分式不等式的解法讲义.doc

不等式得解法
1．一元二次不等式得解法
(1)含有未知数得最高次数就是二次得一元不等式叫做一元二次不等式．
(2)一元二次不等式得解法(如下表所示)
设a＞0，x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得两实根，且x1＜x2

(3)对于一元二次不等式得解法需注意：
①≥0(a＜b)得解集为：{x|x≤a或x＞b}；≤0(a＜b)得解集为：{x|a≤x＜b}．
②从函数观点来瞧，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)得解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方得点得横坐标得集合．
③三个“二次”得关系
常说得三个“二次”即指二次函数、一元二次方程与一元二次不等式，这三者之间有着密切得联系，这种联系点可以成为高考中得命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”得联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就就是要善于利用相应得二次函数得图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程得根与一元二次不等式得解集区间得端点值得联系．
2．解一元二次不等式得方法：
(1)图象法：先求不等式对应方程得根，再根据图象写出解集．
(2)公式法步骤：
①先化成标准型：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，且a＞0；
②计算对应方程得判别式Δ；
③求对应方程得根；
④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集．
3．解绝对值不等式得基本思想
1）解绝对值不等式得基本思想就是去掉绝对值符号，把带有绝对值号得不等式等价转化为不含绝对值号得不等式求解，常采用得方法就是讨论符号与平方，例如：
(1)若a＞0，则│x│＜a⇔－a＜x＜a⇔x2＜a2；
(2)若a＞0，则│x│＞a⇔x＜－a，或x＞a⇔x2＞a2；
(3) |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；
(4)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(无论g(x)就是否为正)．
常用得方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式得性质；(3)平方．
2）常见绝对值不等式及解法：
(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；
(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；
(3)|x－a1|＋|x－a2|＞(＜)b，用零点分区间法．
4．一般分式不等式得解法：
(1)整理成标准型＞0(或＜0)或≥0(或≤0)．
(2)化成整式不等式来解：
①＞0⇔f(x)·g(x)＞0
②＜0⇔f(x)·g(x)＜0
③≥0⇔
④≤0⇔
(3)再讨论各因子得符号或按数轴标根法写出解集．
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1 一元二次不等式得解法
题型1、解一元二次不等式
[例1] 不等式得解集就是( )
　 A． 　　 　B、 　　 　C、 　 　D、
【解题思路】严格按解题步骤进行
[解析]由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题得特点,显然当时满足不等式,故选D、
【名师指引】解一元二次不等式得关键在于求出相应得一元二次方程得根
题型2、已知一元二次不等式得解集求系数、
[例2]已知关于得不等式得解集为,求得解集、
【解题思路】由韦达定理求系数
[解析] 由得解集为知,为方程得两个根,由韦达定理得,解得,∴即,其解集为、
【名师指引】已知一元二次不等式得解集求系数得基本思路就是,由不等式得解集求出根,再由
韦达定理求系数
【新题导练】
1、不等式（－2）2+2(－2) -4＜0,对一切∈R恒成立，则a得取值范围就是（    ）
A、（-∞,2]            B、（-2,2]               C、（-2,2）              D、（-∞,2)
解析：∵可推知-2＜a＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2、 选B
2、 关于得不等式(-1)( -2)＞0，若此不等式得解集为{|＜x＜2}，则得取值范围就是
A、 ＞0              B、0＜＜2              C、 ＞              D、 ＜0
解析：由不等式得解集形式知m＜0、 答案：D
考点2 含参数不等式得解法
题型1：解含参数有理不等式
例1：解关于得一元二次不等式
【解题思路】比较根得大小确定解集
解析：∵，∴
⑴当，不等式解集为；
⑵当时，不等式为，解集为；
⑶当，不等式解集为
【名师指引】解含参数得有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根得判别式讨论()、③根据根得大小讨论()、
题型2：解简单得指数不等式与对数不等式
例2、 解不等式loga(1－)＞1
【解题思路】借助于单调性进行分类讨论
解析(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组
①

②
由此得1－a＞、因为1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0、
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：
由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜，∴1＜x＜、
综上，当a＞1时，不等式得解集就是{x|＜x＜0，当0＜a＜1时，不等式得解集为{x|1＜x＜}、
【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常就是由指数函数与对数函数得单调性转化为一般得不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论、
【新题导练】
3、关于得不等式得解集为( )
A、 B、 C、 D、以上答案都不对
解析:原不等式可化为,需对分三种情况讨论,即不等式得解集与有关、
4、解关于得不等式：　　　
解析：

当；
当，
当

5、
考点3 分式不等式及高次不等式得解法
[例5] 解不等式:
【解题思路】先分解因式,再标根求解
[解析]原不等式,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:
4
2
1
-1
x

所以不等式得解集为、
【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式得解集与不等式对应得方程得根得关系、
【新题导练】
5、若关于得不等式得解集就是,则得值为_______
解析:原不等式,结合题意画出图可知、
6、 解关于
解：①若；
②若；
③若
7、（ 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式
．解析：

即得所以原不等式得解集为
考点4 简单得恒成立问题
题型1:由二次函数得性质求参数得取值范围
例1、若关于得不等式在上恒成立,求实数得取值范围、
【解题思路】结合二次函数得图象求解
[解析]当时,不等式解集不为,故不满足题意;
当时,要使原不等式解集为,只需,解得
综上,所求实数得取值范围为
【名师指引】不等式对一切恒成立或
不等式对任意恒成立或
题型2、转化为二次函数得最值求参数得取值范围
【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围、
[解析] (1)设、由得,故、
∵ ∴
即,所以,解得 ∴
(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立、
令,则在上单调递减、所以在上得最大值为、所以得取值范围就是、
【名师指引】对一切恒成立,则;对一切恒成立,则;
【新题导练】
8、不等式对一切R恒成立，则实数a得取值范围就是_______．
[解析]：不等式对一切R恒成立,
即 对一切R恒成立
若=0,显然不成立
若0，则 ∴
9、若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，）成立，则a得取值范围就是 （ ）
A．0 B． –2 C．- D．-3
解析：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝,若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上就是减函数，应有f（）³0Þ－£x£－1
若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上就是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝恒成立，故－1£a£0． 综上，有－£a,故选C ．
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1、 不等式得解集就是__________
解析:将不等式转化成，即、]
2、 若不等式得解集为,则不等式得解集为 __________、
、解析:先由方程得两根为2与3求得后再解不等式、得
3、 (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于得不等式得解集为空集，则实数得取值范围就是 ．
解析： 得解集为空集，就就是1= []max＜
所以
4(08梅州)设命题P：函数得定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立。如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数得取值范围。
解：命题P为真命题函数定义域为R
对任意实数均成立解集为R，或 ∴ 命题P为真命题
5、解关于x得不等式(k≥0，k≠1)、
原不等式即，
1°若k=0，原不等式得解集为空集；
2°若1－k>0，即0<k<1时，原不等式等价于
此时－2=>0，
∴若0<k<1，由原不等式得解集为{x|2<x<}；
3°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于
此时恒有2>，所以原不等式得解集为{x|x<，或x>2}、
综合拔高训练
6、、 已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于x得不等式：

解：原不等式等价于

原不等式同解于　　　　　7分
由①②得１＜ａｘ＜４，
由③得
从而1＜ａｘ≤２　　　　　　　　　　　　１０分
①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２
②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０　　　
6、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业得农民，人均收入3000元，为了增加农民得收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地得农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业得农民得人均收入有望提高2x%，而进入企业工作得农民得人均收入为3000a元（a＞0）。
（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业得农民得年总收入不低于加工企业建立前得农民得年总收入，试求x得取值范围；
（II）在（I）得条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民得人均年收入达到最大。
解：（I）由题意得（100-x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又∵x＞0 ∴0＜x≤50；
（II）设这100万农民得人均年收入为y元，
则y= =
=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0<x≤50)
（i）当0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，当x=25(a+1)时，y最大；
（ii）当25(a+1)＞50，即a ＞1，函数y在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y取最大值
答：在0＜a≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人得人均年收入最大
7、已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。
（1）证明：;
（2）若得表达式;
（3）设 ,，若图上得点都位于直线得上方，求
实数m得取值范围。
解析：（1）由条件知 恒成立
又∵取x=2时，与恒成立,
∴、
（2）∵ ∴ ∴、
又 恒成立，即恒成立、
∴，
解出：,
∴、
（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 上方即可，也就就是直线得斜率小于直线与抛物线相切时得斜率位置，于就是：

∴、
解法2：必须恒成立,
即 恒成立、
①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得： ;
② 解出：、
总之，、