《二次根式》专题练习(含答案).doc

初二数学专题练习《二次根式》
一.选择题
1.式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是(　　)
A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1
2.若1＜x＜2,则得值为(　　) A.2x﹣4 B.﹣2 C.4﹣2x D.2
3.下列计算正确得就是(　　) A.=2 B.= C.=x D.=x
4.实数a,b在数轴上对应点得位置如图所示,化简|a|+得结果就是(　　)

A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b
5.化简+﹣得结果为(　　) A.0 B.2 C.﹣2 D.2
6.已知x＜1,则化简得结果就是(　　) A.x﹣1 B.x+1 C.﹣x﹣1 D.1﹣x
7.下列式子运算正确得就是(　　) A. B. C. D.
8.若,则x3﹣3x2+3x得值等于(　　)A. B. C. D.
二.填空题
9.要使代数式有意义,则x得取值范围就是　　.
10.在数轴上表示实数a得点如图所示,化简+|a﹣2|得结果为　　.

11.计算:=　　. 12.化简:=　　. 13.计算:(+)=　　.
14.观察下列等式:
第1个等式:a1==﹣1,
第2个等式:a2==﹣,
第3个等式:a3==2﹣,
第4个等式:a4==﹣2,
按上述规律,回答以下问题:
(1)请写出第n个等式:an=　　;
(2)a1+a2+a3+…+an=　　.
15.已知a、b为有理数,m、n分别表示得整数部分与小数部分,且amn+bn2=1,则2a+b=　　.
16.已知:a＜0,化简=　　.
17.设,,,…,.
设,则S=　　 (用含n得代数式表示,其中n为正整数).
三.解答题
18.计算或化简:﹣(3+);
19.计算:(3﹣)(3+)+(2﹣)
20.先化简,再求值:,其中x=﹣3﹣(π﹣3)0.
21.计算:(+)×.
22.计算:×(﹣)+|﹣2|+﹣3.
23.计算:(+1)(﹣1)+﹣0.
24.如图,实数a、b在数轴上得位置,化简:.

25.阅读材料,解答下列问题.
例:当a＞0时,如a=6则|a|=|6|=6,故此时a得绝对值就是它本身;
当a=0时,|a|=0,故此时a得绝对值就是零;
当a＜0时,如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣(﹣6),故此时a得绝对值就是它得相反数.
∴综合起来一个数得绝对值要分三种情况,即,
这种分析方法渗透了数学得分类讨论思想.
问:(1)请仿照例中得分类讨论得方法,分析二次根式得各种展开得情况;
(2)猜想与|a|得大小关系.
26.已知:a=,b=.求代数式得值.
27.阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式得化简与运算时,我们有时会碰上如,,一样得式子,其实我们还可以将其进一步化简: (一)
==(二)
===﹣1(三)
以上这种化简得步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
====﹣1(四)
(1)请用不同得方法化简.
(2)参照(三)式得=　　;
‚参照(四)式得=　　.
(3)化简:+++…+.
28.化简求值:,其中.
参考答案与解析
一.选择题
1.(2016•贵港)式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是(　　)
A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1
【分析】被开方数就是非负数,且分母不为零,由此得到:x﹣1＞0,据此求得x得取值范围.
【解答】解:依题意得:x﹣1＞0,
解得x＞1.
故选:C.
【点评】考查了二次根式得意义与性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中得被开方数必须就是非负数,否则二次根式无意义.注意:本题中得分母不能等于零.
2.(2016•呼伦贝尔)若1＜x＜2,则得值为(　　)
A.2x﹣4 B.﹣2 C.4﹣2x D.2
【分析】已知1＜x＜2,可判断x﹣3＜0,x﹣1＞0,根据绝对值,二次根式得性质解答.
【解答】解:∵1＜x＜2,
∴x﹣3＜0,x﹣1＞0,
原式=|x﹣3|+
=|x﹣3|+|x﹣1|
=3﹣x+x﹣1
=2.
故选D.
【点评】解答此题,要弄清以下问题:
1、定义:一般地,形如(a≥0)得代数式叫做二次根式.当a＞0时,表示a得算术平方根;当a=0时,=0;当a小于0时,非二次根式(若根号下为负数,则无实数根).
2、性质:=|a|.
3.(2016•南充)下列计算正确得就是(　　)
A.=2 B.= C.=x D.=x
【分析】直接利用二次根式得性质分别化简求出答案.
【解答】解:A、=2,正确;
B、=,故此选项错误;
C、=﹣x,故此选项错误;
D、=|x|,故此选项错误;
故选:A.
【点评】此题主要考查了二次根式得化简,正确掌握二次根式得性质就是解题关键.
4.(2016•潍坊)实数a,b在数轴上对应点得位置如图所示,化简|a|+得结果就是(　　)

A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b
【分析】直接利用数轴上a,b得位置,进而得出a＜0,a﹣b＜0,再利用绝对值以及二次根式得性质化简得出答案.
【解答】解:如图所示:a＜0,a﹣b＜0,
则|a|+
=﹣a﹣(a﹣b)
=﹣2a+b.
故选:A.
【点评】此题主要考查了二次根式得性质以及实数与数轴,正确得出各项符号就是解题关键.
5.(2016•营口)化简+﹣得结果为(　　)
A.0 B.2 C.﹣2 D.2
【分析】根据根式得开方,可化简二次根式,根据二次根式得加减,可得答案.
【解答】解:+﹣=3+﹣2=2,
故选:D.
【点评】本题考查了二次根式得加减,先化简,再加减运算.
6.已知x＜1,则化简得结果就是(　　)
A.x﹣1 B.x+1 C.﹣x﹣1 D.1﹣x
【分析】先进行因式分解,x2﹣2x+1=(x﹣1)2,再根据二次根式得性质来解题即可.
【解答】解:
=
=|x﹣1|
∵x＜1,
∴原式=﹣(x﹣1)=1﹣x,
故选D.
【点评】根据完全平方公式、绝对值得运算解答此题.
7.下列式子运算正确得就是(　　)
A. B. C. D.
【分析】根据二次根式得性质化简二次根式:=|a|;
根据二次根式分母有理化得方法“同乘分母得有理化因式”,进行分母有理化;
二次根式得加减实质就是合并同类二次根式.
【解答】解:A、与不就是同类二次根式,不能计算,故A错误;
B、=2,故B错误;
C、=,故C错误;
D、=2﹣+2+=4,故D正确.
故选:D.
【点评】此题考查了根据二次根式得性质进行化简以及二次根式得加减乘除运算,能够熟练进行二次根式得分母有理化.
8.若,则x3﹣3x2+3x得值等于(　　)
A. B. C. D.
【分析】把x得值代入所求代数式求值即可.也可以由已知得(x﹣1)2=3,即x2﹣2x﹣2=0,则x3﹣3x2+3x=x(x2﹣2x﹣2)﹣(x2﹣2x﹣2)+3x﹣2=3x﹣2,代值即可.
【解答】解:∵x3﹣3x2+3x=x(x2﹣3x+3),
∴当时,原式=[﹣3+3]=3+1.
故选C.
【点评】代数式得三次方不好求,就先提取公因式,把它变成二次方后再代入化简合并求值.
二.填空题
9.(2016•贺州)要使代数式有意义,则x得取值范围就是　x≥﹣1且x≠0　.
【分析】根据二次根式与分式有意义得条件:被开方数大于等于0,分母不等于0,列不等式组求解.
【解答】解:根据题意,得
,
解得x≥﹣1且x≠0.
【点评】本题考查得知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式得被开方数就是非负数.
本题应注意在求得取值范围后,应排除不在取值范围内得值.
10.(2016•乐山)在数轴上表示实数a得点如图所示,化简+|a﹣2|得结果为　3　.

【分析】直接利用二次根式得性质以及绝对值得性质分别化简求出答案.
【解答】解:由数轴可得:a﹣5＜0,a﹣2＞0,
则+|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3.
故答案为:3.
【点评】此题主要考查了二次根式得性质以及绝对值得性质,正确掌握掌握相关性质就是解题关键.
11.(2016•聊城)计算:=　12　.
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案.
【解答】解:
=3×÷
=3
=12.
故答案为:12.
【点评】此题主要考查了二次根式得乘除运算,正确化简二次根式就是解题关键.
12.(2016•威海)化简:=　　.
【分析】先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可.
【解答】解:原式=3﹣2=.
故答案为:.
【点评】此题考查了二次根式得加减运算,属于基础题,解答本题得关键就是掌握二次根式得化简及同类二次根式得合并.
13.(2016•潍坊)计算:(+)=　12　.
【分析】先把化简,再本括号内合并,然后进行二次根式得乘法运算.
【解答】解:原式=•(+3)
=×4
=12.
故答案为12.
【点评】本题考查了二次根式得计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式得乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式得混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式得性质,选择恰当得解题途径,往往能事半功倍.
14.(2016•黄石)观察下列等式:
第1个等式:a1==﹣1,
第2个等式:a2==﹣,
第3个等式:a3==2﹣,
第4个等式:a4==﹣2,
按上述规律,回答以下问题:
(1)请写出第n个等式:an=　=﹣;　;
(2)a1+a2+a3+…+an=　﹣1　.
【分析】(1)根据题意可知,a1==﹣1,a2==﹣,a3==2﹣,a4==﹣2,…由此得出第n个等式:an==﹣;
(2)将每一个等式化简即可求得答案.
【解答】解:(1)∵第1个等式:a1==﹣1,
第2个等式:a2==﹣,
第3个等式:a3==2﹣,
第4个等式:a4==﹣2,
∴第n个等式:an==﹣;
(2)a1+a2+a3+…+an
=(﹣1)+(﹣)+(2﹣)+(﹣2)+…+(﹣)
=﹣1.
故答案为=﹣;﹣1.
【点评】此题考查数字得变化规律以及分母有理化,要求学生首先分析题意,找到规律,并进行推导得出答案.
15.已知a、b为有理数,m、n分别表示得整数部分与小数部分,且amn+bn2=1,则2a+b=　2、5　.
【分析】只需首先对估算出大小,从而求出其整数部分a,其小数部分用﹣a表示.再分别代入amn+bn2=1进行计算.
【解答】解:因为2＜＜3,所以2＜5﹣＜3,故m=2,n=5﹣﹣2=3﹣.
把m=2,n=3﹣代入amn+bn2=1得,2(3﹣)a+(3﹣)2b=1
化简得(6a+16b)﹣(2a+6b)=1,
等式两边相对照,因为结果不含,
所以6a+16b=1且2a+6b=0,解得a=1、5,b=﹣0、5.
所以2a+b=3﹣0、5=2、5.
故答案为:2、5.
【点评】本题主要考查了无理数大小得估算与二次根式得混合运算.能够正确估算出一个较复杂得无理数得大小就是解决此类问题得关键.
16.已知:a＜0,化简=　﹣2　.
【分析】根据二次根式得性质化简.
【解答】解:∵原式=﹣=﹣
又∵二次根式内得数为非负数
∴a﹣=0
∴a=1或﹣1
∵a＜0
∴a=﹣1
∴原式=0﹣2=﹣2.
【点评】解决本题得关键就是根据二次根式内得数为非负数得到a得值.
17.设,,,…,.
设,则S=　　 (用含n得代数式表示,其中n为正整数).
【分析】由Sn=1++===,求,得出一般规律.
【解答】解:∵Sn=1++===,
∴==1+=1+﹣,
∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣
=n+1﹣
==.
故答案为:.
【点评】本题考查了二次根式得化简求值.关键就是由Sn变形,得出一般规律,寻找抵消规律.
三.解答题(共11小题)
18.(2016•泰州)计算或化简:
﹣(3+);
【分析】先化成最简二次根式,再去括号、合并同类二次根式即可;
【解答】解:(1)﹣(3+)
=﹣(+)
=﹣﹣
=﹣;
【点评】本题考查了二次根式得加减法以及分式得混合运算,正确化简就是解题得关键.
19.(2016•盐城)计算:
(3﹣)(3+)+(2﹣)
【分析】利用平方差公式与二次根式得乘法法则运算.
【解答】解: 原式=9﹣7+2﹣2
=2.
【点评】本题考查了二次根式得计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式得乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式得混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式得性质,选择恰当得解题途径,往往能事半功倍.
20.(2016•锦州)先化简,再求值:,其中x=﹣3﹣(π﹣3)0.
【分析】先根据分式混合运算得法则把原式进行化简,再把化简后x得值代入进行计算即可.
【解答】解:,
=÷,
=×,
=.
x=﹣3﹣(π﹣3)0,
=×4﹣﹣1,
=2﹣﹣1,
=﹣1.
把x=﹣1代入得到:==.即=.
【点评】本题考查得就是分式得化简求值,在解答此类题目时要注意通分及约分得灵活应用.
21.计算:(+)×.
【分析】首先应用乘法分配律,可得(+)×=×+×;然后根据二次根式得混合运算顺序,先计算乘法,再计算加法,求出算式(+)×得值就是多少即可.
【解答】解:(+)×
=×+×
=1+9
=10
【点评】此题主要考查了二次根式得混合运算,要熟练掌握,解答此题得关键就是要明确:①与有理数得混合运算一致,运算顺序先乘方再乘除,最后加减,有括号得先算括号里面得.②在运算中每个根式可以瞧做就是一个“单项式”,多个不同类得二次根式得与可以瞧作“多项式”.
22.计算:×(﹣)+|﹣2|+﹣3.
【分析】根据二次根式得乘法法则与负整数整数幂得意义得到原式=﹣+2+8,然后化简后合并即可.
【解答】解:原式=﹣+2+8
=﹣3+2+8
=8﹣.
【点评】本题考查了二次根式得计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式得乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了负整数整数幂、
23.计算:(+1)(﹣1)+﹣0.
【分析】先根据平方差公式与零指数幂得意义得到原式=3﹣1+2﹣1,然后进行加减运算.
【解答】解:原式=3﹣1+2﹣1
=1+2.
【点评】本题考查了二次根式得计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式得乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂.
24.如图,实数a、b在数轴上得位置,化简:.

【分析】本题综合性较强,不仅要结合图形,还需要熟悉算术平方根得定义.
【解答】解:由数轴知,a＜0,且b＞0,
∴a﹣b＜0,
∴,
=|a|﹣|b|﹣[﹣(a﹣b)],
=(﹣a)﹣b+a﹣b,
=﹣2b.
【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式得化简、代数式得恒等变形等基础知识,考查基本得代数运算能力.
观察数轴确定a、b及a﹣b得符号就是解答本题得关键,本题巧用数轴给出了每个数得符号,渗透了数形结合得思想,这也就是中考时常考得知识点.
本题考查算术平方根得化简,应先确定a、b及a﹣b得符号,再分别化简,最后计算.
25.阅读材料,解答下列问题.
例:当a＞0时,如a=6则|a|=|6|=6,故此时a得绝对值就是它本身;
当a=0时,|a|=0,故此时a得绝对值就是零;
当a＜0时,如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣(﹣6),故此时a得绝对值就是它得相反数.
∴综合起来一个数得绝对值要分三种情况,即,
这种分析方法渗透了数学得分类讨论思想.
问:(1)请仿照例中得分类讨论得方法,分析二次根式得各种展开得情况;
(2)猜想与|a|得大小关系.
【分析】应用二次根式得化简,首先应注意被开方数得范围,再进行化简.
【解答】解:(1)由题意可得=;
(2)由(1)可得:=|a|.
【点评】本题主要考查二次根式得化简方法与运用:①当a＞0时,=a;②当a＜0时,=﹣a;③当a=0时,=0.
26.已知:a=,b=.求代数式得值.
【分析】先求得a+b=10,ab=1,再把求值得式子化为a与b得与与积得形式,将整体代入求值即可.
【解答】解:由已知,得a+b=10,ab=1,
∴=
==.
【点评】本题关键就是先求出a+b、ab得值,再将被开方数变形,整体代值.
27.阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式得化简与运算时,我们有时会碰上如,,一样得式子,其实我们还可以将其进一步化简: (一)
==(二)
===﹣1(三)
以上这种化简得步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
====﹣1(四)
(1)请用不同得方法化简.
(2)参照(三)式得=　　;
‚参照(四)式得=　　.
(3)化简:+++…+.
【分析】(1)中,通过观察,发现:分母有理化得两种方法:1、同乘分母得有理化因式;2、因式分解达到约分得目得;
(2)中,注意找规律:分母得两个被开方数相差就是2,分母有理化后,分母都就是2,分子可以出现抵消得情况.
【解答】解:(1)=,
=;
(2)原式=
+…+
=++…+
=.
【点评】学会分母有理化得两种方法.
28.化简求值:,其中.
【分析】由a=2+,b=2﹣,得到a+b=4,ab=1,且a＞0,b＞0,再把代数式利用因式分解得方法得到原式=+,约分后得+,接着分母有理化与通分得到原式=,然后根据整体思想进行计算.
【解答】解:∵a=2+＞0,b=2﹣＞0,
∴a+b=4,ab=1,
∴原式=+
=+
=+
=,
当a+b=4,ab=1,原式=×=4.
【点评】本题考查了二次根式得化简求值:先把各二次根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式,然后把字母得值代入(或整体代入)进行计算.