角动量也不同。参考系不同,矢径不同,动量不同,角动量也不同。(2)原点原点O选取的不同,则位置矢量不同,角动量也不同。选取的不同,则位置矢量不同,角动量也不同。质点对参考点的角动量质点对参考点的角动量一、角动量(动量矩)一、角动量(动量矩)大小大小a)、)、矢量性矢量性qsinrpL=4.4 角动量定理角动量定理 1.1.质点的角动量质点的角动量
24、C C)、的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式1、做圆周运动质点、做圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量方向:方向:与与 同向,垂直于转动平面,同向,垂直于转动平面,与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系右手螺旋关系结论:结论:结论:结论:做匀速圆周运动的质点做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。方向:由方向:由右手螺旋右手螺旋定则确定。定则确定。质点对质点对O点的角动量点的角动量为:为:3)若)若O 取在直线上,则:取在直线上,则:说明说明 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。t1 时刻质点对时刻质点对O点的角动量点的角动
25、量为:为:2、作直线运动质点的角动量、作直线运动质点的角动量1)若物体作匀速直线运动,对同一参考点)若物体作匀速直线运动,对同一参考点O,则,则2 2)对不同的参考点,质点有不同的恒定角动量)对不同的参考点,质点有不同的恒定角动量大小:大小:t2 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为:点的角动量为:!参考点不能选择在直线上参考点不能选择在直线上2、质点系的角动量:、质点系的角动量:系统的角动量等于各个质点对系统的角动量等于各个质点对同一参考点同一参考点的角动量之和:的角动量之和:二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理对动量,有:对动量,有:对角动量?对角动量?定义了角动量,需要找出当运动状态变
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