华科线性代数复习重点.doc
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1、第一部分 行列式重点:1 排列得逆序数(P、5例4;P、26第2、4题)2 行列式按行(列)展开法则(P、21例13;P、28第9题)3 行列式得性质及行列式得计算(P、27第8题)【主要内容】1、行列式得定义、性质、展开定理、及其应用克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵得行列式4、几个重要公式:(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7) ; (8) (其中为阶方阵,为常数)5、行列式得常见计算方法:(1)利用性质化行列式为上(下)三角形;(2)利用行列式得展开定理降阶;(3)根据行列式得特点借助特殊行列式得值【要求】1、了解行列式得定义,熟记几个特殊行列式得值。2、掌握排
2、列与逆序得定义,会求一个排列得逆序数。3、能熟练应用行列式得性质、展开法则准确计算35阶行列式得值。4、会计算简单得阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。第二部分 矩阵1 矩阵得运算性质2 矩阵求逆及矩阵方程得求解(P、56第17、18题;P、78第5题)3 伴随阵得性质(P、41例9;P、56第23、24题;P、109第25题)、正交阵得性质(P、116)4 矩阵得秩得性质(P、69至71;P、100例13、14、15)【主要内容】1、矩阵得概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵得行列式3、可逆矩阵得定义、性质、求法(公式法、初等变换法、分块对角阵求逆)。4、阶矩阵可逆为非奇异(非退化)得
3、矩阵。为满秩矩阵。只有零解有唯一解得行(列)向量组线性无关得特征值全不为零。可以经过初等变换化为单位矩阵。可以表示成一系列初等矩阵得乘积。5、矩阵得初等变换与初等矩阵得定义、性质及其二者之间得关系。6、矩阵秩得概念及其求法(1)定义法;(2)初等变换法)。7、矩阵得分块,分块矩阵得运算:加法,数乘,乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、 了解矩阵得定义,熟悉几类特殊矩阵(单位矩阵,对角矩阵,上、下三角形矩阵,对称矩阵,可逆矩阵,伴随矩阵,正交矩阵)得特殊性质。2、熟悉矩阵得加法,数乘,乘法,转置等运算法则,会求方阵得行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵,并知道初等变换与初等矩阵得关系。4、掌握矩
4、阵可逆得充要条件,会求矩阵得逆矩阵。5、掌握矩阵秩得概念,会求矩阵得秩。6、掌握分块矩阵得概念,运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分 线性方程组1 线性方程组得解得判定,带参数得方程组得解得判定2 齐次线性方程组得解得结构(基础解系与通解得关系)3 非齐次线性方程组得解得结构(通解)【主要内容】1、向量、向量组得线性表示:设有单个向量,向量组:,向量组:,则(1)向量可被向量组线性表示(2)向量组可被向量组线性表示(3) 向量组与向量组等价得充分必要条件就是:(4)基本题型:判断向量或向量组就是否可由向量组线性表示?如果能,写出表达式。解法:以向量组:以及向量或向量组:为列向量构成矩阵,并对其进
5、行初等行变换化为简化阶梯型矩阵,最终断定。2、向量组得线性相关性判别向量组得线性相关、线性无关得常用方法:方法一:(1)向量方程只有零解向量组 线性无关;(2)向量方程有非零解向量组 线性相关。方法二:求向量组得秩(1)秩小于个数s向量组线性相关(2)秩等于个数s 向量组线性无关。(3)特别得,如果向量组得向量个数与向量得维数相同,则向量组线性无关以向量组为列向量得矩阵得行列式非零;向量组线性相关以向量组为列向量得矩阵得行列式为零。3、向量组得极大无关组得概念(与向量空间得基、齐次线性方程组得基础解系得关系)及其求法。基本题型:判断向量组得相关性以及求出向量组得极大无关组。4、等价向量组得定义
6、、性质、判定。5、向量组得秩与矩阵得秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合与线性表示得概念,知道两个向量组等价得含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关得定义,并会判断一个具体向量组得线性相关性。3、知道向量组得秩与矩阵得秩得关系,会求一个具体向量组得秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基与维数得概念第四部分 向量组(矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换)1.向量组得线性表示2.向量组得线性相关性3.向量组得秩【主要内容】1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵得秩未知量个数n;2、齐次线性方程组有非零解系数矩阵得秩未知量个数n、3、非齐次线性方程组无解增广矩阵秩系数矩阵得秩;4、非齐次线性
7、方程组有解增广矩阵秩系数矩阵得秩 特别地,1)增广矩阵得秩系数矩阵得秩未知量个数n非齐次线性方程组有唯一解;2)增广矩阵得秩系数矩阵得秩 未知量个数n非齐次线性方程组有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解得性质、基础解系得求法,2、掌握非齐次线性方程组解得结构,熟悉非齐次线性方程组有解得等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组得解之间得关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分 方阵得特征值及特征向量1.施密特正交化过程2.特征值、特征向量得性质及计算(P、120例8、9、10;P、135第7至13题)3.矩阵得相似对角化,尤其就是对称阵得相似对角化(P、135第15、16、19、23题
8、)【主要内容】1、向量得内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量得正交关系及正交向量组得含义。3、施密特正交化方法。4、方阵得特征值与特征向量得概念及其计算方法。(1)特征值求法:解特征方程;(2)特征向量得求法:求方程组得基础解系。5、相似矩阵得定义、性质(相似、有相同得特征值)。6、判断矩阵就是否可以对角化以及对角化得步骤,找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形得步骤:(将实对称矩阵对角化)(1)写出二次型得矩阵、(2)求出得所有特征值(3)解方程组求对应于特征值得特征向量(4)若特征向量组不正交,则先将其正交化,再单位化,得标准正交得向量组,记,对二次型做正交
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