初一数学培优汇总.doc

<p>2013初一数学培优汇总
第一讲 &nbsp; 数系扩张--有理数（一）
一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）； &nbsp;
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;① &nbsp; &nbsp; &nbsp; ② 非负性
③ 非负数的性质： &nbsp;i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：
1、若的值等于多少？
2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ &nbsp;）
A.相反数 &nbsp; &nbsp;B.倒数 &nbsp; &nbsp; C.绝对值 &nbsp; &nbsp;D.平方
3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。
4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ &nbsp; &nbsp;
A. &nbsp;B. &nbsp;C.0 &nbsp; D.
5、已知，求的值是（ &nbsp; &nbsp;）
A.2 &nbsp; B.3 &nbsp; &nbsp; C.9 &nbsp;D.6
6、 &nbsp;有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？
7、 &nbsp;设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。
8、 &nbsp;三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？
9、若为整数，且，试求的值。
三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)RpKkJn7。rBgouI0。yM2sXzb。
3、计算：
4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。5、若三个有理数满足，求的值。
第二讲 &nbsp;数系扩张--有理数（二）
一、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
① 表示数对应的点到原点的距离。
② 表示数、对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：
1、 （1）若，化简
（2）若，化简
2、设，且，试化简
3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1） &nbsp; &nbsp; &nbsp; （2）
（3） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （4）若则
（5）若，则 &nbsp; &nbsp;（6）若，则
4、若，求的取值范围。
5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什么位置？
6、设，求的最小值。
7、是一个五位数，，求的最大值。
8、设都是有理数，令
,,试比较M、N的大小。
三、【课堂备用练习题】：
1、已知求的最小值。
2、若与互为相反数，求的值。
3、如果，求的值。
4、是什么样的有理数时，下列等式成立？
（1） &nbsp; &nbsp; &nbsp;（2）
5、化简下式：
第三讲 &nbsp;数系扩张--有理数（三）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。6cVLQn2。TgGjHRn。Y8tEUtB。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。
（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。
二、【典型例题解析】：
1、计算：
2、计算：（1）、
（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25
（3）、（-4）+
3、计算：① &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
②
4、 &nbsp; 化简：计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（）
5、计算： （1）
（2）
（3）
6、计算：
7、计算：
：
第四讲 &nbsp;数系扩张--有理数（四）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧：
&nbsp; ① 凑整（凑0）； &nbsp; &nbsp; &nbsp; ② 巧用分配律
③ 去、添括号法则； &nbsp; &nbsp;④ 裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】：
1、计算：
2、 &nbsp; &nbsp; &nbsp;
3、计算：①
②
4、化简：并求当时的值。
5、计算：
6、比较与2的大小。
7、计算：
8、已知、是有理数，且，含，，，请将按从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】：
1、计算（1） &nbsp;（2）
2、计算：
3、计算：
4、如果，求代数式的值。
5、若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值。
&nbsp;第五讲代数式（一）
一、【能力训练点】：
（1）列代数式； &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （2）代数式的意义；
（3）代数式的求值（整体代入法）
二、【典型例题解析】：
1、用代数式表示：
（1）比的和的平方小的数。
（2）比的积的2倍大5的数。
（3）甲乙两数平方的和（差）。
（4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。
（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。
（7）比的平方的2倍小1的数。
（8）任意一个偶数（奇数）
（9）能被5整除的数。
（10）任意一个三位数。
2、代数式的求值：
（1）已知，求代数式的值。
（2）已知的值是7，求代数式的值。
（3）已知；，求的值
（4）已知，求的值。
（5）已知：当时，代数式的值为2007，求当时，代数式的值。
（6）已知等式对一切都成立，求A、B的值。
（7）已知，求的值。
（8）当多项式时，求多项式的值。
3、找规律：
Ⅰ.（1）； &nbsp; （2）
（3） &nbsp; &nbsp;（4）
第N个式子呢？ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
Ⅱ.已知 &nbsp;； &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
&nbsp; ； &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;若
（、为正整数），求
Ⅲ. 猜想：
&nbsp; &nbsp;
三、【备用练习题】：
1、若个人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要多少天？
2、已知代数式的值为8，求代数式的值。
3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？7VOBfTJ。Z8wS6Gg。RXmFzti。
4、已知求当时，
第六讲 代数式（二）
一、【能力训练点】：
（1）同类项的合并法则；
（2）代数式的整体代入求值。
二、【典型例题解析】：
1、 &nbsp; 已知多项式经合并后，不含有的项，求的值。
2、当达到最大值时，求的值。
3、已知多项式与多项式N的2倍之和是，求N？
4、若互异，且，求的值。
5、已知，求的值。
6、已知，求的值。
7、已知均为正整数，且，求的值。
8、求证等于两个连续自然数的积。
9、已知，求的值。
10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？RaFq048。gDNa7xg。4rm8Buw。
三、【备用练习题】：
1、已知，比较M、N的大小。
， &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
2、已知，求的值。
3、已知，求K的值。
4、，比较的大小。
5、已知，求的值。
第七讲 &nbsp;发现规律
一、【问题引入与归纳】
&nbsp; &nbsp; 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。zWYIvMV。sbQL52z。MpTF5O4。
&nbsp; &nbsp; 能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。
二、【典型例题解析】
1、 观察算式：
按规律填空：1+3+5+…+99= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ？，1+3+5+7+…+ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ？zYseJCT。O9l7Cdd。wJpR7MZ。
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？

3、 &nbsp;用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？vgkEAaP。bDUXCk2。H1mgi2D。
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？Ak3Ss11。thHaGJB。V6B337o。
5、 观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？WlRkqaa。O0NFBeV。efFweKl。
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？
（3）某一层上有77个点，这是第几层？
（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？K1SlsEu。bsE6v7o。IcCig0i。
6、 &nbsp; 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：ZBl2Kr0。2CzhUF5。BUaF2UA。
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；mVtXJz6。mXWvm0N。QQTQawA。
（2）计算：= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（填写最后的计算结果）。
7、 &nbsp;观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 &nbsp; &nbsp; 5×7=35，而35=62-1 &nbsp; &nbsp;… &nbsp; &nbsp;… &nbsp;
11×13=143，而143=122-1 &nbsp; &nbsp; &nbsp;… &nbsp;… &nbsp;
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。

8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。xjJbiWd。pAU55hD。EilKkWj。
三、【跟踪训练题】1 &nbsp;
1、有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;，当=2001时，= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。aS55Ir0。wksEgrE。7Jg0TzX。
2、将正偶数按下表排成5列

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行

2
4
6
8
第二行
16
14
12
10

第三行

18
20
22
24
……

……
28
26

&nbsp;根据上面的规律，则2006应在 &nbsp; &nbsp; &nbsp;行 &nbsp; &nbsp; &nbsp;列。
3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（ &nbsp; &nbsp;）
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ &nbsp; ）个。A.333 &nbsp; &nbsp; &nbsp;B.334 &nbsp; &nbsp; &nbsp;C.335 &nbsp; &nbsp; &nbsp;D.336zeBOVkJ。OEV5niL。6Ry8Wlt。
5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：sIywu89。PJpuk03。mgLQZMI。
拼成一行的桌子数
1
2
3
…
n
人数
4
6

…

6、给出下列算式：
&nbsp;
观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp;7、通过计算探索规律：
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;152=225可写成100×1×（1+1）+25
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;252=625可写成100×2×（2+1）+25
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;352=1225可写成100×3×（3+1）+25
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;452=2025可写成100×4×（4+1）+25
…………
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;752=5625可写成 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
归纳、猜想得：（10n+5）2= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
根据猜想计算：19952= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp;8、已知，计算：
112+122+132+…+192= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
&nbsp;9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？M6ZdlVF。1mnCDxy。2KPfcby。
第八讲 &nbsp; &nbsp;综合练习（一）
1、若，求的值。
2、已知与互为相反数，求。
3、已知，求的范围。
4、判断代数式的正负。
5、若，求的值。
6、若，求

7、已知，化简
8、已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，P是数轴上的表示原点的数，求的值。
9、问□中应填入什么数时，才能使
10、在数轴上的位置如图所示，
化简：
11、若，求使成立的的取值范围。
12、计算：
13、已知，，，求。
14、已知，求、的大小关系。
15、有理数均不为0，且。设，求代数式的值。
第九讲 &nbsp; 一元一次方程（一）
一、知识点归纳：
1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。
二、典型例题解析：
1、解下列方程：（1） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（2）；
（3）
2、 能否从；得到，为什么？反之，能否从得到，为什么？
3、若关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。
4、若。求的值。
5、已知是方程的解，求代数式的值。
6、关于的方程的解是正整数，求整数K的值。
7、若方程与方程同解，求的值。
8、关于的一元一次方程求代数式的值。
9、解方程
10、已知方程的解为，求方程的解。
11、当满足什么条件时，关于的方程，①有一解；②有无数解；③无解。
第十讲 一元一次方程（2）
&nbsp; 一、能力训练点：
1、列方程应用题的一般步骤。
2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）
二、典型例题解析。
1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？3liZUcT。hhFFBJz。uKWoJW4。
2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？7QPnWpl。vcmHEb5。oa0wCyf。
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？vz8r1hv。H1qZ0BD。l7uXqWp。
：
4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？8blPkOp。aBs2Dnt。7qFa6LA。
5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？mOSXDG7。1BcbURc。IAJiNOr。
6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？yAC78S2。dkFNp8b。TlXym3w。
7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。vakzsE3。4l57gRJ。0qHoFNR。
8、 某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？OyC6g40。zosVKG8。ysFhCfO。
9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？i3npiLS。y8TV37r。iVnl2H7。
10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？nBKBbix。8eWecdW。uSWIH5H。
11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？e48migL。2dLE70i。2GmKG1b。
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？w7URwoV。6WXnahi。k1tg3Ul。
数形结合谈数轴
一、阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。Lejm3Ps。3UDvvfB。8mhJMcB。
&nbsp; &nbsp;运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：orBvJKS。cLNK0UW。gsv5w5k。
1、利用数轴能形象地表示有理数；
2、利用数轴能直观地解释相反数；
3、利用数轴比较有理数的大小；
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
二、知识点反馈
1、利用数轴能形象地表示有理数；
例1：已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp; B． &nbsp; C． &nbsp; D．
拓广训练：
1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（ &nbsp; &nbsp;）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
A．1 &nbsp; B．2 &nbsp; C．3 &nbsp; D．4
3、把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数；
例2：如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。UXOCfnj。dDTpsbA。PFtdBIq。
拓广训练：
1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则
2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。（北京市“迎春杯”竞赛题）BzgID92。osgmJie。SjX04gv。
3、利用数轴比较有理数的大小；
例3：已知且，那么有理数的大小关系是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）KNJvsrv。VhMOEyz。nrF7k1s。
拓广训练：
1、 若且，比较的大小，并用“”号连接。
例4：已知比较与4的大小 &nbsp;
拓广训练：
1、已知，试讨论与3的大小 &nbsp; &nbsp;2、已知两数，如果比大，试判断与的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5： 有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp; B． &nbsp; C． &nbsp; D．
拓广训练：
1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
2、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
① &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ② &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;③ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;④8z1Ado2。3zZQjOX。vIac18R。
3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图：则化简后的结果是（ &nbsp; &nbsp;）
（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）
A． &nbsp; B． &nbsp; C． &nbsp; D．
三、培优训练
1、已知是有理数，且，那以的值是（ &nbsp; &nbsp; ）
A． &nbsp; B． &nbsp; &nbsp;C．或 &nbsp; &nbsp;D．或
1
0
A
2
B
5
C
2、（07乐山）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为（　　）0NfHWnp。orR3mHj。taFXoCY。
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数且，那么数轴的原点应是（ &nbsp; &nbsp;）hMW2xNf。xgfBaMN。xftUups。
A．A点 &nbsp; &nbsp;B．B点 &nbsp; &nbsp;C．C点 &nbsp; &nbsp; D．D点
4、数所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp; &nbsp;B． &nbsp; &nbsp;C． &nbsp; D．不确定的
5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，若，那么点B（ &nbsp; &nbsp;）
A．在A、C点右边 &nbsp; B．在A、C点左边 &nbsp; C．在A、C点之间 &nbsp; D．以上均有可能
6、设，则下面四个结论中正确的是（ &nbsp; &nbsp; ）（全国初中数学联赛题）
A．没有最小值 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．只一个使取最小值
C．有限个（不止一个）使取最小值 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．有无穷多个使取最小值
7、在数轴上，点A，B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
8、若，则使成立的的取值范围是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
9、是有理数，则的最小值是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
10、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且求的值。
11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，8AURw5Q。LkcsqY0。XZ0Mbxm。
①如图2，点A、B都在原点的右边；
②如图3，点A、B都在原点的左边；
③如图4，点A、B在原点的两边。
综上，数轴上A、B两点之间的距离。
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ；oc1bFqR。Op10ksX。6wcBO6r。
②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，如果，那么为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ；
④求的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：GXuIN8U。I7amINm。XWMIuOj。
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则：

2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
① &nbsp; ② &nbsp; ③ &nbsp; ④ &nbsp; &nbsp;⑤ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;⑥
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
例1：已知且那么 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
拓广训练：
1、已知且，那么 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。（北京市“迎春杯”竞赛题）
2、若，且，那么的值是（ &nbsp; &nbsp;）
A．3或13 &nbsp; B．13或-13 &nbsp;C．3或-3 &nbsp;D．-3或-13
2、恰当地运用绝对值的几何意义
例2： 的最小值是（ &nbsp; &nbsp; ）
A．2 &nbsp; B．0 &nbsp; C．1 &nbsp; &nbsp;D．-1
解法1、分类讨论
当时，；
当时，；
当时。
比较可知，的最小值是2，故选A。
解法2、由绝对值的几何意义知表示数所对应的点与数1所对应的点之间的距离；表示数所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；的最小值是指点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知EldpjZ1。yKDEZhD。I7i90i2。
当时，的值最小，最小值是2故选A。
拓广训练：
1、 已知的最小值是，的最大值为，求的值。
三、培优训练
1、如图，有理数在数轴上的位置如图所示：
则在中，负数共有（ &nbsp; &nbsp;）（湖北省荆州市竞赛题）
A．3个 &nbsp; B．1个 &nbsp; C．4个 &nbsp; D．2个
2、若是有理数，则一定是（ &nbsp; &nbsp;）
A．零 &nbsp; B．非负数 &nbsp; C．正数 &nbsp; D．负数
3、如果，那么的取值范围是（ &nbsp; &nbsp; ）
A． &nbsp; B． &nbsp; C． &nbsp; D．
4、是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（ &nbsp; ）（第15届江苏省竞赛题）wfsHKux。O69mHBq。4KSUKST。
A．只有（1）正确 &nbsp; B．只有（2）正确 &nbsp; C．（1）（2）都正确 &nbsp; D．（1）（2）都不正确
5、已知，则化简所得的结果为（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp; B． &nbsp; &nbsp;C． &nbsp; &nbsp;D．
6、已知，那么的最大值等于（ &nbsp; &nbsp; ）
A．1 &nbsp; B．5 &nbsp; C．8 &nbsp; D．9
7、已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（ &nbsp; ）
A．唯一确定的值 &nbsp; B．3种不同的值 &nbsp; C．4种不同的值 &nbsp; D．8种不同的值
8、满足成立的条件是（ &nbsp; &nbsp;）（湖北省黄冈市竞赛题）
A． &nbsp; B． &nbsp; C． &nbsp; D．
9、若，则代数式的值为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
10、若，则的值等于 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
11、已知是非零有理数，且，求的值。
12、已知是有理数，，且，求的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：ZL6TyAv。rdVOzrE。TII8JBR。
（1）当时，原式=;
（2）当时，原式=；
（3）当时，原式=。
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 分别求出和的零点值；（2）化简代数式
14、（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。ia2srKE。FVXlvGu。h0V3izT。
15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？laLQufc。0002tff。I5Bkrfn。

16、先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：L0A8nVX。rX5I2fd。doTNTq8。
① &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;②
如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在和之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于到的距离.bGspQ1o。vdZ8Ij3。qobpM9K。
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为到的距离；而如果P放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D近段距离，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。pgq6oza。vkofy0M。Hie5yE1。
问题（1）：有机床时，P应设在何处？
问题（2）根据问题（1）的结论，求的最小值。
有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。QbcM7Jf。7DhRKrk。4KrhCBu。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。ofjkQRV。ym8ClSt。nHOXRvi。
二、知识点反馈
1、利用运算律：加法运算律乘法运算律
例1：计算：
解：原式=
拓广训练：
1、计算（1） &nbsp; &nbsp;（2）
例2：计算：
解：原式=
拓广训练：
1、 计算：
2、裂项相消
（1）；（2）；（3）
（4）
例3、计算
解：原式=
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;=
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;=
拓广训练：
1、计算：
3、以符代数
例4：计算：
解：分析：
令=，则
原式=
拓广训练：
1、计算：
4、分解相约
例5：计算：
解：原式==
&nbsp; &nbsp; &nbsp; =
三、培优训练
1、是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
2、计算：（1）= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（2）= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
3、若与互为相反数，则= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
4、计算：= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
5、计算：= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
6、这四个数由小到大的排列顺序是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
7、（2007“五羊杯”）计算：=（ &nbsp; &nbsp;）
A．3140 &nbsp; B．628 &nbsp; &nbsp;C．1000 &nbsp; &nbsp;D．1200
8、（2005“希望杯”）等于（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp;B． &nbsp;C． &nbsp;D．
9、（2006“五羊杯”）计算：=（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp; B． &nbsp; C． &nbsp; D．
10、（2009鄂州中考）为了求的值，可令S＝，则2S＝ ，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理计算出的值是（ &nbsp; &nbsp; ）AcWtaM9。7M0xn6K。6cqqwvD。
A、 &nbsp; &nbsp; &nbsp; B、 &nbsp; &nbsp; &nbsp;C、 &nbsp; &nbsp;D、
11、都是正数，如果，，那么的大小关系是（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp; B． &nbsp; C． &nbsp; D．不确定
12、设三个互不相等的有理数，既可表示为的形式，又可表示为的形式，求的值（“希望杯”邀请赛试题）
13、计算
（1）（2009年第二十届“五羊杯”竞赛题）
（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）
14、已知互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于，
求的值
15、已知，求的值（2006，香港竞赛）
16、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．ZLIW6C1。v6NJfpL。NT4SCkW。
第2层
第1层
……
第n层

　　　　　　　图１　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3　　　　　　　　图4
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．eGzwsNe。m6LJRIa。VZwXeCl。
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：

数
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A &nbsp; ）T9O6plY。N1VvH3N。13qABDH。
&nbsp;A．-3a &nbsp; &nbsp; &nbsp;B． 2c－a &nbsp; &nbsp;C．2a－2b &nbsp; &nbsp;D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3az6m9G1N。z2C4nAd。E5v3jAR。
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。SgyrwZn。ZdyscG4。w81jN2f。
例2．已知：，，且， 那么
的值（ &nbsp; C &nbsp; &nbsp;）
A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号
解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
&nbsp; &nbsp;所以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。w0oIqdt。5OqRKLy。y8JQrxf。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？Qw67efD。zMklmXB。mBR5DSS。
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。eDYYFy1。5iw6SWX。NTfTHnJ。
解：设甲数为x，乙数为y
由题意得：，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧</p>