【安徽省池州市】2017届高三4月联考数学(理科)试卷-答案.pdf

1/14 安徽省池州市安徽省池州市 2017 届高三届高三 4 月联考数学（理科）试卷月联考数学（理科）试卷 答答 案案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 15BCBDC 610BDCAA 1112DB 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）1333 142 23 1516 16310 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【答案】（）21nan；（）当 n 为偶数时，221nnSn.当 n 为奇数时，2221nnSn.18【答案】（）0.005a；（）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25，故晋级成功的人数为100 0.2525（人），故填表如下 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得22100(1641 34 9)2.6132.07225 75 50 50K，所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关（）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，故X可视为服从二项分布，即3(4,)4XB，4431()C()()(0,1,2,3)44kkkP Xkk，故0044311(0)C()()44256P X，1134313(1)C()()4454P X，2/14 22243154(2)C()()44256P X，331431103(3)C()()44256P X，44043181(4)C()()44256P X，故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4()P Xk 1256 364 54256 108256 81256 3()434E X 或135410881()01234325664256256256E X .19【答案】（）因为AEBD且BEDE，可得ABD为等腰直角三角形，则ABAD，又ABCD，且,AD CD 平面 ACD，ADCDD，故AB 平面 ACD，又AB 平面 BAD，所以平面ACD 平面 BAD.（）155.20【答案】（）过点 M 作MHl，H 为垂足，设点 M 的坐标为(,)x y，则22|OMxy，|MHxm，又2|2OMMH，所以222|2xyxm，故点 M 的轨迹方程为22211022xymxm.可化为2222()12xmymm，显然点 M 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆；（）(6,10)21【答案】（）201540300 xy；（）(,2 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22【答案】（）(2,2)；（）4 2 23【答案】（）1a；（）4,)3/14 安徽省池州市安徽省池州市 2017 届高三届高三 4 月联考数学（理科）试卷月联考数学（理科）试卷 解解 析析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【解析】集合,集合,所以 或,真子集有,共 3 个,选 B.2【解析】设,由 有,解得,所以,选 C.3 4【解析】因为,所以大小关系为.5 6【解 析】当此 时 否,否,是,输 出,选 B.7 4/14 8 9【解析】当 时,画出可行域如下图三角形 ABC 边界及内部,目标函数,写成直线的斜截式有,当 有最大值时,这条直线的纵截距最小,所以目标函数在 A 点取得最大值.联立,求得,符合;当 时,画出可行域,红色区域,由于可行域是一个向 轴负方向敞开的图形,所以不能取到最大值,不合题意,综上所述,选 A.5/14 10 点睛:本题考查了利用外接球的半径求正三棱锥的高,属于中档题.本题思路:由已知条件分别求出的表达式,解出之间的关系,再利用外接球的球心到各顶点距离相等,求出的值,再求出正三棱锥的高.11【解析】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有,所以抛物线的标线方程 为,准 线 方 程 为,故 双 曲 线 的 一 个 焦 点 坐 标 为,即,所 以,渐近线方程为,直线 方程为,所以点,点P 到双曲线的一条渐近线的距离为,选 D.点睛:本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质,属于中档题.先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出 的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点 P 到双曲线 6/14 的一条渐近线的距离.12 点睛:本题主要考查了充分必要条件,涉及导数的定义与曲线上割线的斜率,属于中档题.注意当判断命题为假时,可以举出反例.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13【解析】,显然,所以.14【解析】因为,且,所以,且,所以.15 【解 析】由 题 意 画 出 事 件“”所 表 示 的 图 象,如 图 阴 影 部 分,阴 影 部 分 的 面 积 为,由几何概型概率公式有事件“”的概率为.16【解析】设,则在 中,由余弦定理有,所以四边形面积,所以当 7/14 时,四边形面积有最大值.点睛:本题主要考查解三角形,属于中档题.本题思路:在 中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把 四边形面积写成 这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当 时,四边形面积有最大值.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【解析】试题分析:(1)设等差数列的公差为,由 展开求出公差 ,再写出数列 的通项公式;(2)将 化简,分 为奇偶,利用裂项相消求出数列的前 项和.试题解析:（）设等差数列的公差为，由题意得，即，解得或（舍），所以.（）由，可得，当 为偶数时，.当 为奇数时，为偶数，于是.18【解析】试题分析:(1)利用所有矩形的面积和为 1,求出;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的人数,填表,计算的值,与临界值表中 比较,得出结论;(3)求出晋级失败的概率,4 人中晋级失败的人数为,则服从二项分布,再求出分布列和数学期望.试题解析：()由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知，故.8/14 ()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，故晋级成功的人数为（人），故填表如下 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关 故的分布列为 0 1 2 3 4 或（.19【解析】试题分析:(1)由面面垂直的判定定理得出证明;(2)以 E 为原点,建立空间直角坐标系,写出各点坐 9/14 标,设,由,求出,求出平面 的一个法向量,由已知条件找出平面 的一个法向量,利用公式求出二面角的余弦值.（）以为原点，以的方向为 轴正方向，的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过 点作平面的垂线，垂足为，根据对称性，显然点在 轴上，设.由题设条件可得下列坐标：，.，由于，所以，解得，则点坐标为.由于，设平面的法向量，由及得 令，由此可得.由于，则为平面的一个法向量，10/14 则，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.20【解析】试题分析:(1)设，直接法求出点 的轨迹方程，由轨迹方程判断出轨迹;(2)由已知条件求出曲线 E 的方程,利用向量坐标运算求出,设直线 的斜率为 ,联立直线的方程和曲线 E 的方程,利用韦达定理求出,再求出 的范围.试题解析:（）过点作，为垂足，设点的坐标为，则，又，所以，故点的轨迹方程为.可化为，显然点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆.（）时，得到的曲线 的方程是，故曲线的方程是.设,，则，由，得，即.11/14 当与 轴不垂直时，直线的方程为，即，代入曲线的方程并注意到，整理可得，则，即，于是.当与 轴垂直时，A 点的横坐标为，显然也成立.同理可得.设直线的方程为，联立，消去 y 整理得，由及，解得.又，则.故求的取值范围是.点睛:本题考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆相交时相关问题,属于中档题.在(1)中,求轨迹与求轨迹方程不一样,把轨迹方程求出来后,再判断是什么类型的曲线;在(2)中,注意向量坐标运算求出的表达式,再联立直线的方程和椭圆方程求出,进而求出 的范围.21 12/14 （）由得，而，所以，设函数，于是问题 转化为，对任意的恒成立.注意到，所以若，则单调递增，从而.而，所以等价于，分离参数得，由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，于是.当时，设，因为，又抛物线开口向上，所以函数有两个零点，设两个零点为，则，13/14 于是当时，故，所以单调递减，故，这与题设矛盾，不合题意.综上，的取值范围是.点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数在上为增函数,分离出参数,求 的最大值.得到 的范围.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22【解析】试题分析:(1)由,将极坐标方程转化为直角坐标方程;(2)求出直线 上的点与圆心之间的距离,由勾股定理求出切线长,再求出最小值.（），圆 的直角坐标方程为，即 圆心的直角坐标为.（）直线 上的点向圆 引切线，则切线长为，直线 上的点向圆 引的切线长的最小值为.23【解析】试题分析：（1）由题意得，解得，再由已知不等式的解集为，可得到 的值；（2）在（1）的条件下，即，即，求得的最小值为，可得的范围.14/14 考点：1.绝对值不等式的解法；2.函数最值的应用.