一元二次方程的综合复习.pdf

1 一元二次方程复习一）一元二次方程的定义)0a(0cbxax2是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2 的方程，叫做 一 元 二 次 方 程。0ax0cax0bxax222；这 三 个 方 程 都 是 一 元 二 次 方 程。求 根 公 式 为0ac4ba2ac4bbx22二）)0a(0cbxax2。a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、ac4b2当0 时方程有2 个不相等的实数根；2、当 0 时方程有两个相等的实数根；3、当 0 时方程无实数根.4、当 0 时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac0)0 有 两 个不相等的实数根C0 两根同号b0 有两个负根不相等b0 有两个正根不相等C0 负根绝对值较大(正根绝对值较小)3 两根异号b0 一根为 0 另一个根为负根b0 有两个相等的负根b0 1 有两个不相等的负实数根 x1.x20 x1+x20 2 有两个不相等的正实数根 x1.x20 x1+x20 0 3 负根的绝对值大于正根的绝对值 x1.x2 0 x1+x20 4 两个异号根正的绝对值较大 x1.x20 0 5 两根异号，但绝对值相等 x1.x206 一个负根，一个零根x1.x2 0 x1+x20 x1+x20 0 8 有两个相等的负根 x1.x20 x1+x20 x1+x20 0 10 有两个相的等的根都为零 x1.x20 x1+x2 0 4 0 11 两根互为倒数 x1.x21 12 两根互为相反数0 x1+x20 13 两根异号0 14两根同号0 x1.x20 15 有一根为零0 x1.x20 16 有一根为-1 0 a-b+c=0 17 无实数根0 0mxmx2119 ax2+bx+c(a0)这个二次三项式是完全平方式0 20 方程 ax2+bx+c 0(a0)（a、b、c 都是有理数）的根为有理根，则是一个完全平方式。21 方程 ax2+bx+c 0(a0)的两根之差的绝对值为：axx2122 0,方程 ax2+bx+c 0(a0)有相等的两个实数根。23 0,方程 ax2+bx+c 0(a 0)无实数根.24 方程 ax2+bx+c 0(a0)一定有一根为“1”0 a+b+c=0 25 方程 ax2+bx+c 0(a0)的解为0ac4ba2ac4bbx2226 方程 ax2+bx+c 0(a0)若 0 则abxx21acxx21注：凡是题中出现了x1.x20 即 a、c 异号方程必有解。1 例题 m为何值时，方程0mx10 x32有两个相等的实数根；无实数根；有两个不相等的实数根；有一根为0；两根同号；有一个正根一个负根；两根互为倒数。5 2 例题 k 为何值时关于x 的方程0k4m2m3x4mx4x22(m 为有理数)的根为有理数。3 例题 不论 m为何值时1m3x2x2都可以分解成二个一次因式的积4 例题 已知方程08m2x4x2的两根一个大于1，另一个根小于1，求 m的值的范围。5 例题 已知方程ax2+bx+c 0(a0)的实数根为m、n 求下列对称式子的值n1m1；22nm；nmmn；33nm；2nm；nm。6 例题 已知实数a、b 满足a22a2,b22b2且ba求baab的值。7 例题已知.052p2P01q2q52其中 p、q 为实数。求22q1p的值。8 用配方法求下面关于x 的一元二次方程ax2+bx+c 0(a0)9 已知axcxcxbxbxax是一个完全平方式，若 a0 试证明：方程0cbyay2无实6 数解。10 已 知 关 于x 的方 程0kx4k2x2有 两 个 不 相 等 的 实 数根，（1）求k的 取 值范 围。（2）化 简4k4k2k211、求非对称性式子的值（解题思想是逐次降次）例 1 已知的值。求2003201232XXXX例 2 设 a、b 是方程020092XX的两个实数根，求ba2a2的值。12 用适当的方法解下列方程(说明选用的理由）41x921x2x202y6y32014x3x2六）“归旧”思想在解一元二次方程中的应用“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p(m0,p0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=p，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。7 用简明图表可表示为：直接开平方法：形如（mx+n）2=p(m 0,p0)归旧根据平方根的定义两个一元一次方程。配方：最适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形如 x2+2kx+m=0（当然一般的形如 ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合适的方法）。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n）2=p(m 0,p 0)的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程归旧通过配方形如（mx+n）2=p(m 0,p0)的方程因式分解法：这种方法平时用的最多，最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0 方程，从而“归旧”为 a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。用简明图表可表示为：因式分解法：一元二次方程归旧通过分解因式两个公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。由此可见以上四种解法都是运用了归旧的数学思想，把新东西转换成熟悉的旧的东西去解决。归旧思想在初中数学中还有许多运用：如解二元一次方程归旧为一元一次方程，分式方程归旧为整式方程，二元二次方程组归旧为二元一次方程组或代入消元归旧为一元二次方程，平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线归旧为三角形问题等，由此可见熟练掌握归旧数学思想，对增强解题能力，改善知识结构，提高数学素养大有裨益。一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注：列方程解应用题的关键是:找出等量关系；所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数（字母）表示，根据题目中提供的条件列出两个代数式，这两个代数式表示同一个量（这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数），用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。二、一元二次方程，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：8 一）求互相联系的两数(数与数字方面的应用题)：连续的整数：设其中一数为x，另一数为x+1；（x-1，x，x+1）。连续的奇数：设其中一数为x，另一数为x+2；（x-2，x，x+2）。连续的偶数：设其中一数为x，另一数为x+2；（x-2，x，x+2）。和一定的两数（和为a）：设其中一数为x，另一数为a-x 差一定的两数（差为a）：设其中一数为x，另一数为x+a 积一定的两数（积为a）：设其中一数为x，另一数为a/x 商一定的两数（商为a）：设其中一数为x，另一数为ax（x/a）例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。解：设其中一数为x，另一数为x+2，依题意得：x（x+2）168 x2+2x-168=0（x-12）（x+14）0 x1=12，x2=14 当 x12 时，另一数为14；当 x-14 时，另一数为-12.答：这两个偶数分别为12、14 或-14、-12.二）百分数应用题（含增长率方面的题型）三）传染问题：（几何级数）传染源：1 个【每一轮 1 个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x）】患者：第一轮后：共（1+x）个第二轮后：共（1+x）?（1+x），即（1+x）2个第三轮后：共（1+x）?（1+x）?（1+x），即（1+x）3个,第 n 轮后：共（1+x）n个 注意：上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为a，则第 n 轮后患者共为：a（1+X）n个 例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81 台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，依题意得：（1+X）2=81 解得：x=8 或-10（负值不合题意，舍去）解（2）（1+8）3=93=729700，若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会超过700 台。四）银行利率应用题（含利滚利问题）：年利息本金年利率（年利率为a%）存一年的本息和：本金（1+年利率），即本金（1+a%）存两年的本息和：本金（1+年利率）2，即本金（1+a%）2存三年的本息和：本金（1+年利率）3，即本金（1+a%）3存 n 年的本息和：本金（1+年利率）n，即本金（1+a%）n例：我村2006 年的人均收入为1200元，2008 年的人均收入为1452 元，求人均收入的年平均增长率。解：设均收入的年平均增长率，则1200（1+x）2=1452 9 解得：X1=0.1，X2=-2.1（不合题意，舍去）人均收入的年平均增长率为10%。五）销售利润方案类题（含薄利多销问题及价格与销量问题）六）函数与方程七）信息题八）背景题九）古诗题十）象棋比赛题十一）几何类题：等积变形，动态几何问题，梯子问题，航海问题，几何与图表信息，探索存在问题，平分几何图形的周长与面积积问题，利用图形探索规律最常见的如：求直角三角形的边。面积 S一定，两直角边和（和为a）一定：设其中一边为x，另一边为a-x，则21x（a-x）=S 面积 S一定，两直角边差（差为 a）一定：设其中一边为x，另一边为x+a 或（X-a）则21x（x+a）=S或21x（x-a）=S 斜 边c一 定，两 直 角 边 和（和 为a）一 定：设 其 中 一 边 为x，另 一 边 为a-x，则 x2+（a-x）2=c2斜边 c 一定，两直角边差（差为a）一定：设其中一边为x，另一边为x+a 或 x-a 则x2+（x+a）2=c2或 x2+（x-a）2=c2例：一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm，求较长的直角边的长。解：设较短的直角边的长为x 厘米，较长的直角边的长为（x3）厘米，根据三角形的面积公式，得21x（x+3）=9 解得：X=3或 X=-6（不合题意，舍去）故 X=3，X+3=6 所以较长的直角的边长为6 厘米。常见的还有就是：求矩形的边：例：利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？解：设靠墙的一边为x x（20-2x）=20 解得：x=5 设靠墙的两边为5m，另一边为10m 十二）赛制循环问题：单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共21 x（x-1）场；双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；【单循环比双循环少了一半】例：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手10 次，有多少人参加聚会？解：设一共有x 人21x?（x-1）=10 解得：x=5 或 x=-4（不合题意，舍去）一共有5 人三、应用举例10 一）数字型1、两个数的和是7，积是 12，则这两个数是多少？2、5 个连续正整数，前3 个数的平方和比后两个数的积小1，这 5 个连续正整数分别是多少？3、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数是多少？二）百分数应用题（含增长率方面的）题型1、某企业 2004 年初投资100万元生产适销对路的产品，2004 年底将获得的利润与年初的投资和作2005 年的投资，到 2005 年底，两年共获利润为56 万元，已知2005 年的年获利比2004 的年获利率多10 个百分点（即2005的年获利率是2004 年的年获利率与10%的和），求 2004 年和 2005 年获利率各是多少？2、某工厂一月份生产某种机器100 台，计划二、三月份共生产231 台。设二、三月份每月的平均增长率为X，求增长率为多少？3、某市土地沙漠化严重，2005 年沙漠化土地面积为100Km2，经过综合治理，希望到2007 年沙漠化土地面积降到 81 Km2，如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同，求每年的沙漠化土地的降低百分率。三）传染病毒应用题1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81 台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 720 台？2、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169 只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？四）银行利率应用题1、某人将 2000 元按一年定期存入银行。到期后取出1000 元，并将剩下的1000 元及利息再按一年定期存入银行，到期后取得本息共计1091.8 元。求银行一年定期储蓄的年利率是多少？五）销售利润方案类题（1）经济类一1、某商店将进价为8 元的商品按每件10 元售出，每天可售出200 件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5 元其销售量就减少10 件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640 元？11 解：设每件售价x 元，则每件利润为x-8，每天销售量则为105.010200 x所以每天利润为640 元时，则根据：（每天销售量）（每件利润）=每天利润故有：6408105.010200 xx则有 x2-28x+192=0 即（x-12)（x-16)=0 所以 x1=12 或 x2=16。答：当每件售价为12 元或 16 元时，每天利润为640 元。2、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25 人，人均旅游费用为100 元；如果人数超过25 人，每增加1 人，人均旅游费用降低2 元，但人均旅游费用不得低于70 元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用2700 元，请问该单位这次共有多少员工去旅游了。3、苏宁服装商场将每件进价为30 元的内衣，以每件50 元售出，平均每月能售出300 件，经过试销发现，每件内衣涨价 10 元，其销量就将减少10 件，为了实现每月8700 元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？解：设涨价10 x 元,销量将减少10 x 件:(300-10X)(50+10X-30)=8700 6000+3000X-200X-100X2=8700X2-28X+27=0 (X-1)(X-27)=0 X1=1,以每件 50+101=60 元售出，平均每月能售出300-10 1=290 件,进货 290 件,以每件 60 元售出.X2=27,以每件 50+1027=320 元售出，平均每月能售出300-10 27=30 件,进货 30 件,以每件 320 元售出.因为售出价320 元太高,此解舍去.（此解舍去不是太有道理的）4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200 人,经调研,如果票价定为30 元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加1 元，售出的门票数就减少30 张，如果想获得36750 元的门票收入，票价应定为多少元？（2）经济类二（经济类试题一元二次方程的实际应用）近年来方程的应用与相关经济类试题呈逐渐增多的趋势现举例说明：例 1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多销售出2 件，1)若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？12 2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？解：1)设每件衬衫应降价X 元。得每天售出量（件）每件利润（元）每天盈利（元）20 40 20 40 20+2X 40-X（20+2X）（40-X）=1200 故列方程为：（20+2X）（40-X）=1200 整理得：0200302xx解之得：X1=10 X2=20 因为要尽快减少库存，所以X1=10 舍去，答：每件衬衫应降价20 元2）设每件衬衫应降价X 元,商场平均每天盈利最多y 元。得(20+X 2)（40-X)=y 8006022xxy12501522xy即 x=15 时，y 有最大值为1250 答：每件衬衫应降价15 元，商场平均每天盈利最多（最多为1250 元）。2：某商厦今年一月份销售额为60 万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，后经加强改进激利机制，激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到 0.1%)分析：设三、四月份平均每月增长的百分率为x，二月份销售额为60(110%)万元，三月份的销售额是二月份的(1+x)倍，即三月份销售额为60(110%)(1+x)万元，四月份的销售额是三月份的(1+x)倍，则四月份的销售额为60(110%)(1+x)2万元，其等量关系为：四月份销售额=96解：设三、四月份平均每月的增长率为x，依题意，得60(1 10%)(1+x)2=96 整理得：91612x解得：x1=31，x2=37(舍去)答：平均每月的增长率为33.3%例 3：某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(35010a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400 元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？分析：本题中涉及到的数量关系列表如下：进价售价单件利润售出数量利润21 a a21 350 10a 400 解：依题意得(a21)(350 10a)=400，整理得 a256a+775=0，即(a 25)(a 31)=0，解得 a1=25，a2=31 又因为 21(1+20%)=25.2。答：每件商品售价为25.2 元。例 4(本题满分10 分)利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:信息 1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5 元；信息 2:甲商品零售单价比进货单价多1 元，乙商品零售单价比进货单价的2 倍少1 元信息 3：按零售单价购买甲商品 3 件和乙商品2 件，共付了 19 元.13 请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品500 件和乙商品300 件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1 元，这两种商品每天可各多销售100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降 m 元.在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？解：（1）方法（一）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元根据题意，得x+y=53(x+1)+2(2 y-1)=19解得x=2y=3方法（二）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是（5-x）元甲的零售价为（X+1）元，乙的零售价为：2（5-X）-1 元。根据题意有：3（X+1）+22（5-X）-1=19 解之得：X=2 5-X=5-2=3 答：甲商品的进货单价是2 元，乙商品的进货单价是3 元解（2）分析：每件进价原售价现售价多销售（件）每件利润实际出售量甲商品2 2+1=3 3-m 1001.0m3-2-m=1-m 1001.0500m乙商品3 2（5-2）-1=5 5-m 1001.0m5-3=m 1001.0300m设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则s=(1-m)(500+100 m0.1)+(5-3-m)(300+100 m0.1)即 s=-2000 m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705.当 m=0.55 时，s 有最大值，最大值为1705.答：当 m 定为 0.55 时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705 元.六）函数与方程1.某工厂生产的某种产品质量分为10 个档次.第 1 档次（最低档次）的产品一天能生产76 件，每件利润10 元。每提高一个档次，每件利润增加2 元，但每天产量减少4 件.(1)若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1x10），求出 y 关于 x 的函数关系式；(2)若生产第x 档次的产品一天的总利润为1080 元，求该产品的质量档次.解:1)生产数量为:76-4(X-1)利润为:10+2(X 1)则函数为:Y=76 4(X1)10+2(X 1)整理为:Y=-8X2+128X+640 2）当 Y=1080 时，则有：1080=-8X2+128X+640 整理得：X2-16X+55=0 解之得 X1=5 或 X2=11(不合题舍)固为第五档.七）信息题1、某开发区为改善居民住房条件，每年都要建一批住房，这样人均住房面积逐年增加，该开发区 2005 年至 2006 年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，请根据下列两图提供信息解答问题：14（1）该区 2005 年和 2006 年这两年，哪一年比上年增加的住房面积多？多增加多少平方米？（2）预计到2008 年年底，该区人口是总数将比2006 年年底增加2 万人，为使到2007 年年底该区人均住房面积达到 22m2/人，试求2006 年，2008 年两年该区住房总面积的年平均增长率。2、某开发区为改善居民住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加人均住房面积=（该区住房总面积/该区人口总数）（单位：m2/人），该开发区2004 年至 2006 年每年年底人口总数和人均住房面积的统计如图1，图2请根据图1，图 2 提供的信息解答下面问题：（1）该区 2005 年和 2006 年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少平方米？（2）由于经济发展需要，预计到2008 年底该区人口总数比2006 年底增加 2 万人，为使到2008 年底该区人均住房面积达到11m2/人，试求2007 年和 2008 年这两年该区住房总面积的年平均增长率为多少？考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题；图表型分析：本题根据图象提供的信息进行分析、筛选，整理有关数据，根据题目的要求，正确识图，进而找出2005 年和2006 年人均住房面积及多增加多少万平方米第二个问题的实质是2007 年和 2008 年的平均增长率是以2006 年底人口为基础，再结合人均住房面积，求出总面积解答：解：（1）2006 年比 2005 年增加住房面积：20 10-18 9.6=27.2，（万 m2）2005 年比 2004 年增加住房面积：18 9.6-17 9=19.8，（万 m2）20 18 17 万人2005 2006 2006 年m2/人O O 2004 2004 2005 20 18.6 17 15 所以 2006 年比 2005 年的增加的面积多，且多增加27.2-19.8=7.4（万 m2）（2）设住房面积的平均增长率为x，则 20 10（1+x）2=11（20+2）解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）所以 2006 年与 2007 年这两年该区住房面积的年平均增长率为10%点评：列一元二次方程解应用题将实际问题转化为数学问题，增长率或降低率问题它符合a（1+x）n=b 类型，x 是增长率，a 是基础数，b 是增长后的量本题第二问考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x 的话，经过第一次调整，就调整到a（1 x），再经过第二次调整就是a（1 x）（1 x）=a（1 x）2增长用“+”，下降用“-”八）、背景题例 1、某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A kW h,那么这个月这户只需要交10 元电费；如果超过A kW h，则这个月除了仍要交10 元用电费外，超过部分还要按每度100A元交费。（1）该厂某户居民2 月份用电 90 kW h，超过了规定的A kW h，则超过部分应交电费多少元（用A 的代数式表示）。（2）下表是这户居民3 月、4 月份用电情况和交费情况：月份用电量/kW h 交电费总数/元3 80 25 4 45 10 根据上表的数据，计算电厂规定的A kW h 是多少？例 2【实际背景】预警方案确定:设0 00 0W月 的 克肉 价 格月 的 克 玉 米 价 格当猪当如果当月W6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”【数据收集】今年 2 月 5 月玉米、猪肉价格统计表月份2 3 4 5 玉米价格(元/500 克)0.7 0.8 0.9 1 猪肉价格(元/500 克)7.5 m 6.25 6【问题解决】(1)若今年 3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5 月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求 3月的猪肉价格m；(2)若今年 6 月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5 月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7 月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；(3)若今年 6 月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2 倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到 7 月时只用 5.5 元就可以买到500 克猪肉和500 克玉米请你预测8 月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”解：（1）由题意，7.566.257.56.25m，解得：m=7.216（2）从 2 月5月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每500 克增长 0.1元（或：设ykx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y=0.1x+0.5，把（4，0.9），（5，1）代入都符合，再得到（6，1.1）6 月玉米的价格是：1.1 元/500 克;5 月增长率：66.2516.2525，6 月猪肉的价格：6(1125)=5.76 元/500 克.W=5.761.1=5.246，要采取措施（3）7 月猪肉价格是：26(1)a元/500 克；7 月玉米价格是：21(12)a元/500 克；由题意，26(1)a+21(12)a=5.5，解得，13102aa或32a不合题意，舍去2216(1)1011(1)5W7.59，(7.59)6W，不(或：不一定)需要采取措施九）、古诗问题例：读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；(小常识：三十而立，四十不惑。)十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x3.则根据题意，得x210(x3)+x，即 x2-11x+30 0，解这个方程，得x5 或x 6.当x5 时，周瑜的年龄25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x6 时，周瑜年龄为36 岁，完全符合题意.答：周瑜去世的年龄为36 岁.说明：本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题。十）、象棋比赛例：象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记0 分.如果平局，两个选手各记1分，临时有四个同学统计了全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解：设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计n(n1)局，另一个理解方式为：两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n1)局 .由于每局共计2 分，所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然(n 1)与n为相邻的自然数，由于，相邻两个自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6。故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980。则有：n(n1)1980，整理得：n2n19800 解之得n145，n2 44（舍去）.答：参加比赛的选手共有45 人.说明：类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解。十一）、几何类题17（1）等积变形例 1 将一块长18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2 中的小路的宽和图3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解：都能.（1）设小路宽为x，则xxx151823 18 15，即 x233x+1800，解这个方程，得241333x，即2413331x（舍去）；2413332x（2）设扇形半径为r，则 3.14r223 18 15，即 r257.32，所以 r7.6.说明：等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.（2）动态几何问题例：如图4 所示，在 ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点Q 从 C 点出发沿CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使PCQ 的面积为 8 平方厘米？（2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解：因为 C90，所以 AB22ACBC226810（cm）.（1）设 xs 后，可使 PCQ 的面积为8cm2，所以APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得12(6x)2x8.整理，得x26x+80，解这个方程，得x12，x24.所以 P、Q 同时出发，2s或 4s 后可使 PCQ 的面积为 8cm2.（2）设点 P 出发 x 秒后，PCQ 的面积等于ABC 面积的一半.则根据题意，得12(6x)2x1212 6 8.整理，得x26x+12 0.图 2 QPCBA图 4 图 3 18 012-12146-2所以方程无实数解。由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.说明：本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据：路程速度时间；动态题的解题是思想是化动态为静态，在运动的某一时刻就是一个静态时的状态。（3）梯子问题例：一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解：依题意，梯子的顶端距墙角221068（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解这个方程，得x11.14，x2 13.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解这个方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解这个方程，得x10（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动2m 时，底端向外也滑动2m.说明：求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形；在滑动的过程中梯子的长度没有改变，也就是构成的直 角 三角 形的 斜边 是 一个常量 10m。（4）、航海问题例：如图5 所示，我海军基地位于A 处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于 BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰FEDCBA图 5 19（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2 倍，军舰在由B 到 C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1 海里）解（1）F 位于 D 的正南方向，则DFBC.因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以DF 12AB100 海里，所以，小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里.（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DEx 海里，AB+BE2x 海里，EF AB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得3x21200 x+1000000.解这个方程，得x120010063118.4，x2200+10063（不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4 海里.说明：求解这类几何运动题题型时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程；或找出相似三角形，应用相似比构造出等量关系式；或找出线段之间的倍数关系，从而找出等量关系式。（5）、几何与图表信息例：如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12，划分成 12 12 个小正方形格，将边长为n（n 为整数，且 2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)(n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n 的取值不同，?完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n2 3 4 5 6 使用的纸片张数（2）设正方形ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的面积为S2.当 n2 时，求 S1S2的值；是否存在使得S1S2的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：纸片的边长n2 3 4 5 6。n（2n11）使用的纸片张数11 10 9 8 7。12-n+1=13-n（2）S1 n2+(12n)n2(n 1)2 n2+25n12.图 6 20 当 n2 时，S1 22+25 2 1234，S212 1234 110.所以 S1S2 341101755.注：12-n 是“七字形”图形的个数，（n-1）2是第二张与第一张纸片重合的部分面积，n2是每一张纸片的面积，n2（n-1）2是第二张纸片没有遮盖得住第一张纸片的面积（亦就是图中“七字形”图形的面积）。若 S1S2，则有 n2+25n1212 122，即 n225n+84 0，解这个方