七年级数学全等三角形证明精选题.doc

七年级数学全等三角形证明精选题

先做几道基础题：
1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。
求证：△ABD≌△ACD。

2. 如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF。
求证：△ABE≌△DCF。

3、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。 求证：AB=AC。

4. 如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。
求证：△ABE≌△DCF。

一．解答题（共16小题）
1．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
（1）求证：△ABF≌△DEC；
（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．

3．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．试说明下列结论正确的理由：
（1）∠C=∠E；
（2）△ABC≌△ADE．

4．如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C．求证：△AED≌△BFC．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．△ABE与△ACE全等吗？为什么？

6．（2010•顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
求证：AD=AE．

7．（2010•十堰）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD=CE．

8．（2008•南宁）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．
（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．

9．（2005•新疆）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．

10．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
求证：△ADE≌△BEC．

11．如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．

12．（2002•湛江）如图，有一池塘．要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA．连接BC并延长到E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．请说明DE的长就是A、B的距离的理由．

13．（2010•广安）已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE．

14．（2005•三明）已知：如图，∠1=∠2，BD=BC．求证：∠3=∠4．

15．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．
证明：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE．

16．如图所示，△ABD，△ACE都是等边三角形，求证：CD=BE．

答案与评分标准
一．解答题（共16小题）
1．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
（1）求证：△ABF≌△DEC；
（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）

考点：全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）根据SAS可直接解答；（2）根据已知条件和（1）的结论进行判断．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．
解答：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D．
∵AB=DE，AF=DC，
∴△ABF≌△DEC．

（2）解：全等三角形有：△ABC和△DEF；△CBF和△FEC．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．

考点：全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAE=∠BCF，又因为AC=BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F即可得出结论．
解答：证明：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，∠AEC=∠BFC，AC=BC，
∴△ACE≌△CBF（AAS）．
点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定，难度适中．

3．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．试说明下列结论正确的理由：
（1）∠C=∠E；
（2）△ABC≌△ADE．

考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理。
专题：证明题。
分析：根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．
解答：解：（1）△ADF与△AEF中，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴∠C=∠E；

（2）∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵AC=AE，
又∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定及全等三角形的判定的理解及运用．
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

4．如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C．求证：△AED≌△BFC．

考点：全等三角形的判定。
专题：证明题。
分析：先证明得到DE=CF，然后利用“边角边”证明△AED和△BFC全等即可．
解答：证明：∵DF=CE，
∴DF﹣EF=CE﹣EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵，
∴△AED≌△BFC（SAS）．
点评：本题考查了全等三角形的判定，根据DF=CE证明得到DE=CF是解题的关键，也是本题的难点．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．△ABE与△ACE全等吗？为什么？

考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质。
专题：证明题。
分析：根据等腰三角形的性质推出∠BAE=∠CAE，根据全等三角形的判定定理SAS证出即可．
解答：答：△ABE与△ACE全等．
理由是：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE，
即：△ABE与△ACE全等．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．

6．（2010•顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
求证：AD=AE．

考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：证明题。
分析：求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．
解答：证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥EB，
∴∠E=∠ADB=90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2；
在△ADB和△AEB中，，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE．

点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

7．（2010•十堰）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD=CE．

考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：证明题。
分析：欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角∠A，AB=AC，所以两三角形全等．
解答：证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
∴BD=CE．
点评：本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等．选择要证的三角形时要结合图形及已知条件．

8．（2008•南宁）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．
（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．

考点：直角三角形全等的判定。
专题：证明题；开放型。
分析：本题考查三角形的全等知识．第（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面．第（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据HL（斜边直角边定理）来判断两个直角三角形全等．
解答：解：（1）3对．分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．

（2）△BDE≌△CDF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
又D是BC的中点，
∴BD=CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．

9．（2005•新疆）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．

考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：证明题。
分析：先证明∠BCE=∠CAD，再证明△ADC≌△CEB，可得到AD=CE，DC=EB，等量代换，可得出DE=AD+BE．
解答：证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，而∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠CAD．
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD=CE，DC=EB．
又∵DE=DC+CE，
∴DE=EB+AD．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明两线段的和等于一条线段常常借助三角形全等来证明，要注意运用这种方法．

10．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
求证：△ADE≌△BEC．

考点：直角三角形全等的判定。
专题：证明题。
分析：此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
解答：证明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°．
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD=BE．
∴△ADE≌△BEC．
点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．

11．如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．

考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：证明题。
分析：先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC=∠BCF，因为∠EAC+ACE=90°，所以∠ACE+∠BCF=90°，根据平角定义可得∠ACB=90°．
解答：证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC=∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°．
点评：本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

12．（2002•湛江）如图，有一池塘．要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA．连接BC并延长到E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．请说明DE的长就是A、B的距离的理由．

考点：全等三角形的应用。
专题：应用题。
分析：本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助△ACB≌△DCE用SAS证明，（其中两边已知，角为对顶角），寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
解答：解：△ACB与△DCE中，
∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，CE=CB，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=DE，
即DE的长就是A、B的距离．
点评：本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．

13．（2010•广安）已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE．

考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质。
专题：证明题。
分析：求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ABF≌△DCE即可．
解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°；
又∵BE=CF，即BF=CE，
∴△ABF≌△DCE；（SAS）
∴AF=DE．
点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

14．（2005•三明）已知：如图，∠1=∠2，BD=BC．求证：∠3=∠4．

考点：全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：要证∠3=∠4，只需利用全等三角形的判定（ASA）证△ABD≌△ABC即可．
解答：证明：∵∠ABD=180°﹣∠1，
∠ABC=180°﹣∠2，∠1=∠2，
∴∠ABD=∠ABC．
在△ABD和△ABC中，
BD=BC，∠ABD=∠ABC，AB=AB，
∴△ABD≌△ABC．
∴∠3=∠4．
点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

15．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．
证明：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。
专题：证明题。
分析：（1）要证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可，两三角形中，已知的条件有AD=AE，AB=AC，那么只要再得出两对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论．我们发现∠BAD和∠EAC都是90°加上一个
∠CAD，因此∠CAE=∠BAD．由此构成了两三角形全等中的（SAS）因此两三角形全等．
（2）要证BD⊥CE，只要证明∠BMC是个直角就行了．由（1）得出的全等三角形我们可知：
∠ABN=∠ACE，三角形ABC中，∠ABN+∠CBN+∠BCN=90°，根据上面的相等角，我们可得出∠ACE+∠CBN+∠BCN=90°，即∠ABN+∠ACE=90°，因此∠BMC就是直角了．
解答：证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠CAE=∠BAD
在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE

（2）∵△ABD≌△ACE
∴∠ABN=∠ACE
∵∠ANB=∠CND
∴∠ABN+∠ANB=∠CND+∠NCE=90°
∴∠CMN=90°
即BD⊥CE．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键．

16．如图所示，△ABD，△ACE都是等边三角形，求证：CD=BE．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：证明题。
分析：要证线段相等，可以把这两条线段放到△ADC和△ABE中，考虑证明全等的条件．根据SAS判定全等后答案可得．
解答：证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AC=AE，AD=AB．
∵∠EAC=∠DAB=60°，
∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，
即∠EAB=∠CAD．
在△EAB和△CAD中，
AE=AC，∠EAB=∠CAD，AB=AD，
∴△EAB≌△CAD．
∴BE=CD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得∠EAB=∠CAD是正确解答本题的关键．

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