高一下学期期末考试数学试题(共3套-含参考答案).pdf

1 广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1与 60 角的终边相同的角是（）A300 B240 C 120 D 602不等式 x2y+40 表示的区域在直线x2y+4=0的（）A左上方B左下方C右上方D右下方3已知角 的终边经过点 P（3，4），则 cos 的值是（）A B C D4不等式 x23x100 的解集是（）A x|2x5B x|x5 或 x2Cx|2x5D x|x5 或 x25若 sin=，是第四象限角，则cos（+）的值是（）ABCD6若 a，bR，下列命题正确的是（）A若 a|b|，则 a2b2B若|a|b，则 a2b2C若 a|b|，则 a2b2D若 ab，则 ab07要得到函数 y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位8已知 M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，P为平面 ABCD内任意一点，则+等于（）A4 B3 C2 D9若 cos2=，则 sin4+cos4的值是（）ABC D10已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A4 B2 C 2 D2 11已知点（n，an）在函数 y=2x13 的图象上，则数列 an的前 n 项和 Sn的最小值为（）A36 B36 C6 D612若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则 m 的范围是（）A（1，2）B（2，+）C 3，+）D（3，+）二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上.13若向量=（4，2），=（8，x），则 x 的值为14若关于 x 的方程 x2mx+m=0 没有实数根，则实数m 的取值范围是15已知 x，y 满足，则 z=2x+y 的最大值为16设 f（x）=sinxcosx+cos2x，则 f（x）的单调递减区间是三、解答题：本大题共6 小题，满分 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比为 q（q1），证明：Sn=18已知平面向量，满足|=1，|=2（1）若与 的夹角=120，求|+|的值；（2）若（k+）（k ），求实数 k 的值19在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 c=acosB+bsinA（1）求 A；（2）若 a=2，b=c，求 ABC的面积3 20已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=2，an+1=Sn（n=1，2，3，）（1）证明：数列 是等比数列；（2）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn21某电力部门需在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B 两地距离现测量人员在相距km 的 C、D两地（假设 A、B、C、D在同一平面上）测得 ACB=75 ，BCD=45 ，ADC=30 ，ADB=45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B 距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？22已知 A，B，C为锐角 ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，2），（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求 tanAtanBtanC的最小值4 广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1与 60 角的终边相同的角是（）A300 B240 C 120 D 60【考点】G2：终边相同的角【分析】与60 终边相同的角一定可以写成k360 60 的形式，kz，检验各个选项中的角是否满足此条件【解答】解：与 60 终边相同的角一定可以写成k360 60 的形式，kz，令 k=1 可得，300 与60 终边相同，故选：A2不等式 x2y+40 表示的区域在直线x2y+4=0的（）A左上方B左下方C右上方D右下方【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据题意，作出直线 x2y+4=0的图形，分析可得原点在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入 x2y+4，分析即可得答案【解答】解：根据题意，作出直线x2y+4=0，分析可得：原点（0，0）在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入 x2y+4 可得，x2y+40，故不等式 x2y+40 表示的区域在直线 x2y+4=0 的右下方；故选：D5 3已知角 的终边经过点 P（3，4），则 cos 的值是（）A B C D【考点】G9：任意角的三角函数的定义【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos 的值【解答】解：角 的终边经过点 P（3，4），x=3，y=4，r=|OP|=5，则 cos=，故选：C4不等式 x23x100 的解集是（）A x|2x5B x|x5 或 x2Cx|2x5D x|x5 或 x2【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】把不等式化为（x+2）（x5）0，求出解集即可【解答】解：不等式 x2x20 可化为（x+2）（x5）0，解得 x2或 x5，不等式的解集是 x|x2 或 x5 故选：D5若 sin=，是第四象限角，则cos（+）的值是（）ABCD6【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（+）的值【解答】解：sin=，是第四象限角，cos=，则 cos（+）=coscos sinsin=?（）=，故选：B6若 a，bR，下列命题正确的是（）A若 a|b|，则 a2b2B若|a|b，则 a2b2C若 a|b|，则 a2b2D若 ab，则 ab0【考点】R3：不等式的基本性质【分析】根据题意，由不等式的性质易得A 正确，利用特殊值法分析可得B、C、D 错误，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A、若 a|b|，则有|a|b|0，则 a2b2，故 A 正确；对于 B、当 a=1，b=2 时，a2b2，故 B错误；对于 C、当 a=1，b=1时，满足 a|b|，但有 a2=b2，故 C错误；对于 D、若 ab，则 ab0，故 D 错误；故选：A7要得到函数 y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由题意利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数 y=3sin2x图象向左平移个单位，可得 y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象，故选：C7 8已知 M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，P为平面 ABCD内任意一点，则+等于（）A4 B3C 2D【考点】9A：向量的三角形法则【分析】根据向量的三角形的法则和平行四边形的性质即可求出答案【解答】解：M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，P为平面 ABCD内任意一点，=+，=+，=+，=+，M 是平行四边形 ABCD对角线的交点，=，=，+=+=4，故选：A9若 cos2=，则 sin4+cos4的值是（）ABC D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，求得sin2和 cos2 的值，可得sin4+cos4的值【解答】解：cos2=2cos2 1=，cos2=，sin2=1cos2=，则 sin4+cos4=+=，故选：A10已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A4 B2 C 2 D【考点】3W：二次函数的性质；7F：基本不等式8【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法设一条直角边为x，则另一条为（4x），则根据三角形面积公式即可得到面积S和 x 之间的解析式，求最值即可【解答】解：设该三角形的一条直角边为x，则另一条为（4x），则其面积 S=x（4x）=（x2）2+2，（x0）分析可得：当 x=2时，S取得最大值，此时S=2；故选：C11已知点（n，an）在函数 y=2x13 的图象上，则数列 an的前 n 项和 Sn的最小值为（）A36 B36 C6 D6【考点】8E：数列的求和【分析】点（n，an）在函数 y=2x13 的图象上，的 an=2n13，a1=11，=n212n由二次函数性质，求得Sn的最小值【解答】解：点（n，an）在函数 y=2x13的图象上，则 an=2n13，a1=11=n212nnN+，当 n=6时，Sn取得最小值为 36故选：B12若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则 m 的范围是（）A（1，2）B（2，+）C 3，+）D（3，+）【考点】HQ：正弦定理的应用【分析】设三个角分别为A，+A，由正弦定理可得 m=，利用两角和差的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域【解答】解：钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=，A+C=，9 可设三个角分别为A，+A故 m=又A，tanA令 t=tanA，且t，则 m=在，上是增函数，+m2，故选 B二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上.13若向量=（4，2），=（8，x），则 x 的值为4【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解：向量=（4，2），=（8，x），解得 x=4故答案为：414若关于 x 的方程 x2mx+m=0 没有实数根，则实数m 的取值范围是（0，4）【考点】3W：二次函数的性质【分析】由二次函数的性质可知：0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m 的取值范围【解答】解：由方程 x2mx+m=0 没有实数根，则 0，m24m0，解得：0m4，实数 m 的取值范围（0，4），故答案为：（0，4）15已知 x，y 满足，则 z=2x+y 的最大值为310【考点】7C：简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（1，1），B（，），C（2，1），在ABC中满足 z=2x+y 的最大值是点 C，代入得最大值等于3故答案为：316设 f（x）=sinxcosx+cos2x，则 f（x）的单调递减区间是 k+，k+，（kZ）【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】推导出 f（x）=sin（2x+）+，由此能求出 f（x）的单调递减区间【解答】解：f（x）=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+，f（x）的单调递减区间满足：，kZ，kZf（x）的单调递减区间是 k+，k+，（kZ）11 故答案为：k+，k+，（kZ）三、解答题：本大题共6 小题，满分 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比为 q（q1），证明：Sn=【考点】89：等比数列的前 n 项和【分析】由，得，利用错位相减法能证明Sn=【解答】证明：因为，所以，qSn=，所以（1q）Sn=，当 q1 时，有 Sn=18已知平面向量，满足|=1，|=2（1）若与 的夹角=120，求|+|的值；（2）若（k+）（k ），求实数 k 的值【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）利用两个向量数量积的定义，求得的值，可得|+|=的值（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k+）?（k ）=k2?a2=0，由此求得 k 的值【解答】解：（1）|=1，|=2，若 与 的夹角=120，则=1?2?cos120=1，|+|=（2）（k+）（k ），（k+）?（k ）=k2?=k24=0，k=212 19在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 c=acosB+bsinA（1）求 A；（2）若 a=2，b=c，求 ABC的面积【考点】HP：正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得：tanA=1，结合范围 A（0，），可求 A的值（2）由三角形面积公式及余弦定理可求b2的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本小题满分 12 分）解：（1）由 c=acosB+bsinA及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA在ABC中，C=AB，所以 sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB 由以上两式得 sinA=cosA，即 tanA=1，又 A（0，），所以 A=（2）由于 SABC=bcsinA=bc，由 a=2，及余弦定理得：4=b2+c22bccosB=b2+c2，因为 b=c，所以 4=2b2b2，即 b2=4，故ABC的面积 S=bc=b2=20已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=2，an+1=Sn（n=1，2，3，）（1）证明：数列 是等比数列；（2）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】（1）an+1=Sn+1Sn=Sn，整理为=2即可证明13（2）由（1）得：=2n，即 Sn=n?2n可得 bn=，利用裂项求和方法即可得出【解答】（1）证明：因为，an+1=Sn+1Sn=Sn，所以=2，又 a1=2，故数列 是等比数列，首项为2，公比为 2 的等比数列（2）解：由（1）得：=2n，即 Sn=n?2n所以 bn=，故数列 bn 的前 n 项和 Tn=+=1=21某电力部门需在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B 两地距离现测量人员在相距km 的 C、D两地（假设 A、B、C、D在同一平面上）测得 ACB=75 ，BCD=45 ，ADC=30 ，ADB=45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B 距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】在ACD中求出 AC，在 BCD中求出 BC，在 ABC中利用余弦定理求出AB【解答】解：在 ACD中，ADC=30 ，ACD=75 +45=120，CAD=30 ，AC=CD=，在BCD中，BDC=30 +45=75，BCD=45 ，CBD=60 ，由正弦定理得：，14 BC=在ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC22AC?BC?cos ACB=3+（）22?=5，AB=故施工单位应该准备电线长为=5km22已知 A，B，C为锐角 ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，2），（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求 tanAtanBtanC的最小值【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）依题意有 sinA=2sinBsinC，从而 2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由 cosB 0，cosC0，能推导出 tanB，tanBtanC，tanC成等差数列（2）推导出 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而 tanAtanBtanC 8，由此能求出 tanAtanBtanC的最小值为 8【解答】（本小题满分 12 分）解：（1）依题意有 sinA=2sinBsinC 在ABC中，A=BC，所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，所以 2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC 因为 ABC为锐角三角形，所以cosB 0，cosC 0，所以 tanB+tanC=2tanBtanC，所以 tanB，tanBtanC，tanC成等差数列（2）在锐角 ABC中，tanA=tan（BC）=tan（B+C）=，即 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，由（1）知 tanB+tanC=2tanBtanC，于是 tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC，整理得 tanAtanBtanC 8，15 当且仅当 tanA=4时取等号，故 tanAtanBtanC的最小值为 816 广东省恵州市高一（下）期末数学试卷一.选择题1一元二次不等式 x2+x+20 的解集是（）A x|x1 或 x2B x|x2 或 x1C x|1x2D x|2x12已知 ，为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A若 ba，a?，则 bB若 ，=c，bc，则 bC若 ac，bc，则 abD若 ab=A，a?，b?，a，b，则 3在 ABC中，AC=1，A=30，则 ABC面积为（）ABC 或D或4设直线 l1：kxy+1=0，l2：xky+1=0，若 l1l2，则 k=（）A1 B1 C 1 D05已知 a0，b0，a+b=1，则+的最小值是（）A4 B5 C 8 D96若an 为等差数列，且 a2+a5+a8=39，则 a1+a2+a9的值为（）A114 B117 C 111 D1087如图：正四面体S ABC中，如果 E，F 分别是 SC，AB 的中点，那么异面直线EF与 SA所成的角等于（）A90B45C 60D308若直线与直线 2x+3y6=0的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围（）ABC D17 9若实数 x，y 满足约束条件，则 x2y 的最大值为（）A9 B3 C 1 D310在ABC中，角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 A=60，则（）ABCD11由直线 y=x+2 上的一点向圆（x3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A4 B3 C D112已知 an=log（n+1）（n+2）（nN*）我们把使乘积 a1?a2?a3?an为整数的数 n 叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A1024 B2003 C2026 D2048二.填空题13cos45sin15 sin45 cos15的值为14圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的标准方程是15公差不为零的等差数列的第1 项、第6 项、第21 项恰好构成等比数列，则它的公比为16一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为三.解答题解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17（10 分）已知函数 f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，xR（1）求函数 f（x）的最小正周期；18（2）求 f（）的值18（12 分）已知 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a=2，cosB=（）若 b=4，求 sinA 的值；（）若ABC的面积 SABC=4求 b，c 的值19（12 分）在 ABC中，已知 BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A 平分线所在直线的方程为 y=0，若点 B的坐标为（1，2），（）求直线 BC的方程；（）求点 C的坐标19 20（12 分）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是 QD的中点（）求证：QB平面 AEC；（）求证：平面QDC 平面 AEC；（）若 AB=1，AD=2，求多面体 ABCEQ 的体积21（12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=2an+n（nN*）（1）求证数列 an1是等比数列，并求数列 an 的通项公式；（2）若 bn=log2（an+1），求数列 的前 n 项和 Tn（12 分）已知圆 C的方程为：x2+y22x4y+m=0（1）求 m 的取值范围；（2）若圆 C与直线 3x+4y6=0 交于 M、N 两点，且|MN|=2，求 m 的值；（3）设直线 xy1=0与圆 C交于 A、B 两点，是否存在实数m，使得以 AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由20 广东省恵州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1一元二次不等式 x2+x+20 的解集是（）A x|x1 或 x2B x|x2 或 x1C x|1x2D x|2x1【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】把不等式 x2+x+20 化为（x+1）（x2）0，求出解集即可【解答】解：一元二次不等式 x2+x+20 可化为 x2x20，即（x+1）（x2）0，解得 1x2，不等式的解集是 x|1x2故选：C【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题2已知 ，为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A若 ba，a?，则 bB若 ，=c，bc，则 bC若 ac，bc，则 abD若 ab=A，a?，b?，a，b，则 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】在 A 中，b或 b?；在 B中，b 与 相交、平行或 b?；在 C中，a 与 b 相交、平行或异面；在 D 中，由面面平行的判定定理得 【解答】解：由 ，为平面，a，b，c 为直线，知：在 A 中，若 ba，a?，则 b或 b?，故 A 错误；在 B中，若 ，=c，bc，则 b 与 相交、平行或 b?，故 B错误；在 C中，若 ac，bc，则 a 与 b 相交、平行或异面，故C错误；在 D 中，若 ab=A，a?，b?，a，b，则由面面平行的判定定理得 ，故 D 正21 确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题3在 ABC中，AC=1，A=30，则 ABC面积为（）ABC 或D或【考点】HP：正弦定理【分析】根据题意和三角形的面积公式直接求出ABC面积【解答】解：因为，AC=1，A=30 ，则ABC面积为 S=，故选：B【点评】本题考查正弦定理中的三角形的面积公式，属于基础题4设直线 l1：kxy+1=0，l2：xky+1=0，若 l1l2，则 k=（）A1 B1 C 1 D0【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】对 k 分类讨论，利用平行线的充要条件即可得出【解答】解：k=0时，两条直线不平行k0 时，由 l1l2，则，解得 k=1综上可得：k=1故选：A【点评】本题考查了平行线的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5已知 a0，b0，a+b=1，则+的最小值是（）A4 B5 C 8 D922【考点】7F：基本不等式【分析】结合乘“1”法，通过基本不等式求解最值即可【解答】解：a0，b0，a+b=1，+=（+）（a+b）=5+5+2=9，当且仅当 b=2a=时取等号故选：9【点评】本题考查了乘“1”法在基本不等式的应用，考查基本不等式的性质以及计算能力6若an 为等差数列，且 a2+a5+a8=39，则 a1+a2+a9的值为（）A114 B117 C 111 D108【考点】85：等差数列的前 n 项和【分析】a2+a5+a8=39=3a5，解得 a5=13再利用求和公式及其性质即可得出【解答】解：a2+a5+a8=39=3a5，解得 a5=13则 a1+a2+a9=9a5=117故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7如图：正四面体S ABC中，如果 E，F 分别是 SC，AB 的中点，那么异面直线EF与 SA所成的角等于（）A90B45C 60D30【考点】LM：异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点 D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角即可23【解答】解：如图，取 AC的中点 D，连接 DE、DF，DEF为异面直线 EF与 SA所成的角设棱长为 2，则 DE=1，DF=1，而 EDDFDEF=45 ，故选 B【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，取 AC的中点 D，是解题的关键，属于基础题8若直线与直线 2x+3y6=0的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围（）ABC D【考点】I3：直线的斜率；IM：两条直线的交点坐标【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于 k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围【解答】解：联立两直线方程得：，将代入得：x=，把代入，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），24 因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由解得：k；由解得 k或 k，所以不等式的解集为：k，设直线 l 的倾斜角为 ，则 tan，所以 （，）方法二、直线 l 恒过定点（0，），作出两直线的图象，设直线 2x+3y6=0与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B从图中看出，斜率 kAPk+，即k+，故直线 l 的倾斜角的取值范围应为（，）故选 B【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题9若实数 x，y 满足约束条件，则 x2y 的最大值为（）A9 B3 C 1 D3【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B（2，3）时，z最小，当直线过 A 时，z最大【解答】解：画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=x2y，作出目标函数对应的直线，直线过 B时，直线的纵截距最小，z 最大，由：，可得 B（1，1），z最大值为 1；故选：C25【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值10在ABC中，角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 A=60，则（）ABCD【考点】HP：正弦定理【分析】由 a，b，c 成等比数列，可得代入再利用正弦定理可得=sinA，即可得出【解答】解：a，b，c成等比数列，=sinA=sin60=故选：C【点评】本题考查了等比数列的性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11由直线 y=x+2 上的一点向圆（x3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A4 B3 C D1【考点】J9：直线与圆的位置关系；IT：点到直线的距离公式【分析】确定圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点C到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x2 的距离即为|PC|的长，然后根据半径r，PC，PM26 满足勾股定理即可求出此时的切线长【解答】解：由题意，圆心 C（3，1），半径 r=，要使切线长的最小，则必须点C到直线的距离最小此时，圆心 C（3，1）到直线 y=x+2 的距离 d=所求的最小 PM=4故选 A【点评】本题的考点是直线与圆的位置关系，考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，解题的关键是找出切线长最短时的条件12已知 an=log（n+1）（n+2）（nN*）我们把使乘积 a1?a2?a3?an为整数的数 n 叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A1024 B2003 C2026 D2048【考点】4H：对数的运算性质【分析】根据换底公式，把 an=log（n+1）（n+2）代入 a1?a2an并且化简，转化为log2（n+2），由 log2（n+2）为整数，即 n+2=2m，mN*，令 m=1，2，3，10，可求得区间 1，2004 内的所有优数的和【解答】解：由换底公式：a1?a2?a3?an=log23?log34log（n+1）（n+2）=log2（n+2），log2（n+2）为整数，n+2=2m，mN*n 分别可取 222，232，242，最大值 2m22004，m 最大可取 10，故和为 22+23+21018=202627 故选：C【点评】本题了对数的换底公式，考查了数列和的求法，把 a1?a2an化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题二.填空题13cos45sin15 sin45 cos15的值为【考点】GQ：两角和与差的正弦函数【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解：cos45 sin15 sin45 cos15=sin（15 45）=sin30=故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数值的求法，是基础题14圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的标准方程是x2+（y2）2=1【考点】J1：圆的标准方程【分析】由题意可设设圆心为（0，b），根据半径为 1 的圆过点（1，2），求得 b 的值，可得圆的标准方程【解答】解：设圆心在 y 轴上，半径为 1 的圆的圆心为（0，b），因为此圆过点（1，2），半径为 1=，求得 b=2，故要求的圆的方程为x2+（y2）2=1，故答案为：x2+（y2）2=1【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，属于基础题15 公差不为零的等差数列的第1 项、第 6 项、第 21 项恰好构成等比数列，则它的公比为3【考点】8G：等比数列的性质【分析】设等差数列的公差为d，d0，由等比数列的性质可得d 的方程，解方程易得公比【解答】解：设等差数列的公差为d，d0，由题意可得（a1+5d）2=a1（a1+20d），化简可得 5d22a1d=0，d0，d=，28 数列的公比为=3故答案为：3【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题16一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为3【考点】L!：由三视图求面积、体积；LG：球的体积和表面积【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1 的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1 的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知AC=，外接球的面积是，29 故答案为：3【点评】本题考查由三视图求几何体的面积，考查球的表面积考查多面体的外接球的运算，这是一个综合题目，解题时注意几何体对称性的应用三.解答题解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17（10 分）（2017 春?惠州期末）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，xR（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求 f（）的值【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期（2）根据函数 f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值【解答】解：（1）函数 f（x）=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），f（x）的最小正周期为=（2）f（）=2sin（+）=2sin=2sin=1【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题18（12 分）（2017 春?惠州期末）已知 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（）若 b=4，求 sinA 的值；（）若ABC的面积 SABC=4求 b，c 的值【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【分析】（）先求出 sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；（）由 ABC的面积 SABC=4求 c 的值，利用余弦定理求b 的值【解答】解：（）cosB=30 sinB=，a=2，b=4，sinA=；（）SABC=4=2c，c=5，b=【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12 分）（2013?双台子区校级二模）在 ABC中，已知 BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A 平分线所在直线的方程为y=0，若点 B 的坐标为（1，2），（）求直线 BC的方程；（）求点 C的坐标【考点】IM：两条直线的交点坐标；IG：直线的一般式方程【分析】（I）根据垂直的位置关系，算出直线BC的斜率为 2，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线BC的方程；（II）由 BC边的高所在直线方程和y=0，解出 A（1，0），从而得出直线AB 的方程由直线 AC、AB关于直线 y=0 对称，算出 AC方程，最后将 AC方程与 BC方程联解，即可得出点C的坐标【解答】解：（）设 BC边上的高为 AD，BC与 AD互相垂直，且 AD 的斜率为，31 直线 BC的斜率为 k=2，结合 B（1，2），可得 BC的点斜式方程：y2=2（x1），化简整理，得2x+y4=0，即为所求的直线 BC方程（）由 x2y+1=0和 y=0联解，得 A（1，0）由此可得直线 AB方程为：，即 y=x+1AB，AC关于角 A 平分线 x 轴对称，直线 AC的方程为：y=x1 直线 BC方程为 y=2x+4 将 AC、BC方程联解，得 x=5，y=6 因此，可得 C点的坐标为（5，6）【点评】本题给出三角形的角平分线和高所在直线方程，求边BC 所在直线的方程和点C 坐标着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题20（12 分）（2017 春?惠州期末）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是 QD 的中点（）求证：QB平面 AEC；（）求证：平面QDC 平面 AEC；（）若 AB=1，AD=2，求多面体 ABCEQ 的体积32【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）连接 BD交 AC于 O，连接 EO证明 EO QB，即可证明 QB平面 AEC（）证明 CDAE，AE QD推出 AE平面 QDC，然后证明平面QDC 平面 AEC（）通过多面体ABCEQ 为四棱锥 QABCD截去三棱锥 EACD所得，计算求解即可【解答】（本小题满分 14 分）（）证明：连接BD交 AC于 O，连接 EO因为 E，O 分别为 QD和 BD的中点，则 EOQB（2 分）又 EO?平面 AEC，QB?平面 AEC，所以 QB 平面 AEC（）证明：因为矩形 ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD?平面 ABCD，CD AD，所以 CD平面 ADPQ（6 分）又 AE?平面 ADPQ，所以 CDAE（7 分）因为 AD=AQ，E是 QD的中点，所以 AEQD（8 分）所以 AE平面 QDC（9 分）所以平面 QDC 平面 AEC（10 分）（）解：多面体ABCEQ 为四棱锥 QABCD截去三棱锥 EACD所得，（12 分）所以（14 分）【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力33 21（12 分）（2017 春?惠州期末）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=2an+n（nN*）（1）求证数列 an1是等比数列，并求数列 an 的通项公式；（2）若 bn=log2（an+1），求数列 的前 n 项和 Tn【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式【分析】（1）通过 Sn=2an+n（nN+）与 Sn1=2an1+n1（n2）作差、变形可知 an1=2（an11），进而计算即得结论（2）由 bn=log2（an+1）=log22n=n得=，累加即可求解【解答】解：（1）Sn=2an+n（nN+）Sn1=2an1+n1（n2）两式相减得：an=2an11，变形可得：an1=2（an1