乘除法的关系和运算律.doc

乘除法得关系与运算律
一、加法运算律只有:交换律与结合律。没有分配律
1、交换律:两个加数相加，交换加数得位置,与不变，这叫做加法交换律
例：a＋b=b+ａ 、
　扩展：A+B+C=Ａ+C+B＝Ｃ+B+Ａ
2、 结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再与第三个数
相加，或者　先把后两个数相加,在与第一个数相加，与不变,这叫做加法结合律、。
（A+B）＋Ｃ=A＋(Ｂ+Ｃ)
二、乘法运算律：交换律、结合律与分配律。乘法才有分配律ﻫ乘法交换律就是两个数相乘,交换因数得位置,它们得积不变。
ａ×b=b×a
三个数相乘，先把前两个数相乘，再与另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再与另外一个数相乘，积不变.
如 a×b×ｃ=ａ×(b×c） 　 ａ×c＋b×c＝（ａ＋b）×c
两个数得与同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，与不变。
字母表达就是:a×(b+c) =a×b＋a×c
扩展：变式一
ａ×(b-c） =a×b—a×c
变式二
ａ×b+ａ=a×（b＋1)
乘法分配律得拓展：
  两个数得差与一个数相乘,可以用这个数分别去乘相减得两个数，再把积相减.用字母表示为：
 （a-b）·c=a·c—b·c         a·c-b·c=(a－b）·c 
三、乘除法各部分之间得关系：
（1)乘法各部分之间得关系：
    　因数×因数=积    一个因数=积÷另一个因数
(2)除法各部分之间得关系：
       　没有余数得除法:                                  有余数得除法:
         　 被除数=商×除数                              被除数＝商×除数 +   余数           
        　 除数=被除数÷商                               除数=（被除数-余数）÷商  
        　商= 被除数÷除数                                商= （被除数-余数)÷除数
   （3）乘、除法之间得关系:
     除法就是乘法得逆运算
     注意:0不能作除数。
(4) 整除:a÷b（b≠0）=c　则ａ能被b整除，b能整除a。
(5) ０乘任何数等于０，0除c 任数（不等于0）等于0
四、减法简便运算：
        1、一个数连续减去两个数,可以用这个数减去这两个数得与。
       用字母表示:a—b-c=a－(b+c)
      2、一个数连续减去两个数,可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
      用字母表示：a－b-c=ａ—c－b
五、除法简便运算:
       １、一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数得积.
       用字母表示：a÷ｂ÷c＝ａ÷(b×c)
       2、一个数连续除以两个数,可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。
       用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b
六、积得变化规律
       　①  一个因数缩小(扩大)几倍，另一个因数扩大(缩小)相同得倍数,积不变。
        ②  一个因数缩小（或扩大几倍）,另一个因数不变,积也随着缩小(或扩大）几倍。
        ③  一个因数扩大m倍,另一个因数扩大ｎ，积扩大m×n倍;
             一个因数缩小m倍,另一个因数缩小n，积缩小m×ｎ倍；
             一个因数扩大（缩小）m倍，另一个因数缩小(扩大)n倍，积扩大或缩小m÷n倍。
七、解决问题：
       1、相遇问题
       　相遇路程=速度与×相遇时间
         相遇时间=相遇路程÷速度与　
        　速度与＝相遇路程÷相遇时间
           　 追及问题 ﻫ        追及距离=速度差×追及时间 ﻫ        追及时间＝追及距离÷速度差　ﻫ        速度差=追及距离÷追及时间
２、工程问题
        工作效率×工作时间＝工作总量  
       工作总量÷工作效率=工作时间  ﻫ       工作总量÷工作时间=工作效率 
3、最多、最少问题
      人数最少多买贵得，人数最少多买便宜得。
４、购物、旅游合算问题
      先计算后比较。
附：
一、常见乘法计算:
25×4=10０     　 　 　 　　 　 125×8=1000
二、加法交换律简算例子:                 三、加法结合律简算例子：
    ５0＋9８+5０                                 　 　　 　  488+40+60
=50+50+９8                               　　 　 　 　　　=４88+(４0＋6０）
＝100+9８                                   　 　 =488＋100
＝1９8                                          　 　 =5８8
四、乘法交换律简算例子:                 　 五、乘法结合律简算例子:
     25×56×4                                 　 　99×１25×8
＝25×4×5６                              　 　 　 　 ＝99×(１２5×8）
＝100×5６                               　 　 　 　 　　 ＝99×1０00
=5６00                                  　 　　 　 ＝99００0

六、含有加法交换律与结合律得简便计算: 　
         65+２8+35＋72
＝（65＋３5）＋(28+72）
＝100+100
＝200
  七、含有乘法交换律与结合律得简便计算:
     　　 25×1２5×4×８
＝（２５×4)×（１25×8)
=1０0×10００
=100000
  八、乘法分配律简算例子：
一、分解式                                　 　 　 　 二、合并式
25×(4０+4）                             　　 1３5×12—135×2
＝2５×40+25×4                           　 　 ＝135×（１2—2)
=１0００+100                            　 　　 　 　　 =135×１０
＝１1０0                                  　 　 　 　＝１35０
  　三、特殊１                           　　 　   四、特殊2
      9９×256＋25６                              　 　 　 　 4５×102
＝9９×25６+25６×1                         　 　　　　 　 ＝45×（10０+2)
＝２56×(９9+1）          　               　 　  ＝45×1０0+45×2
=256×10０                                    　 　 　 ＝4５0０+9０
＝２5600                                       　  　 　 =45９0
五、特殊3                             　 　 六、特殊4
9９×26                                         　 　 　 　3５×8+35×6-4×3５
＝(100-1)×26                    　 　　　　 　　＝３5×(8+6—４）
=100×2６—１×26                     　 　　 　＝３5×10
＝２６００—2６                                 　 　　 　 　　＝350
=2５74
 　九、    连续减法简便运算例子:
52８—６5—35         　 　 　 528—8９-１28           　 　 　　 ５28-（150+12８）
=5２８—（６5+35）     　 =５28—128—89         　 ＝５2８—1２8—150
=5２８—10０           　 　 =4０0—８9             　　 　 =4０0-1５0
＝428                　 　 =311                  　　　 　 　 ＝2５0
 十、   　连续除法简便运算例子:
320０÷２5÷4          
＝3200÷（２5×4)
=３２00÷１０0
=32
 十一、    其它简便运算例子:
２56-５8+44             　　 250÷８×4
=2５６+44—５8            　 　 　 　　 　=２50×4÷８
=300—58              　 　　 　 　 =１000÷8
=242                  　 　 　　 　　　=１25
【专项训练】
一、积得变化规律练习题ﻫ１、先用积得变化规律填空，再用笔算或计算器验算。
　26×48=１2４8    　 　 　 　 17×１2＝２04 ﻫ 26×24＝(  　 ）    　 　 　１7×24=(  　）
26×12=( 　 　)   　　 　 17×36=( 　 )
２、一个长方形得面积就是２５6平方厘米,如果长缩小4倍,宽扩大４倍，这个长方形就变成了正方形，这个正方形得面积就是多少？它得边长就是多少？
二、用简便方法计算
⑴  35+６３+2７       　 　　 　 　 　 ⑵　(103－3）×１5
⑶  2５×44 　 　 　　 　 　 ⑷   　１４×３2+69×1４