函数单调性讲义提高.doc
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1、函数单调性1单调性定义(1)单调性定义:设函数得定义域为A,区间。如果对于任意,I,当时,都有,那么就说在区间I上就是单调减函数区间I叫做得单调减区间;如果对于任意,I,当时,都有,那么就说在区间I上就是单调增函数区间I叫做得单调增区间; 单调增区间或单调减区间统称为单调区间。(2)函数得单调性通常也可以以下列形式表达: 单调递增 单调递减例1定义在上得函数对任意两个不相等实数,总有成立,则必有( )A、函数就是先增加后减少 B、函数就是先减少后增加C、在上就是增函数 D、在上就是减函数(3)增函数、减函数得定义及图形表示xy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2 ; f(x1)f(x2
2、) 增函数: 减函数: 注意:对于函数单调性定义得理解,要注意以下两点函数得单调性就是对某一个区间而言得f(x)在区间A与B上都就是增(或减)函数,在AB上不一定单调单调性就是函数在某一区间上得性质,因此定义中得x1,x2在这一区间上具有任意性,不能用特殊值代替 在研究函数得单调性时,应先确定函数得定义域xy12345-2-4-1-3-5123123O例1下图就是定义在区间-5,5上得函数,根据图象说出函数得单调区间,以及在每个区间上,它就是增函数还就是减函数?例2已知函数f(x)在区间a,b上单调,且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,b内( )A至少有一实根 B至多有一实根 C
3、没有实根 D必有唯一得实根例3已知函数就是定义在上得增函数,且,求得取值范围、例4已知函数f(x)x1,若f(a1)f(102a),则a得取值范围就是_ (,1)(3,5)解析由题意,得或或a1或3a5、2函数单调性得证明方法(1)定义法: 任取x1,x2D,且x1x2; 作差f(x1)f(x2); 变形(通常就是因式分解与配方); 定号(即判断差f(x1)f(x2)得正负); 下结论(指出函数f(x)在给定得区间D上得单调性)(2)图象法(从图象上瞧升降)例1判断函数在上得单调性,并用定义证明、例2试讨论函数在区间上得单调性、解: 设,且 x2x10,0, 当时,那么当时,那么故在区间上就是
4、增函数,在区间上就是减函数例3已知函数用单调性定义证明:在上为增函数;解设, 所以在上为增函数、例4证明函数f(x)2x在(,0)上就是增函数设x1,x2就是区间(,0)上得任意两个自变量得值,且x1x2、则f(x1)2x1,f(x2)2x2,f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2)由于x1x20,所以x1x20,因此f(x1)f(x2)0,即f(x1)0,y0都有ff(x)f(y),当x1时,有f(x)0、(1)求f(1)得值;(2)判断f(x)得单调性并加以证明;(3)若f(4)2,求f(x)在1,16上得值域解:(1)当x0,y0时,ff(x)f(y),令xy0,则f(1)f(x)
5、f(x)0、(2)设x1,x2(0,),且x1x10、1,f0、f(x2)f(x1),即f(x)在(0,)上就是增函数(3)由(2)知f(x)在1,16上就是增函数f(x)minf(1)0,f(x)maxf(16),f(4)2,由ff(x)f(y),知ff(16)f(4),f(16)2f(4)4,f(x)在1,16上得值域为0,4例6定义在R上得函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(mn)f(m)f(n),且当x0时,0f(x)1、(1)试求f(0)得值;(2)判断f(x)得单调性并证明您得结论;解:(1)在f(mn)f(m)f(n)中,令m1,n0,得f(1)f(1)f(0)因为f(1
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