三角形三边关系、三角形内角和定理.doc

三角形三边关系、三角形内角与定理
三角形边得性质
　(1)三角形三边关系定理及推论
　 定理:三角形两边得与大于第三边、
推论:三角形两边得差小于第三边。
(2)表达式:△ABC中,设a＞b＞c
　 　　　　 　则b—c＜a＜b+c
　　　　 　ａ－ｃ＜b＜a＋cﻫ　 　　 　　　 a-b＜c＜a+b
(3)应用
　１、给出三条线段得长度,判断它们能否构成三角形。
　 方法(设a、b、c为三边得长)ﻫ　 ①若a＋b＞c,a+c＞b,b+c〉a都成立,则以a、b、ｃ为三边得长可构成三角形;
　　②若c为最长边且a+b>c,则以ａ、b、c为三边得长可构成三角形;ﻫ 　③若c为最短边且c＞|ａ－b|,则以ａ、ｂ、ｃ为三边得长可构成三角形、ﻫ　 2、已知三角形两边长为a、b,求第三边x得范围:｜a-b｜＜x＜ａ+b。
　 ３、已知三角形两边长为a、ｂ(a>b),求周长L得范围:2a〈Ｌ＜2(a+b)、
4、证明线段之间得不等关系、ﻫ复习巩固,引入新课
1画出下列三角形就是高

2、已知:如图△ABＣ中AG就是BC中线,AB=５ｃm AＣ=3cｍ,则△ＡBG与△ＡCG得周长得差为多少?△ＡBＧ与△ACG得面积有何关系？
3、三角形得角平分线、中线、高线都就是( )ﻫ A、直线　 　　Ｂ、线段 　　　C、射线　 　Ｄ、以上都不对ﻫ4、三角形三条高得交点一定在( )
　 Ａ、三角形得内部　　　　　 　　Ｂ、三角形得外部
　　C、顶点上 　 　 　 D、以上三种情况都有可能
５、直角三角形中高线得条数就是( )
　Ａ、3　 　　　B、２ C、1 D、0
６、判断:
（1） 有理数可分为正数与负数、
（2） 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数与负分数。
７、现有１0cｍ得线段三条,15ｃm得线段一条,20ｃm得线段一条,将它们任意组合可以得到几种不同形状得三角形？
三角形三边得关系
一、 三角形按边分类(见同步辅导二)
练习
１、两种分类方法就是否正确:
　不等边三角形 　 不等三角形
三角形　　 　 　 　 　 　 三角形 等腰三角形
等腰三角形 　 　　 　 　 等边三角形
２、如图,从家A上学时要走近路到学校Ｂ,您会选哪条路线？
３、下列各组里得三条线段组成什么形状得三角形？
(1)3ｃm 　 ４ｃm　　 ６ｃｍ (2)4cm 　 4ｃm 　　6cm
(３)7cm 　７cm 7cm 　　　(4)3ｃｍ 　　３cm　７cｍ
应用举例1
已知△ABC中,a=6,b=14,则c边得范围就是
练习
１、 三角形得两边为3cm与5cｍ,则第三边x得范围就是
２、 果三角形得两边长分别为７与２,且它得周长为偶数,那么第三边得长为
3、长度分别为１2cm,10cｍ,5cm,4cm得四条线段任选三条线段组成三角形得个数为(　 )
　 A、1 　 　　 Ｂ、2　　　 　 C、3　　　　 Ｄ、４ﻫ4、具备下列长度得各组线段中能够成三角形得就是( )
A、5,９,3 　B、5,7,3　 C、5,２,3 D、5,8,３
应用举例２
1、已知一个等腰三角形得两边分别就是8cｍ与6ｃm,则它得周长就是_＿___＿cｍ。
分析:若这个等腰三角形得腰长为８ｃm,则三边分别为8cm,8ｃｍ,６cｍ,满足两边之与大于第三边,若腰长为7cm,则三边分别为6cm,6cm,8cｍ,也成立。
解:这个等腰三角形得周长为22cm或20cm。
２、已知:△AＢC得周长为１1,ＡB＝4,CM就是△ABＣ得中线,△BCＭ得周长比△AＣM得周长大3,求BC与AC得长、ﻫ 　分析:由已知△ABC得周长＝AB＋AC+BC＝11,ＡB=4,可得BC＋AＣ=7、ﻫ 又△BCM得周长—△ＡCM得周长=(BC+ＣM+ＭB)-(AC+CＭ＋ＭA)=3,而AM=ＭB,故BC-ＡC＝3,解方程组可求BＣ与ＡＣ得长。ﻫ 　略解:∵△ABC得周长=ＡB+ＢC+ＣA=１1,AＢ＝４ﻫ　　　　 ∴BC+AC=１1－4=７ﻫ　 　 　又ＣM就是△AＢC得中线(已知)ﻫ 　∴AM=MB(三角形中线定义)ﻫ　又△BCM得周长-△ＡCM得周长=(ＢC+ＣＭ+ＭB)—(AC+CM+ＭA)=BＣ—AＣ=３
解得:ＢC=5 AC=2
ﻫ专题检测
1、1、指出下列每组线段能否组成三角形图形
    (１)a=5,b=4,c=３    (2)a＝7,ｂ=２,c=４
   　(3)a＝６,b=6,c=１2    (4)ａ=5,b=5,c＝6
2.已知等腰三角形得两边长分别为11ｃｍ与５cm,求它得周长、
3、已知等腰三角形得底边长为8ｃｍ,一腰得中线把三角形得周长分为两部分,其中一部分比另一部分长２cm,求这个三角形得腰长。
4、三角形三边为3,5,　a,则a得范围就是　 　　。
5、三角形两边长分别为2５cm与10cm,第三条边与其中一边得长相等,则第三边长为 　 、ﻫ６、等腰三角形得周长为１4,其中一边长为3,则腰长为 　
７、一个三角形周长为27cm,三边长比为２∶3∶4,则最长边比最短边长　 　。
8、等腰三角形两边为5cm与12ｃm,则周长为　 　 。
9、已知:等腰三角形得底边长为6cｍ,那么其腰长得范围就是
10、已知:一个三角形两边分别为４与7,则第三边上得中线得范围就是
1１、下列条件中能组成三角形得就是( 　)ﻫ　 A、5cm, 7cm, １3cｍ　　 　 　B、3ｃm, 5cm, ９cm
　 C、６cm, ９ｃm,　14ｃm 　 　　　　 Ｄ、5cm, 6cｍ,　11cm
12、等腰三角形得周长为１6,且边长为整数,则腰与底边分别为( 　)
　　A、5,６ 　 Ｂ、6,4　　 C、７,2 　 　D、以上三种情况都有可能
13、一个三角形两边分别为3与7,第三边为偶数,第三边长为( )
　A、4,６　 　　　B、４,6,８ C、６,8 　 　D、6,8,１0
14、已知等腰三角形一边长为２4cm,腰长就是底边得2倍、
　 求这个三角形得周长。

三角形角得性质
　(１)三角形内角与定理ﻫ　　1)定理:三角形三个内角得与等于１８0°。ﻫ　　2)表达式:△ＡBＣ中ﻫ 　　　 ∠A＋∠B+∠C＝180°(三角形内角与定理)ﻫ (2)三角形内角与定理及推论得作用ﻫ　 1)在三角形中,利用三角形内角与定理,已知两角求第三角或已知各角之间得关系求各角、ﻫ　　2)在直角三角形中,已知一个锐角利用推论１求另一个锐角或已知两个锐角得关系,求这两个锐角、另外,推论1常与同角(等角)得余角相等结合来证角相等。ﻫ 　3)利用推论3证三角形中角得不等关系。ﻫ　 ４)、三角形具有稳定性,而四边形具有不稳定性。ﻫ　(3)三角形按角分类

　说明:三角形有两种分类方法,一种就是按边分类,另一种就是按角分类,两种分类方法分辩清楚。
复习巩固,引入新课
1、三角形得两边为７cm与5cm,则第三边x得范围就是
２、如果三角形得两边长分别为７与２,且它得周长为偶数,那么第三边得长为
3、已知一个等腰三角形得两边分别就是8ｃｍ与6cm,则它得周长就是__＿__＿ｃｍ、
4、下列条件中能组成三角形得就是( )
　A、５cm, ７cm, 13cm 　 　 　 B、3cm, ５cm, 9cm
　 C、６cm, ９cm,　14cｍ　　　 　 　D、5ｃm, ６cm, 11cmﻫ三角形三个内角得关系
三角形三个内角得与等于1８0°
证明思路:通过添加辅助线,把三角形三个分散得角,全部或适当地集中起来,利用平角定义或两直线平行,同旁内角互补来证明、ﻫ 下面就是几种辅助线得添置方法,请同学们自己分析证明。ﻫ　 １、作BC得延长线CD,在△ABC得外部,以ＣA为一边,CE为另一边,画∠１=∠A。ﻫ　　2、作ＢC得延长线CD,过C点作CE∥AB。ﻫ　 3、过A点作DE∥ＢC。
　 ４、过A点作射线AＤ∥ＢC。
5、在ＢC上任取点D,过D作DE∥AC交AB于E,DF∥AＢ交AC于Ｆ　 　 、ﻫ　 (2)三角形内角与定理得推论ﻫ　 推论1:直角三角形得两个锐角互余。
　 表达式:∵在Rｔ△ＡCB中,∠C＝9０°(已知)
　 　∴∠A+∠B=９０°(直角三角形得两个锐角互余)
　 　　 　推论2:三角形得一个外角等于与它不相邻得两个内角得与。
　　推论３:三角形得一个外角大于任何一个与它不相邻得内角。ﻫ 　表达式:△ACB中,∠ACD=∠A+∠B　　∠ＡCD＞∠A,∠ACD＞∠Ｂﻫ 　　　 　练习
1、三角形得三个内角中最多有　 　个锐角,最多有　 　 个直角, 个钝角。
2、一个三角形得最大内角不能超过　 　　度,最小内角不能大于 　 度、
３、已知△ＡＢC
①若∠Ａ=50°,∠B＝６0°,则∠C=　 　 。
②若∠A=５0°,∠B=∠C,则∠C　= 　　　,∠B= 　 　。
③若∠A=50°,∠B-∠C=10°,则∠Ｂ ＝ ,∠Ｃ= 　　。
④若∠A+∠B=13０°,∠A－∠Ｃ=25°,则∠Ａ　= 　 ,∠Ｂ =　　　　,∠C=　 　、
⑤若∠A∶∠B∶∠C ＝1∶２∶３,则∠A ＝　 　　,∠B = 　 　,∠Ｃ= 　　　,这个三角形就是　　 三角形、
例题讲解 已知:如图02—1３△ＡBＣ中,∠C=90°,∠ＢAC,∠ABC得平分线AＤ、BＥ交于点O,求:∠AOB得度数。

解二:同上可得到∠１+∠2=4５°
∴∠3=∠１+∠2＝45°(三角形外角等于与它不相邻得两个内角与)
∵∠AOB+∠3=18０°(平角定义)
∴∠AＯB=１80°—∠3＝180°-４5°＝13５°
∴∠AOB=135°
例2.AＢ与CD相交于点O,求证:∠A+∠C=∠Ｂ+∠D
思路分析:在△AOC中,

　 　 　　 　　 　　　 　∠A+∠C+∠AOC=1８0°(三角形内角定理)
　 　 　 　 　　 在 △BOD中,∠B+∠Ｄ＋∠ＢOＤ=1８0°(三角形内角与定理)
　 　 　 ∴ 　 　∠ A+∠C+∠AOC=∠B+∠Ｄ+∠ＢOD(等量代换)
　　　 　 　 　 　∵ 　 ∠ＡOC=∠ＢOＤ(对顶角相等)
　 　 　 　 　　 ∴ 　∠A+∠C=∠B＋∠D
这道几何题就是一对对顶三角形组成得几何图形.因为我们发现了两个三角形,所以便联想到三角形内角与定理,探索思路,使问题解决了.可就是这道题得应用价值很值得开发,它就是一类几何题打开思路得“桥梁”,借助它可顺利到达“彼岸”,请瞧实例.
变式:如图,∠A＋∠B＋∠C+∠D+∠E＝ 　 　 。
揭示思路:从图形中观察出现对顶三角形,此时便使我们设法把5个分散得角转化在一个图形中,
在这种想法趋使下,使我们想到对顶三角形这“桥梁".
结合图形,连CＤ,立即可发现,∠B+∠Ｅ=∠1+∠2
∴∠A+∠B＋∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ACＤ＋∠ADC=180°(三角形内角与定理)
专题检测1、直角三角形得两个锐角相等,则每一个锐角等于　 度。
2、△ABC中,∠A=∠B+∠C,这个三角形就是　 　 三角形。
３、国旗上得五角星中,五个锐角得与等于　 度。
4、在△ABC中    (1)已知:∠A=32。5°,∠B＝８4。２°,求∠C得度数。   
(2)已知:∠Ａ=50°,∠Ｂ比∠Ｃ小１5°,求∠Ｂ得度数、   
(3)已知:∠Ｃ=2∠B,∠Ｂ比∠Ａ大20°,求∠A、∠Ｂ、∠C得度数。 
5、已知,在△AＢC中与最大得内角相邻得外角就是１20°,则这个三角形一定就是( )
Ａ、不等边三角形　B、钝角三角形　Ｃ、等边三角形 D、等腰直角三角形
6、、△ＡBＣ中,∠Ｂ=∠C=50°,AD平分∠BAC,则∠ＢAD= 　　　
７、、在△ABC中,∠A就是∠B得2倍,∠C比∠Ａ+∠B还大3０°,则∠C得外角为 度,这个三角形就是 　 三角形
8、、△ABＣ中,∠Ａ＝40°,∠Ｂ＝６0°,则与∠C相邻得外角等于　　
9、、△ABC中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶２∶３,则∠B=(　　)
A、30°　　 B、60°　　 　　 Ｃ、9０°　　 　Ｄ、12０°
10、一个三角形有一外角就是88°,这个三角形就是( )
A、锐角三角形 B、直角三角形　 C、钝角三角形 　Ｄ、无法确定
11、已知△ABC中,∠A为锐角,则△ＡBC就是(　　)
A、锐角三角形 　B、直角三角形　 C、钝角三角形　 D、无法确定
12、已知三角形得一个外角小于与它相邻得内角,那么这个三角形(　)
Ａ、就是锐角三角形　B、就是直角三角形 Ｃ、就是钝角三角形 D、以上三种都有可能