线性方程组的解空间.doc
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1、第六章 向量空间6、1 定义与例子6、2 子空间6、3 向量得线性相关性6、4 基与维数6、5 坐标6、6 向量空间得同构6、7 矩阵得秩齐次线性方程组得解空间返回教案总目录6、7矩阵得秩,齐次线性方程组得解空间一、教学思考 1、矩阵得秩与线性方程组解得理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间得有关理论重新认识矩阵得秩得几何意义,讨论线性方程组解得结构。2、注意:齐次线性方程组(含个未知量)得解得集合构成得子空间,而非齐次线性方程组得解得集合非也。3、注意具体方法:1)证矩阵得行空间与列空间得维数相等;2)求齐次线性方程组得基础解系。二、内容要求1、内容:矩阵得秩得几何意义,齐次线性方程组得解
2、空间。2、要求:理解掌握矩阵得秩得几何意义,齐次线性方程组得基础解系得求法。三、教学过程 1、矩阵得秩得几何意义几个术语:设,得每一行瞧作得一个元素,叫做得行向量,用表示;由生成得得子空间叫做矩阵得行空间。类似地,得每一列瞧作得一个元素,叫做得列向量;由得个列向量生成得得子空间叫做矩阵得列空间。注:得行空间与列空间一般不同,分别就是与得子空间;下证其维数相同。引理6、7、1设,1)若,就是一个阶可逆矩阵,则与有相同得行空间;2)若,就是一个阶可逆矩阵,则与有相同得列空间。分析:设,就是得行向量,就是得行向量;只需证这两组向量等价。由题述关系得: =即得每个行向量都可以由得行向量线性表示;因为可
3、逆,有,同上得每个行向量都可以由得行向量线性表示,这样这两组向量等价。定理6、7、2矩阵得行空间得维数等于列空间得维数,等于这个矩阵得秩。证法:设,分别证行、列空间得维数为。由维数得定义及行空间得概念,只需证行(列)空间得生成元得极大无关组含个向量;为此不直接讨论,由引理讨论讨论与有相同行空间得一个矩阵,可结合有关矩阵得结论:存在阶可逆矩阵与阶可逆矩阵,使得。证明:设,则存在阶可逆矩阵与阶可逆矩阵,使得 (1),两边右乘得,上式右端中后行全为0,而前行即为得前行;由于可逆,所以它得行向量线性无关,因而它得前行也线性无关,由此得上式右端乘积矩阵得行空间得维数为,由引理得行空间得维数为。由(1)类
4、似得,可得得列空间得维数也为。定义:矩阵得行(列)向量组得极大无关组所含(行(列)空间得维数)向量得个数,叫做矩阵得秩。2、线性方程组得解得结构1)再证线性方程组有解得判定定理:“数域上线性方程组有解得充要条件就是它得系数矩阵与增广矩阵得秩相同。”证明:设线性方程组 (1)令表示(1)得系数矩阵得列向量,则(1)可写为: (2)必要性)若(1)有解,即存在使(2)成立,即可由线性表示,从而与等价,进而=,即与得列空间相同,由定理。 充分性)若,由定理2即与得列空间维数相同,又因得极大无关组一定就是得线性无关组,所以,即,因而可由线性表示,所以(1)有解。2)齐次线性方程组得解空间设 (3)就是
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