原子物理学-第一章习题参考答案.doc

原子物理学 第一章习题参考答案
第一章习题参考答案
1.1速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad.
要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变，并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动)，注意这里电子要动.
证明：设α粒子的质量为Mα，碰撞前速度为V，沿X方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射.电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点O处，碰撞后以速度v沿φ方向反冲.α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：
（1）
（2）
（3）

作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ，得
（4）
（5）
再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与V，

化简上式，得
　 　　　（６）
若记，可将（６）式改写为
　 （７）
视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有

令，则sin2(θ+φ)-sin2φ=0
即2cos(θ+2φ)sinθ=0
（1）若sinθ=0则θ=0（极小）（8）
（2）若cos(θ+2φ)=0则θ=90º-2φ（9）
将（9）式代入（7）式，有

由此可得

θ≈10-4弧度（极大）此题得证.
1.2 （1）动能为5.00MeV的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？（2）如果金箔厚1.0μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？
解：（1）依和金的原子序数Z2=79

答：散射角为90º所对所对应的瞄准距离为22.8fm.
(2) 要点分析：第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.90°～180°范围的积分，关键要知道n，问题不知道nA，但可从密度与原子量关系找出注意推导出n值.
，其他值从书中参考列表中找.
从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79，AAu=197，ρAu=1.888×104kg/m3
依：

注意到：
即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数.
是常数其值为

最后结果为：dN’/N=9.6×10-5
说明大角度散射几率十分小.
1-3试问4.5MeV的α粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7Li核，则结果如何?
要点分析：计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素.
解：对心碰撞时，时，

离金核最小距离

若金核改为7Li核，m<<M则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子中，应把E理解为质心系能EC

离7Li核最小距离3.0fm。
结果说明：
靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径.反之易反.
1-4 ⑴ 假定金核半径为7.0fm，试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？⑵若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少？设铝核的半径为4.0fm.
要点分析：注意对头碰撞时，应考虑靶核质量大小，靶核很重时，m<<M可直接用公式计算；靶核较轻时，m<<M不满足，应考虑靶核的反冲，用相对运动的质心系来解.
79AAu=196；13AAl=27
解：⑴若入射粒子的质量与原子核的质量满足m<<M，则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为，时，

即
即：
⑵若金核改为铝核，m<<M则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子中，应把E理解为质心系能EC

E=9.2MeV
说明靶核越轻、Z越小，入射粒子达到靶核表面需要能量越小.
1-5动能为1.0MeV的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5mg/cm2的金箔上，记数器的记录以60°角散射的质子.计数器圆形输入孔的面积为1.5cm2，离金箔散射区的距离为10cm，输入孔对着且垂直于射到它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质量厚度ρm定义为单位面积的质量ρm=ρt，则ρ=ρm/t其中ρ为质量密度，t为靶厚）.
要点分析：没给直接给nt.设置的难点是给出了质量厚度，计算时需把它转换成原子体密度n和厚度t.需推导其关系.
解：输入圆孔相对于金箔的立体角为

AAu=197
θ=60º
注意密度为单位体积的质量，单位体积内的粒子数为

依公式

1-6一束α粒子垂直射至一重金属箔上，试求α粒子被金属箔散射后，散射角大于60°的α粒子与散射角大于90°的粒子数之比.
要点分析：此题无难点，只是简单积分运算.
解：依据散射公式

因为

同理算出

可知
补：求积分式的积分结果
解：积分式的积分结果

=
结果：
还有另外一种求解方法.
1-7单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的钽箔上，这时以散射角θ0>20˚散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为4.0×10-3.试计算：散射角θ=60°角相对应的微分散射截面.
要点分析：重点考虑质量厚度与nt关系.
解：ρm=2.0mg/cm2
ATa=181；ZTa=73；θ=60º

依微分截面公式

知该题重点要求出a2/16。
由公式

所以

1-8(1)质量为m1的入射粒子被质量为m2（m2<<m1）的静止靶核弹性散射，试证明：入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角θ由下式决定.（2）假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大？

要点分析：同第一题结果类似.
证明：
（1）
（2）
（3）
作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ，得
（4）
（5）
再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v，得　　　
　化简上式，得
　　　　　　　　（６）
若记，可将（６）式改写为
　　　　　　　　（７）
视θ为φ的函数θ(φ)，对(7)式求θ的极值，有

令，则 sin2(θ+φ)-sin2φ=0，即2cos(θ+2φ)sinθ=0
(1)若sinθ=0，则θ=0（极小）（8）
(2)若cos(θ+2φ)=0
则θ=90º-2φ（9）将(9)式代入(7)式，有

由此可得　
若m2=m1
则有
此题得证.
1-9动能为1.0Mev的窄质子束垂直地射到质量厚度（ρt）为1.5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射角大于30°的相对质子数为多少？
要点分析：此题靶为一个复合材料靶，比例按照质量比计算.关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数，即可积分计算.
从书后表可知：
ZAu=79，AAu=197，ρAu=1.888×104kg/m3；ZAg=47，AAg=108，ρAg=1.05×104kg/m3.
解：先求金箔的厚度t
ρt=(0.7ρAu+0.3ρAg)t=1.5mg/cm2 （此种处理科学否？）是原子数之比，还是质量之比还是？

这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为
和
再计算质子被金原子与银原子散射到θ>30°范围内的相对数目.被金原子散射的相对数目为：

式中，N为入射质子总数，dNAu’为被金原子散射到θ>30°范围内的质子数.同理可得质子被银原子散射的相对数目为：

被散射的相对质子总数为

将已知数据代入：
NA=6.02×1023，E=1.0MeV，t=0.916μm，ZAu=79，AAu=197，ρAu=18.88×103kg/m3，ZAg=47，AAg=108，ρAg=10.5×103kg/m3
η≈1.028×10-5
结果讨论：此题是一个公式活用问题.只要稍作变换，很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.
1-10由加速器产生的能量为1.2MeV、束流为5.0nA的质子束，垂直地射到厚为1.5μm的金箔上，试求5min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数.金的密度（ρ=1.888×104kg/m3）[1]59°～61°；[2]θ>θ0=60°[3]θ<θ0=10°
要点分析：解决粒子流强度和入射粒子数的关系.
注意：第三问，因卢瑟福公式不适用于小角(如0º)散射，故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数，再用总入射粒子数去减，即为所得.
解：设j为单位时间内入射的粒子数，I为粒子流强度，因I=je，j=I/e，时间T=5min内单位面积上入射的质子的总数为N个：

再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为：

单位时间内，被所有靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为

式中，n为单位体积的粒子数，它与密度的关系为：
所以，上式可写为
[1]

[2]仍然像上式一样积分，积分区间为60°-180°，然后用总数减去所积值.即θ>θ0=60°的值.

[3]由于0°的值为无穷大，无法计算，所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10°-180°，然后用总数减去所积值，即θ<θ0=10°的值.

总数为9.36×1012-7.56×1011=8.6×1012(个)