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分式方程培优讲义
分式方程拔高讲练
一、含有参数方程
1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是
2． 分式方程=1﹣的根为
3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组
的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为
二、 方程无解
1． 若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是
2． 若=0无解，则m的值是
3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=　 　．
三、 有增根
1、 如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为
2、 关于x的分式方程有增根，则增根为　 　．
3、 若关于x的方程有增根，则m的值是　 　．
4、 解关于x的方程+=产生增根，则常数a=　 　
四、整体代入解方程
1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　 　．8iHbv0q。aRH3Xxv。
2、用换元法解方程﹣2•+1=0时应设y=　 　．
3． 如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是　 　．
四、 实际问题
1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　）o8LpPUm。HvNCcEX。
A．﹣10= B．+10=
C．﹣10= D．+10=
2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（　　）xHPUlsl。RiMCIgx。
A．= B．= C．= D．=
3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　）3kBGO5h。br21BNZ。
A． B． C． D．
4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 JMKxJN9。wVwRaE5。
天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（　　）
A．﹣=5 B．﹣=5
C．+5= D．﹣=5
5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（　　）QayGTsM。c8emRYB。
A．+=1 B．+= C．+= D．+=1
【同步训练】
1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（　 　）ImdrHDI。0pOFita。
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8
2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（　　）zjVP4gc。x5Gs8FJ。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m=　 　．
4．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　．
5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：　 　．usef9p3。6xUib3b。
6．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为　 　．2wRxUFR。oJz2uiV。
7．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=　 　．6JVzVFk。saPZFsN。
8．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）cpKqgEl。xPcF7H3。
A．3 B．1 C．0 D．﹣3
9．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．53PfODb。wmZT1Pe。
（1）点Q的速度为　 　cm/s（用含x的代数式表示）．
（2）求点P原来的速度．

12．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a⊗b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2⊗3=﹣=+=1．DfxWNjK。aRb6QrW。
（1）求（﹣2）⊗3的值； （2）若x⊗2=1，求x的值．
2017年12月02日峰尚的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=，
由题意得：≥0且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
2．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（　　）Xhcrlp7。Rg99DnN。
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，
∵关于x的分式方程+=4的解为正数，
∴＞0且≠1，
∴a＜6且a≠2．
，
解不等式①得：y＜﹣2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，
（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．
故选A．
3．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）gqEIU6y。HWtqFsY。
A．3 B．1 C．0 D．﹣3
【解答】解：解不等式组，可得，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤﹣＜0，
∴﹣4＜a≤3，
解分式方程+=2，可得y=（a+2），
又∵分式方程有非负数解，
∴y≥0，且y≠2，
即（a+2）≥0，（a+2）≠2，
解得a≥﹣2且a≠2，
∴﹣2≤a≤3，且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是1．
故选：B．
4．分式方程=1﹣的根为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，
解得：x=﹣1或x=3，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，
故选C
5．如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【解答】解：﹣=1，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：
m+2x=x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x=2时，m+4=2﹣2，
m=﹣4，
故选D．
6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　）91D1qPW。TO1U7bV。
A．﹣10= B．+10=
C．﹣10= D．+10=
【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选：B．
7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（　　）P1x9eqp。c45zD0S。
A．= B．=
C．= D．=
【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，
故选：D．
8．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　）umcH7tN。ndHVJAv。
A． B． C． D．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，
由题意得，=．
故选A．
9．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（　　）hwQjvS6。dH36kW3。
A．﹣=5 B．﹣=5
C．+5= D．﹣=5
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选（A）
10．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（　　）LXoWb8b。S9CKY5e。
A．+=1 B．+= C．+= D．+=1
【解答】解：由题意可得，
，
故选B．
11．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是（　　）
A．m= B．m=3 C．m=或1 D．m=或3
【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x=2，
当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；
当m﹣1≠1时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时=3，即m=，
故选C
12．若=0无解，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【解答】解：方程两边都乘（x﹣4）得：
m+1﹣x=0，
∵方程无解，
∴x﹣4=0，
即x=4，
∴m+1﹣4=0，
即m=3，
故选C．
13．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（　　）mdSJ7mC。xBbrqs1。
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8
【解答】解：，
解①得x＞m，
解②得x＞1．
不等式组的解集是x＞1，则m≤1．
解方程+=3，
去分母，得1﹣x﹣m=3（2﹣x），
去括号，得1﹣x﹣m=6﹣3x，
移项，得﹣x+3x=6﹣1+m，
合并同类项，得2x=5+m，
系数化成1得x=．
∵分式方程+=3有非负整数解，
∴5+m≥0，
∴m≥﹣5，
∴﹣5≤m≤1，
∴m=﹣5，﹣3，1，
∴符合条件的m的所有值的和是﹣7，
故选C．
14．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（　　）XXkzKTk。FeF07z4。
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到m+2≥﹣2m﹣1，
解得：m≥﹣1，即m=﹣1，0，2，5，
分式方程去分母得：x﹣m+2=﹣x+2，即x=m，
把m=﹣1代入得：x=﹣，不符合题意；
把m=0代入得：x=0，符合题意；
把m=2代入得：x=1，符合题意；
把m=5代入得：x=2.5，不符合题意，
则所有满足条件m的个数是2，
故选B
二．填空题（共15小题）
15．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m=　3或7　．
【解答】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，
整理，得（m﹣3）x=4，
当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；
当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，
∴m﹣3=4，m=7，
∴m的值为3或7．
故答案为3或7．
16．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　m＜6且m≠2　．
【解答】解：+=3，
方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，
解得，x=，
∵≠2，
∴m≠2，
由题意得，＞0，
解得，m＜6，
故答案为：m＜6且m≠2．
17．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：　=　．sW6E5HD。ORUC40i。
【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．
故答案是：=．
18．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为　﹣=8　．01rQXOm。OAXVsMU。
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，
根据题意可得：﹣=8，
故答案为：﹣=8．
19．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是　m≥﹣1且m≠1　．
【解答】解：去分母得，m﹣1=2（x﹣1），
∴x=，
∵方程的解是非负数，
∴m+1≥0即m≥﹣1
又因为x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴≠1，
∴m≠1，
则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．
故选：m≥﹣1且m≠1．
20．若关于x的分式方程+=2有整数解，整数m的值是　1，3，4，﹣2，6　．
【解答】解：去分母得：mx﹣1+1=2x﹣4，
整理得：（m﹣2）x=﹣4，
解得：x=﹣，
由分式方程有整数解，得到m﹣2=﹣1，1，﹣2，2，﹣4，4，且x﹣2≠0，
解得：m=1，3，4，﹣2，6，
故答案为：1，3，4，﹣2，6
21．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　y2﹣3y+2=0　．8mbPZBb。9pQclVN。
【解答】解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，
去分母，得y2﹣3y+2=0．
故答案是：y2﹣3y+2=0．
22．用换元法解方程﹣2•+1=0时应设y=　　．
【解答】解：设y=，则原方程变为y﹣+1=0，
故答案为：．
23．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是　2　．
【解答】解：设x+=u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，
解得u=2或u=﹣1，
x+=2或x+=﹣1（不符合题意，舍），
故答案为：2．
24．关于x的分式方程有增根，则增根为　x=1　．
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，
解得x=1．
故答案为x=1．
25．若关于x的方程有增根，则m的值是　4　．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），
得x+2=m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）=0，
解得x=2，
当x=2时，m=2+2+4，
故答案为：4．
26．若分式方程的解为正数，则a的取值范围是　a＜8，且a≠4　．
【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，
解得：x=8﹣a，
根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，
解得：a＜8，且a≠4．
故答案为：a＜8，且a≠4．
27．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=　3+　．nRikHcs。mz6GG5l。
【解答】解：∵x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，
∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，
x+=c+的解是x1=c，x2=3+，
故答案为3+．
28．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=　﹣1或2　．
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）=﹣2，即（a+1）x=2a+5，
当a=﹣1时，显然方程无解；
当a≠﹣1时，x=，
当x=2时，a不存在；
当x=3时，a=2，
综上，a的值为﹣1或2．
故答案为﹣1或2．
29．解关于x的方程+=产生增根，则常数a=　﹣4或6　．
【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x﹣6，
由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，即x=2或x=﹣2，
把x=2代入得：8+2a=0，即a=﹣4；
把x=﹣2代入得：﹣2a=﹣12，即a=6，
综上，常数a=﹣4或6，
故答案为：﹣4或6
三．解答题（共6小题）
30．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．PGVSrtz。M5Z4AdN。
（1）点Q的速度为　x　cm/s（用含x的代数式表示）．
（2）求点P原来的速度．

【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，
由题意得3÷x=4÷y，
∴y=x，
故答案为：x；
（2）AC===5，
CD=5﹣1=4，
在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，
由题意得=，
解得：x=（cm/s），
经检验x=是原方程的根，
答：点P原来的速度为cm/s．
31．若关于x的方程﹣=1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值．
【解答】解：∵关于x的方程﹣=1的根是2，
∴把x=2代入方程得：2﹣=1，
解得：m=4，
则（m﹣4）2﹣2m+8=（4﹣4）2﹣2×4+8=0．
32．设A=，B=
（1）求A与B的差；
（2）若A与B的值相等，求x的值．
【解答】解：（1）A﹣B=
=
=
=
（2）∵A=B
∴
去分母，得2（x+1）=x
去括号，得2x+2=x
移项、合并同类项，得x=﹣2
经检验x=﹣2是原方程的解．
33．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a⊗b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2⊗3=﹣=+=1．Ze2Rjmb。S30zX6I。
（1）求（﹣2）⊗3的值；
（2）若x⊗2=1，求x的值．
【解答】解：（1）原式=﹣=﹣3
（2）由题意可知：
﹣=1
1﹣（x﹣2）=x
1﹣x+2=x
x=
经检验，x=是原方程的解，
34．（1）计算：（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣
（2）解分式方程：﹣=1．
【解答】解：（1）原式=1+2﹣1﹣4
=﹣2；
（2）去分母得x（x﹣1）﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），
解得x=0，
经检验，x=0为原方程的根．
35．解方程：+=．
【解答】解：去分母得：x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．