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等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1.等差数列得定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它得前一项得差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列得公差,公差通常用字母d表示.
2.等差数列得通项公式
若等差数列{an}得首项就是a1,公差就是d,则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p、
3.等差中项
如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x与y得等差中项,如果A就是x与y得等差中项,则A＝、
4.等差数列得常用性质
(1)通项公式得推广:an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m＋n＝p＋q,
则am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}就是等差数列,公差为d,则ak,ak＋m,ak＋2m,…(k,m∈N*)就是公差为md得等差数列.
(4)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…也就是等差数列.
(5)S2n－1＝(2n－1)an、
(6)若n为偶数,则S偶－S奇＝;
若n为奇数,则S奇－S偶＝a中(中间项).
5.等差数列得前n项与公式
若已知首项a1与末项an,则Sn＝,或等差数列{an}得首项就是a1,公差就是d,则其前n项与公式为Sn＝na1＋d、
6.等差数列得前n项与公式与函数得关系
Sn＝n2＋n,数列{an}就是等差数列得充要条件就是Sn＝An2＋Bn(A,B为常数).
7.最值问题
在等差数列{an}中,a1＞0,d＜0,则Sn存在最大值,若a1＜0,d＞0,则Sn存在最小值.
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列得前n项与公式:
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an,①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1,②
①＋②得:Sn＝、
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列得一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a－2d,a－d,a,a＋d,a＋2d,…、
(2)若偶数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,…,其余各项再依据等差数列得定义进行对称设元.
四种方法
等差数列得判断方法
(1)定义法:对于n≥2得任意自然数,验证an－an－1为同一常数;
(2)等差中项法:验证2an－1＝an＋an－2(n≥3,n∈N*)都成立;
(3)通项公式法:验证an＝pn＋q;
(4)前n项与公式法:验证Sn＝An2＋Bn、
注:　后两种方法只能用来判断就是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
回顾:
1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d得值为(　　)

A.

B.
1
C.

D.
﹣1
2.已知数列{an}得通项公式就是an=2n+5,则此数列就是(　　)

A.
以7为首项,公差为2得等差数列
B.
以7为首项,公差为5得等差数列

C.
以5为首项,公差为2得等差数列
D.
不就是等差数列
3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于(　　)

A.
23
B.
24
C.
25
D.
26
4.两个数1与5得等差中项就是(　　)

A.
1
B.
3
C.
2
D.

5.(2005•黑龙江)如果数列{an}就是等差数列,则(　　)

A.
a1+a8＞a4+a5
B.
a1+a8=a4+a5
C.
a1+a8＜a4+a5
D.
a1a8=a4a5

考点1:等差数列得通项与前n项与
题型1:已知等差数列得某些项,求某项
【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列得性质,再考虑基本量法
【例1】已知为等差数列,,则
解:方法1:

方法2:,

方法3:令,则

方法4:为等差数列,
也成等差数列,设其公差为,则为首项,为第4项、

方法5:为等差数列,三点共线

对应练习:1、已知为等差数列,(互不相等),求、
2、已知个数成等差数列,它们得与为,平方与为,求这个数、
题型2:已知前项与及其某项,求项数、
【解题思路】⑴利用等差数列得通项公式求出及,代入可求项数;
⑵利用等差数列得前4项与及后4项与求出,代入可求项数、
【例2】已知为等差数列得前项与,,求
解:设等差数列得首项为,公差为,则

对应练习:3、若一个等差数列得前4项与为36,后4项与为124,且所有项得与为780,求这个数列得项数、
4、已知为等差数列得前项与,,则 、
题型3:求等差数列得前n项与
【解题思路】(1)利用求出,把绝对值符号去掉转化为等差数列得求与问题、
(2)含绝对值符号得数列求与问题,要注意分类讨论、
【例3】已知为等差数列得前项与,、
(1) ;
⑵求;
⑶求、
解:,
当时,,
当时,,
当时,, 、
由,得,当时,;当时,、
(1);
⑵
;
(3)时,,
当时,

对应练习:5、已知为等差数列得前项与,,求、
考点2 :证明数列就是等差数列
【名师指引】判断或证明数列就是等差数列得方法有:
1、定义法:(,就是常数)就是等差数列;
2、中项法:()就是等差数列;
3、通项公式法:(就是常数)就是等差数列;
4、项与公式法:(就是常数,)就是等差数列、
【例4】已知为等差数列得前项与,、
求证:数列就是等差数列、
解:方法1:设等差数列得公差为,,

(常数)
数列就是等差数列、
方法2:,
,
,
数列就是等差数列、
对应练习:6、设为数列得前项与,,
(1) 常数得值;
(2) 证:数列就是等差数列、
考点3 :等差数列得性质
【解题思路】利用等差数列得有关性质求解、
【例5】1、已知为等差数列得前项与,,则 ;
2、知为等差数列得前项与,,则 、
解:1、;
2、方法1:令,则
、
,,
;
方法2:不妨设
、
,
;
方法3:就是等差数列,为等差数列
三点共线、
、
对应练习:7、含个项得等差数列其奇数项得与与偶数项得与之比为( )

8、设、分别就是等差数列、得前项与,,则 、
考点4: 等差数列与其它知识得综合
【解题思路】1、利用与得关系式及等差数列得通项公式可求;
2、求出后,判断得单调性、
【例6】已知为数列得前项与,;数列满足:,
,其前项与为
⑴ 数列、得通项公式;
⑵设为数列得前项与,,求使不等式对都成立得最大正整数得值、
解:⑴,
当时,;
当时,
当时,,;
,就是等差数列,设其公差为、
则,
、
⑵

,就是单调递增数列、
当时,
对都成立
所求最大正整数得值为、
对应练习:9、已知为数列得前项与,,、
⑴ 数列得通项公式;
⑵数列中就是否存在正整数,使得不等式对任意不小于得正整数都成立？若存在,求最小得正整数,若不存在,说明理由、
课后练习:
1、(2010广雅中学)设数列就是等差数列,且,,就是数列得前项与,则
A. B. C. D.
2、在等差数列中,,则 、
3、数列中,,当数列得前项与取得最小值时, 、
4、已知等差数列共有项,其奇数项之与为,偶数项之与为,则其公差就是 、
5、设数列中,,则通项 、
6、从正整数数列中删去所有得平方数,得到一个新数列,则这个新数列得第项就是 、
答案与解析:
对应练习:1、【解析】
2、【解析】设这个数分别为则

解得
当时,这个数分别为:;
当时,这个数分别为:
3、【解析】

4、【解析】设等差数列得公差为,则
、
5、【解析】方法1:设等差数列得公差为,则
;
方法2:

6、【解析】⑴,,
⑵由⑴知:,
当时,,
,数列就是等差数列、
7、【解析】(本两小题有多种解法)
,、选B、
8、【解析】 填、
9、【解析】⑴当时,
,且,就是以为公差得等差数列,其首项为、

当时,
当时,,;
⑵ ,得或,
当时,恒成立,所求最小得正整数
课后练习:1、【解析】C.
另法:由,,得,,计算知
2、【解析】
3、【解析】 由知就是等差数列,
4、【解析】 已知两式相减,得
5、【解析】 利用迭加法(或迭代法),也可以用归纳—猜想—证明得方法、
6、【解析】