一元二次方程的综合复习.pdf
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1、1 一元二次方程复习一)一元二次方程的定义)0a(0cbxax2是一元二次方程的一般式,只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2 的方程,叫做 一 元 二 次 方 程。0ax0cax0bxax222;这 三 个 方 程 都 是 一 元 二 次 方 程。求 根 公 式 为0ac4ba2ac4bbx22二))0a(0cbxax2。a 是二次项系数;b 是一次项系数;c 是常数项,注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢?1、ac4b2当0 时方程有2 个不相等的实数根;2、当 0 时方程有两个相等的实数根;3、当 0 时方程无实数根.4、当 0 时方程有两个实数根(
2、方程有实数根);5、ac0)0 有 两 个不相等的实数根C0 两根同号b0 有两个负根不相等b0 有两个正根不相等C0 负根绝对值较大(正根绝对值较小)3 两根异号b0 一根为 0 另一个根为负根b0 有两个相等的负根b0 1 有两个不相等的负实数根 x1.x20 x1+x20 2 有两个不相等的正实数根 x1.x20 x1+x20 0 3 负根的绝对值大于正根的绝对值 x1.x2 0 x1+x20 4 两个异号根正的绝对值较大 x1.x20 0 5 两根异号,但绝对值相等 x1.x206 一个负根,一个零根x1.x2 0 x1+x20 x1+x20 0 8 有两个相等的负根 x1.x20 x
3、1+x20 x1+x20 0 10 有两个相的等的根都为零 x1.x20 x1+x2 0 4 0 11 两根互为倒数 x1.x21 12 两根互为相反数0 x1+x20 13 两根异号0 14两根同号0 x1.x20 15 有一根为零0 x1.x20 16 有一根为-1 0 a-b+c=0 17 无实数根0 0mxmx2119 ax2+bx+c(a0)这个二次三项式是完全平方式0 20 方程 ax2+bx+c 0(a0)(a、b、c 都是有理数)的根为有理根,则是一个完全平方式。21 方程 ax2+bx+c 0(a0)的两根之差的绝对值为:axx2122 0,方程 ax2+bx+c 0(a0)
4、有相等的两个实数根。23 0,方程 ax2+bx+c 0(a 0)无实数根.24 方程 ax2+bx+c 0(a0)一定有一根为“1”0 a+b+c=0 25 方程 ax2+bx+c 0(a0)的解为0ac4ba2ac4bbx2226 方程 ax2+bx+c 0(a0)若 0 则abxx21acxx21注:凡是题中出现了x1.x20 即 a、c 异号方程必有解。1 例题 m为何值时,方程0mx10 x32有两个相等的实数根;无实数根;有两个不相等的实数根;有一根为0;两根同号;有一个正根一个负根;两根互为倒数。5 2 例题 k 为何值时关于x 的方程0k4m2m3x4mx4x22(m 为有理数
5、)的根为有理数。3 例题 不论 m为何值时1m3x2x2都可以分解成二个一次因式的积4 例题 已知方程08m2x4x2的两根一个大于1,另一个根小于1,求 m的值的范围。5 例题 已知方程ax2+bx+c 0(a0)的实数根为m、n 求下列对称式子的值n1m1;22nm;nmmn;33nm;2nm;nm。6 例题 已知实数a、b 满足a22a2,b22b2且ba求baab的值。7 例题已知.052p2P01q2q52其中 p、q 为实数。求22q1p的值。8 用配方法求下面关于x 的一元二次方程ax2+bx+c 0(a0)9 已知axcxcxbxbxax是一个完全平方式,若 a0 试证明:方程
6、0cbyay2无实6 数解。10 已 知 关 于x 的方 程0kx4k2x2有 两 个 不 相 等 的 实 数根,(1)求k的 取 值范 围。(2)化 简4k4k2k211、求非对称性式子的值(解题思想是逐次降次)例 1 已知的值。求2003201232XXXX例 2 设 a、b 是方程020092XX的两个实数根,求ba2a2的值。12 用适当的方法解下列方程(说明选用的理由)41x921x2x202y6y32014x3x2六)“归旧”思想在解一元二次方程中的应用“归旧”就是把待解决的问题,通过某种转化,归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公
7、式法,这几种解法,都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法:适用于等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负实数的形式,形如(mx+n)2=p(m0,p0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解,即有一元一次方程为mx+n=p,分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。7 用简明图表可表示为:直接开平方法:形如(mx+n)2=p(m 0,p0)归旧根据平方根的定义两个一元一次方程。配方:最适用于二次项系数为1,一次项系数为偶数的形式的一元二次方程,形如 x2+2kx+m=0(当然一般的形如 ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定
8、是最合适的方法)。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段,把原方程“归旧”为上述形如(mx+n)2=p(m 0,p 0)的方程,然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为:配方法:一元二次方程归旧通过配方形如(mx+n)2=p(m 0,p0)的方程因式分解法:这种方法平时用的最多,最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段,把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0 方程,从而“归旧”为 a1x+c1=0、a2x+c2=0,再分别求出这两个一元一次方程的根,就得到原一元二次方程的两个解。用简明
9、图表可表示为:因式分解法:一元二次方程归旧通过分解因式两个公式法:公式法的实质就是配方法,只不过在解题时省去了配方的过程,所以解法简单。但计算量较大,只有在不便运用上述三种方法,且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。由此可见以上四种解法都是运用了归旧的数学思想,把新东西转换成熟悉的旧的东西去解决。归旧思想在初中数学中还有许多运用:如解二元一次方程归旧为一元一次方程,分式方程归旧为整式方程,二元二次方程组归旧为二元一次方程组或代入消元归旧为一元二次方程,平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线归旧为三角形问题等,由此可见熟练掌握归旧数学思想,对增强解题能力,改善知识结构,提高数学素养
10、大有裨益。一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注:列方程解应用题的关键是:找出等量关系;所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数),用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。二、一元二次方程
11、,其应用题的范围也比较广泛,归纳起来可大致有以下几种类型:8 一)求互相联系的两数(数与数字方面的应用题):连续的整数:设其中一数为x,另一数为x+1;(x-1,x,x+1)。连续的奇数:设其中一数为x,另一数为x+2;(x-2,x,x+2)。连续的偶数:设其中一数为x,另一数为x+2;(x-2,x,x+2)。和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x 差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a 积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x 商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax(x/a)例:两个相邻偶数的积是168,求这两个偶数。解:设其中一数
12、为x,另一数为x+2,依题意得:x(x+2)168 x2+2x-168=0(x-12)(x+14)0 x1=12,x2=14 当 x12 时,另一数为14;当 x-14 时,另一数为-12.答:这两个偶数分别为12、14 或-14、-12.二)百分数应用题(含增长率方面的题型)三)传染问题:(几何级数)传染源:1 个【每一轮 1 个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1:(1+x)】患者:第一轮后:共(1+x)个第二轮后:共(1+x)?(1+x),即(1+x)2个第三轮后:共(1+x)?(1+x)?(1+x),即(1+x)3个,第 n 轮后:共(1+x)n个 注意:上面例举的是传染源为“1”
13、的情况得到的结论。若传染源为a,则第 n 轮后患者共为:a(1+X)n个 例:某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81 台电脑被感染。请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台?解:(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑,依题意得:(1+X)2=81 解得:x=8 或-10(负值不合题意,舍去)解(2)(1+8)3=93=729700,若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会超过700 台。四)银行利率应用题(含利滚利问题):年利息本金年利率(年利率为a%)存
14、一年的本息和:本金(1+年利率),即本金(1+a%)存两年的本息和:本金(1+年利率)2,即本金(1+a%)2存三年的本息和:本金(1+年利率)3,即本金(1+a%)3存 n 年的本息和:本金(1+年利率)n,即本金(1+a%)n例:我村2006 年的人均收入为1200元,2008 年的人均收入为1452 元,求人均收入的年平均增长率。解:设均收入的年平均增长率,则1200(1+x)2=1452 9 解得:X1=0.1,X2=-2.1(不合题意,舍去)人均收入的年平均增长率为10%。五)销售利润方案类题(含薄利多销问题及价格与销量问题)六)函数与方程七)信息题八)背景题九)古诗题十)象棋比赛题
15、十一)几何类题:等积变形,动态几何问题,梯子问题,航海问题,几何与图表信息,探索存在问题,平分几何图形的周长与面积积问题,利用图形探索规律最常见的如:求直角三角形的边。面积 S一定,两直角边和(和为a)一定:设其中一边为x,另一边为a-x,则21x(a-x)=S 面积 S一定,两直角边差(差为 a)一定:设其中一边为x,另一边为x+a 或(X-a)则21x(x+a)=S或21x(x-a)=S 斜 边c一 定,两 直 角 边 和(和 为a)一 定:设 其 中 一 边 为x,另 一 边 为a-x,则 x2+(a-x)2=c2斜边 c 一定,两直角边差(差为a)一定:设其中一边为x,另一边为x+a
16、或 x-a 则x2+(x+a)2=c2或 x2+(x-a)2=c2例:一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积是9cm,求较长的直角边的长。解:设较短的直角边的长为x 厘米,较长的直角边的长为(x3)厘米,根据三角形的面积公式,得21x(x+3)=9 解得:X=3或 X=-6(不合题意,舍去)故 X=3,X+3=6 所以较长的直角的边长为6 厘米。常见的还有就是:求矩形的边:例:利用一面墙(墙的长度不限),用20m长的篱笆,怎样围成一个面积为50m2的矩形场地?解:设靠墙的一边为x x(20-2x)=20 解得:x=5 设靠墙的两边为5m,另一边为10m 十二)赛制循环问题:单循环:设参加的
17、球队为x,则全部比赛共21 x(x-1)场;双循环:设参加的球队为x,则全部比赛共x(x-1)场;【单循环比双循环少了一半】例:参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人握手10 次,有多少人参加聚会?解:设一共有x 人21x?(x-1)=10 解得:x=5 或 x=-4(不合题意,舍去)一共有5 人三、应用举例10 一)数字型1、两个数的和是7,积是 12,则这两个数是多少?2、5 个连续正整数,前3 个数的平方和比后两个数的积小1,这 5 个连续正整数分别是多少?3、一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,求这个两位数是多少?二)百分数应用题
18、(含增长率方面的)题型1、某企业 2004 年初投资100万元生产适销对路的产品,2004 年底将获得的利润与年初的投资和作2005 年的投资,到 2005 年底,两年共获利润为56 万元,已知2005 年的年获利比2004 的年获利率多10 个百分点(即2005的年获利率是2004 年的年获利率与10%的和),求 2004 年和 2005 年获利率各是多少?2、某工厂一月份生产某种机器100 台,计划二、三月份共生产231 台。设二、三月份每月的平均增长率为X,求增长率为多少?3、某市土地沙漠化严重,2005 年沙漠化土地面积为100Km2,经过综合治理,希望到2007 年沙漠化土地面积降到
19、 81 Km2,如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同,求每年的沙漠化土地的降低百分率。三)传染病毒应用题1、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81 台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 720 台?2、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情,某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169 只小鸡遭感染患病,在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡?四)银行利率应用题1、某人将 2000 元按一年定期存入银行。到期后取出1000 元,并将剩下的1000 元及利
20、息再按一年定期存入银行,到期后取得本息共计1091.8 元。求银行一年定期储蓄的年利率是多少?五)销售利润方案类题(1)经济类一1、某商店将进价为8 元的商品按每件10 元售出,每天可售出200 件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5 元其销售量就减少10 件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640 元?11 解:设每件售价x 元,则每件利润为x-8,每天销售量则为105.010200 x所以每天利润为640 元时,则根据:(每天销售量)(每件利润)=每天利润故有:6408105.010200 xx则有 x2-28x+192=0 即(
21、x-12)(x-16)=0 所以 x1=12 或 x2=16。答:当每件售价为12 元或 16 元时,每天利润为640 元。2、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25 人,人均旅游费用为100 元;如果人数超过25 人,每增加1 人,人均旅游费用降低2 元,但人均旅游费用不得低于70 元,某单位组织员工去大纵湖风景区旅游,共支付给神州旅行社旅游费用2700 元,请问该单位这次共有多少员工去旅游了。3、苏宁服装商场将每件进价为30 元的内衣,以每件50 元售出,平均每月能售出300 件,经过试销发现,每件内衣涨价 10 元,其销量就将减少10 件,为了
22、实现每月8700 元销售利润,假如你是商场营销部负责人,你将如何安排进货?解:设涨价10 x 元,销量将减少10 x 件:(300-10X)(50+10X-30)=8700 6000+3000X-200X-100X2=8700X2-28X+27=0 (X-1)(X-27)=0 X1=1,以每件 50+101=60 元售出,平均每月能售出300-10 1=290 件,进货 290 件,以每件 60 元售出.X2=27,以每件 50+1027=320 元售出,平均每月能售出300-10 27=30 件,进货 30 件,以每件 320 元售出.因为售出价320 元太高,此解舍去.(此解舍去不是太有道
23、理的)4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200 人,经调研,如果票价定为30 元,那么门票可以全部售完,门票价格每增加1 元,售出的门票数就减少30 张,如果想获得36750 元的门票收入,票价应定为多少元?(2)经济类二(经济类试题一元二次方程的实际应用)近年来方程的应用与相关经济类试题呈逐渐增多的趋势现举例说明:例 1:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20 件,每件盈利 40 元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1 元,商场平均每天可多销售出2 件,1)若商场平均每天要盈利1200 元,每件衬衫应降价多少元?
24、12 2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?解:1)设每件衬衫应降价X 元。得每天售出量(件)每件利润(元)每天盈利(元)20 40 20 40 20+2X 40-X(20+2X)(40-X)=1200 故列方程为:(20+2X)(40-X)=1200 整理得:0200302xx解之得:X1=10 X2=20 因为要尽快减少库存,所以X1=10 舍去,答:每件衬衫应降价20 元2)设每件衬衫应降价X 元,商场平均每天盈利最多y 元。得(20+X 2)(40-X)=y 8006022xxy12501522xy即 x=15 时,y 有最大值为1250 答:每件衬衫应降价15 元,商场平均
25、每天盈利最多(最多为1250 元)。2:某商厦今年一月份销售额为60 万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降10%,后经加强改进激利机制,激发了全体员工的积极性,月销售额大幅度上升,到四月份销售额猛增到96 万元,求三、四月份平均每月增长的百分率是多少?(精确到 0.1%)分析:设三、四月份平均每月增长的百分率为x,二月份销售额为60(110%)万元,三月份的销售额是二月份的(1+x)倍,即三月份销售额为60(110%)(1+x)万元,四月份的销售额是三月份的(1+x)倍,则四月份的销售额为60(110%)(1+x)2万元,其等量关系为:四月份销售额=96解:设三、四月份平均每月的增长
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