相交线与平行线常考题目及答案.doc

相交线与平行线
一．选择题（共3小题）
1．在同一平面内，有8条互不重合得直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1与l8得位置关系就是（　　）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角得有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如图所示，同位角共有（　　）

A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
二．填空题（共4小题）
4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成　 　块．
5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴与y轴于A点与B点，则四边形OAPB得面积为　 　．

6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=　 　．

7．将一副学生用三角板按如图所示得方式放置．若AE∥BC，则∠AFD得度数就是　 　．

评卷人
得 分

三．解答题（共43小题）
8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB与线段EF上得点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M得度数．
（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ得关系，并证明您得结论．
9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC=70°，求∠BOD得度数．
（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD得度数．

11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD得度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD得度数；（用含α得代数式表示）
（3）从（1）（2）得结果中能瞧出∠AOE与∠BOD有何关系？

12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B得左侧，D在C得右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．
（1）若∠ADQ=130°，求∠BED得度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C得左侧，其她条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED得度数（用含n得代数式表示）．

13．如图，将含有45°角得三角板ABC得直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°
（1）求∠2得度数
（2）若∠3=19°，试判断直线n与m得位置关系，并说明理由．

14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4与l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间得关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间得关系并给予证明．

15．如图，已知AB∥PN∥CD．
（1）试探索∠ABC，∠BCP与∠CPN之间得数量关系，并说明理由；
（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP得度数．

16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°
（1）求证：AE∥CD；
（2）求∠B得度数．

17．探究题：

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，您能说明理由吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．
（3）若将点E移至图2得位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．
（4）若将点E移至图3得位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．
（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．
18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，已知∠BEP得平分线与∠DFP得平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间得关系．
（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．
（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q得关系为　 　．（直接写结论）

19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4得度数．

20．如图，一个由4条线段构成得“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中得平行线，并说明理由．

21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF得度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．
①则∠EOF=　 　．（用含x得代数式表示）
②求∠AOC得度数．

22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．
（1）求∠EOB得度数；
（2）若OF平分∠AOE，问：OA就是∠COF得角平分线吗？试说明理由．

23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD得内部，∠DOE=2∠BOE．
（1）求∠BOE与∠AOE得度数；
（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF得度数．

24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．
（1）求∠BOD得度数；
（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．

25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．
（1）若∠BOE=70°，求∠AOF得度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF得度数．

26．几何推理，瞧图填空：
（1）∵∠3=∠4（已知）
∴　 　∥　 　（　 　）
（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）
∴　 　∥　 　（　 　）
（3）∵∠ADF+　 　=180°（已知）
∴AD∥BF（　 　）

27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF得度数．
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC得度数．

28．将一副三角板拼成如图所示得图形，∠DCE得平分线CF交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB．
（2）求∠DFC得度数．

29．瞧图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），
所以∠1=∠2．
所以　 　∥　 　（　 　）．
又因为AC⊥AE（已知），
所以∠EAC=90°．（　 　）
所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．
同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=　 　°．
所以∠EAB=∠FBG（　 　）．
所以　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）．

30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC得理由．

31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC得对顶角为　 　，∠BOE得邻补角为　 　；
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE得度数．

32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM得数量关系为　 　；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；
（3）在（2）得条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N得度数．

33．阅读下面得推理过程，在括号内填上推理得依据，如图：
因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）
所以∠1=∠4，（　 　）
所以a∥c．（　 　）
又因为∠2+∠3=180°（已知）
∠3=∠6（　 　）
所以∠2+∠6=180°，（　 　）
所以a∥b．（　 　）
所以b∥c．（　 　）

34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB得平分线，求∠EDH得度数．

35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM得度数．

36．如图，∠B与∠D得两边分别平行．
（1）在图1 中，∠B与∠D得数量关系就是　 　，在图2中，∠B与∠D得数量关系就是　 　；
（2）用一句话归纳得命题为：　 　；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；
（3）应用：若两个角得两边分别互相平行，其中一个角就是另一个角得2倍，求这两个角得度数．

37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．
①求证：∠ABC=∠ADC；
②求∠CED得度数．

38．如图，已知a∥b，ABCDE就是夹在直线a，b之间得一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5得大小之间有怎样得等量关系？请说明理由．

39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角得个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？

40．已知直线AB∥CD，
（1）如图1，点E在直线BD上得左侧，直接写出∠ABE，∠CDE与∠BED之间得数量关系就是　 　．
（2）如图2，点E在直线BD得左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD与∠BED得数量关系就是　 　．
（3）如图3，点E在直线BD得右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD与∠BED有怎样得数量关系？请说明理由．

41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4得度数．
（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF得度数．

42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请您完成下列填空，把解答过程补充完整．
解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（　 　）
∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）
又∠1=∠2，
从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣　 　．（等式得性质）
即∠3=　 　．
∴DF∥AE．（　 　）．

43．如图1，AB∥CD，EOF就是直线AB、CD间得一条折线．

（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样得关系，证明您得结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样得结论？请写出您得结论．
44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：
（1）AB∥EF．
（2）AB∥ND．

45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE就是∠ABC得角平分线．
求证：DF∥AB．

46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间得一点，连结EA、EC．
（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=　 　．
（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=　 　．
（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系就是　 　．

47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F得度数．

48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学得眼光观察生活，就会有许多意想不到得收获，如图两幅图都就是由同一副三角板拼凑得到得：
（1）请您计算出图1中得∠ABC得度数．
（2）图2中AE∥BC，请您计算出∠AFD得度数．

49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2得度数．

50．如图所示，在长方体中．
（1）图中与AB平行得线段有哪些？
（2）图中与AB垂直得直线有哪些？

参考答案及解析　
一．选择题（共3小题）
1．在同一平面内，有8条互不重合得直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1与l8得位置关系就是（　　）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【分析】如果一条直线垂直于两平行线中得一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线得两直线平行”，可知L1与L8得位置关系就是平行．
【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8．
∵l1⊥l2，
∴l1∥l8．
故选A
【点评】灵活运用“垂直于同一条直线得两直线平行”就是解决此类问题得关键．
2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角得有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1与∠AOF得余角共有多少个．
【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE=∠DOF=90°，
即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，
∴∠1=∠AOF，
∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．
∴与∠1互为余角得有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．
故选A．
【点评】本题解决得关键就是由已知联想到可以转化为求∠1与∠AOF得余角．
3．如图所示，同位角共有（　　）

A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再瞧增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总与．
【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成得“三线八角”中同位角有四对，
射线GM与直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；
射线GM与直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；
射线HN与直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．
则总共10对．
故选C．
【点评】本题主要考查同位角得概念．即两个都在截线得同旁，又分别处在被截得两条直线同侧得位置得角叫做同位角．
二．填空题（共4小题）
4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成　8　块．
【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块．
【解答】解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次得基础上增加2倍，第三次在第二次得基础上又增加2倍，故最多能被分成8块．
【点评】本题考查了学生得空间想象能力，分清如何分得到得块数最多就是解决本题得关键．
5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴与y轴于A点与B点，则四边形OAPB得面积为　9　．

【分析】过P分别作x轴与y轴得垂线，交x轴与y轴与C与D．构造全等三角形△PDB≌△PCA（ASA）、正方形CODP；所以S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×3=9．
【解答】解：过P分别作x轴与y轴得垂线，交x轴与y轴于点C与D．
∵P点坐标为（3，3），
∴PC=PD；
又∵l1⊥l2，
∴∠BPA=90°；
又∵∠DPC=90°，
∴∠DPB=∠CPA，
在△PDB与△PCA中

∴△PDB≌△PCA（ASA），
∴S△DPB=S△PCA，
S四边形OAPB=S正方形ODPC+S△PCA﹣S△DPB，
即S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×3=9．
故答案就是：9．

【点评】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形得面积．解答此题时，利用了“割补法”求四边形OAPB得面积．
6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=　200°　．

【分析】过∠2得顶点作l2得平行线l，则l∥l1∥l2，由平行线得性质得出∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．
【解答】解：过∠2得顶点作l2得平行线l，如图所示：
则l∥l1∥l2，
∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°+20°=200°；
故答案为：200°．

【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
7．将一副学生用三角板按如图所示得方式放置．若AE∥BC，则∠AFD得度数就是　75°　．

【分析】根据平行线得性质得到∠EDC=∠E=45°，根据三角形得外角性质得到∠AFD=∠C+∠EDC，代入即可求出答案．
【解答】解：∵∠EAD=∠E=45°，
∵AE∥BC，
∴∠EDC=∠E=45°，
∵∠C=30°，
∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查对平行线得性质，三角形得外角性质等知识点得理解与掌握，能利用性质进行推理就是解此题得关键，题型较好，难度适中．
三．解答题（共43小题）
8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB与线段EF上得点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M得度数．
（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ得关系，并证明您得结论．
【分析】（1）首先作MQ∥AB，根据平行线得性质，推得∠M=（∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M得度数即可．
（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．
②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可．
【解答】解：（1）如图1，作MQ∥AB，，
∵AB∥CD，MQ∥AB，
∴MQ∥CD，
∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，
∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=（∠FHP+∠FED）=（∠FHP+∠HFP），
∵HP⊥EF，
∴∠HPF=90°，
∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°，
∵∠1+∠2=∠M，
∴∠M=．
（2）①如图2，，
∠FHE=2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．
②如图3，，
∠FHE=180°﹣2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ．
综上，可得
当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°﹣2∠ENQ．
【点评】此题主要考查了平行线得性质与应用，要熟练掌握，解答此题得关键就是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．
【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多得交点个数，找出规律即可解答．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=个交点．

【点评】本题考查得就是多条直线相交得交点问题，解答此题得关键就是找出规律，即n条直线相交有个交点．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC=70°，求∠BOD得度数．
（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD得度数．

【分析】（1）根据角平分线得定义求出∠AOC得度数，根据对顶角相等得到答案；
（2）设∠EOC=4x，根据邻补角得概念列出方程，解方程求出∠EOC=80°，根据角平分线得定义与对顶角相等计算即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠EOC=70°，OA平分∠EOC，
∴∠AOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）设∠EOC=4x，则∠EOD=5x，
∴5x+4x=180°，
解得x=20°，
则∠EOC=80°，
又∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=40°，
∴∠BOD=∠AOC=40°．
【点评】本题考查得就是对顶角、邻补角得概念与性质以及角平分线得定义，掌握对顶角相等、邻补角之与等于180°就是解题得关键．
11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD得度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD得度数；（用含α得代数式表示）
（3）从（1）（2）得结果中能瞧出∠AOE与∠BOD有何关系？

【分析】（1）、（2）根据平角得性质求得∠AOF，又有角平分线得性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE；
（3）由（1）、（2）得结果找出它们之间得倍数关系．
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，
∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，
∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；
（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，
∴∠AOF=180°﹣α；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，
∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；
（3）从（1）（2）得结果中能瞧出∠AOE=2∠BOD．
【点评】本题利用垂直得定义，对顶角与互补得性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B得左侧，D在C得右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．
（1）若∠ADQ=130°，求∠BED得度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C得左侧，其她条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED得度数（用含n得代数式表示）．

【分析】（1）过点E作EF∥PQ，由平行线得性质及角平分线求得∠DEF与∠FEB，即可求出∠BED得度数，
（2）过点E作EF∥PQ，由平行线得性质及角平分线求得∠DEF与∠FEB，即可求出∠BED得度数，
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥PQ，
∵∠CBN=100°，∠ADQ=130°，
∴∠CBM=80°，∠ADP=50°，
∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDP=∠ADP=25°，
∵EF∥PQ，
∴∠DEF=∠EDP=25°，
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴EF∥MN．
∴∠FEB=∠EBM=40°
∴∠BED=25°+40°=65°；
（2）如图2，过点E作EF∥PQ，
∵∠CBN=100°，
∴∠CBM=80°，
∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDQ=∠ADQ=n°，
∵EF∥PQ，
∴∠DEF=180°﹣∠EDQ=180°﹣n°，
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴EF∥MN，
∴∠FEB=∠EBM=40°，
∴∠BED=180°﹣n°+40°=220°﹣n°．

【点评】本题主要考查了平行线得性质，运用角平分线与平行线得性质相结合来求∠BED解题得关键．
13．如图，将含有45°角得三角板ABC得直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°
（1）求∠2得度数
（2）若∠3=19°，试判断直线n与m得位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据平角等于180°，列式计算即可得解；
（2）根据三角形得外角性质求出∠4，然后根据同位角相等，两直线平行解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠1=26°，
∴∠2=180°﹣∠1﹣∠ACB，
=180°﹣90°﹣26°，
=64°；
（2）结论：n∥m．
理由如下：∵∠3=19°，∠A=45°，
∴∠4=45°+19°=64°，
∵∠2=64°，
∴∠2=∠4，
∴n∥m．

【点评】本题考查了平行线得判定与性质，三角形外角性质得运用，熟练掌握平行线得判定方法与性质就是解题得关键．
14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4与l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间得关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间得关系并给予证明．

【分析】此题三个小题得解题思路就是一致得，过P作直线l1、l2得平行线，利用平行线得性质得到与∠1、∠2相等得角，然后结合这些等角与∠3得位置关系，来得出∠1、∠2、∠3得数量关系．
【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

【点评】此题主要考查得就是平行线得性质，能够正确地作出辅助线，就是解决问题得关键．
15．如图，已知AB∥PN∥CD．
（1）试探索∠ABC，∠BCP与∠CPN之间得数量关系，并说明理由；
（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP得度数．

【分析】（1）由平行线得性质得出∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，即可得出结论；
（2）由（1）得结论代入计算即可．
【解答】解：（1）∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°；理由如下：
延长NP交BC于M，如图所示：
∵AB∥PN∥CD，
∴∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，
∵∠PCD=∠BCD﹣∠BCP=∠ABC﹣∠BCP，
∴∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°．
（2）由（1）得：∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°，
则∠BCP=∠ABC+∠CPN﹣180°=155°+42°﹣180°=17°．

【点评】本题考查了平行线得性质；熟记平行线得性质就是解决问题得关键．
16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°
（1）求证：AE∥CD；
（2）求∠B得度数．

【分析】（1）根据平行线得性质与等量关系可得∠EAD+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）根据平行线得性质可得∠AEB=∠C，根据三角形内角与定理与等量关系即可得到∠B得度数．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠EAD=∠C，
∴∠EAD+∠D=180°，
∴AE∥CD；
（2）∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠C，
∵∠FEC=∠BAE，
∴∠B=∠EFC=50°．
【点评】考查了平行线得判定与性质，三角形内角与定理，解题得关键就是证明AE∥CD．
17．探究题：

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，您能说明理由吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．
（3）若将点E移至图2得位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．
（4）若将点E移至图3得位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．
（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可．
（2）首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，可得∠D=∠2，据此判断出EF∥CD，再根据EF∥AB，可得AB∥CD，据此判断即可．
（3）首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可．
（4）首先根据AB∥CD，可得∠B=∠BFD；然后根据∠D+∠E=∠BFD，可得∠D+∠E=∠B，据此解答即可．
（5）首先作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，根据AB∥CD，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，据此判断即可．
【解答】解：（1）如图1，作EF∥AB，，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠D=∠2，
∴∠B+∠D=∠1+∠2，
又∵∠1+∠2=∠E，
∴∠B+∠D=∠E．
（2）如图2，作EF∥AB，，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠1，
∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，
∴∠D=∠2，
∴EF∥CD，
又∵EF∥AB，
∴AB∥CD．
（3）如图3，过E作EF∥AB，，
∵EF∥AB，
∴∠BEF+∠B=180°，
∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF=180°，
∵∠BEF+∠DEF=∠E，
∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．
（4）如图4，，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BFD，
∵∠D+∠E=∠BFD，
∴∠D+∠E=∠B．
（5）如图5，作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；
∵∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，
∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．
【点评】此题主要考查了平行线得性质与应用，要熟练掌握，解答此题得关键就是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，已知∠BEP得平分线与∠DFP得平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间得关系．
（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．
（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q得关系为　∠P+n∠Q=360°　．（直接写结论）

【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．
（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP得平分线与∠DFP得平分线相交于点Q，推得∠EQF=，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．
（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q=360°．
（4）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．
【解答】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，
又∵∠1+∠2=∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，，
由（1），可得
∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP得平分线与∠DFP得平分线相交于点Q，
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）==，
∴∠EPF+2∠EQF=360°．
（3）如图3，，
由（1），可得
∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠