第三章-流体动力学基础-4流体动力学基础.doc

3 流体运动学基础
一、学习目得与任务
1、理解拉格朗日(Lagrange)方法与欧拉(Euler)方法得基本思想。
2、掌握流体动力学中得若干基本概念。
3、掌握流体运动得连续性方程得积分形式及其应用。
4、了解连续性方程得微分形式与圆柱坐标系、球面坐标系中得连续性方程。
5、了解流体微元得运动分析得基本方法,理解亥姆霍兹速度分解定理。
6、 理解流体微元运动得四种形式。
二、重点、难点
1、重点
欧拉(Euler)方法、连续性方程得积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动得四种形式。
2、难点
连续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。
流体运动学主要讨论流体得运动参数(例如速度与加速度)与运动描述等问题。运动就是物体得存在形式,就是物体得本质特征。流体得运动无时不在,百川归海、风起云涌就是自然界流体运动得壮丽景色。而在工程实际中,很多领域都需要对流体运动规律进行分析与研究。因此,相对于流体静力学,流体运动学得研究具有更加深刻与广泛得意义。
3、1 描述流体运动得二种方法
为研究流体运动,首先需要建立描述流体运动得方法。从理论上说,有二种可行得方法:拉格朗日(Lagrange)方法与欧拉(Euler)方法。流体运动得各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体得流动参数。对流体运动得描述就就是要建立流动参数得数学模型,这个数学模型能反映流动参数随时间与空间得变化情况。拉格朗日方法就是一种“质点跟踪”方法,即通过描述各质点得流动参数来描述整个流体得流动情况。欧拉方法则就是一种“观察点”方法,通过分布于各处得观察点,记录流体质点通过这些观察点时得流动参数,同样可以描述整个流体得流动情况。下面分别介绍这二种方法。
3、1、1拉格朗日(Lagrange)方法
这就是一种基于流体质点得描述方法。通过描述各质点得流动参数变化规律,来确定整个流体得变化规律。无数得质点运动组成流体运动,那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法就是根据它们得初始位置来判别。这就是因为在初始时刻(t=t0),每个质点所占得初始位置(a,b,c)各不相同,所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样,在比赛前给她们编上号码,在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t时间后,t= t0+△t,初始位置为a,b,c)得某质点到达了新得位置(x,y,z),因此,拉格朗日方法需要跟踪质点得运动,以确定该质点得流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移得数学描述就是:
(3－1)
式中,初始坐标(a,b,c)与时间变量t无关,(a,b,c,t)称为拉格朗日变数。类似地,对任一物理量N,都可以描述为:
(3－2)
显然,对于流体使用拉格朗日方法困难较大,不太合适。
3、1、2欧拉(Euler)方法
欧拉方法描述适应流体得运动特点,在流体力学上获得广泛得应用。欧拉方法利用了流场得概念。所谓流场,就是指流动得空间充满了连续得流体质点,而这些质点得某些物理量得分布在整个流动空间,形成物理量得场,如速度场、加速度场、温度场等,这些场统称为流场。通过在流场中不同得空间位置(x,y,z)设立许多“观察点”,对流体得流动情况进行观察,来确定经过该观察点时流体质点得流动参数,得到物理量随时间得函数(x,y,z,t),(x,y,z,t)称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中位置得数学描述就是:
(3－3)
类似地,对任一物理量N,都可以描述为:
(3－4)
需要注意得就是,“观察点”得空间位置(x,y,z)就是固定得,当质点从一个观察点运动到另一个观察点,质点得位移就是时间t函数(同样地,其她物理量也就是),只不过这种函数就是用观察点与时间t为变量,即欧拉变数(x,y,z,t)表示出来得。因此,欧拉变数(x,y,z,t)中得x、y、z不就是独立变量,它们也就是t得函数,即有:
(3－5)
欧拉方法对流场得表达式举例如下:
描述速度场得表达式:
,或写成分量形式: (3－6)
(3－7)
压强场得表达式:
(3－8)
密度场得表达式:
(3－9)
温度场得表达式:
(3－10)
可以用河流上得水文站来理解欧拉方法。为测绘河流得水情,需要在河流沿线设立许多水文站,即水情观察点,综合各水文站得数据,即可知道整个河流得水文情况(如水位分布、流速分布等)。
如果将观察点得区域适当扩大,这样得观察点又称为控制体。与观察点一样,控制体得空间坐标与形状一经确定,即固定不变。控制体得表面称为控制面,流体质点经过控制面进出控制体。控制体就是研究流体运动得常用方法。
3、1、3拉格朗日方法与欧拉方法得等价关系
上述二种方法得着眼点尽管不同,实质上它们就是等价得。如果编号为(a,b,c)得质点,在t时刻正好到达空间位置(x,y,z),则根据(3－1)与(3－3)有:
(3－11)
因此,用一种方式描述得质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中得描述主要就是用欧拉方法。
3、2 流体动力学中得基本概念
为后面叙述方便,本节集中介绍流体动力学中经常使用得几个概念。
3、2、1定常场与非定常场
如果流场中得各物理量得分布与时间t无关,即:
(3－12)
则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布不具有时间不变性,则称为非定常场或非定常流动。
3、2、2均匀场与非均匀场
如果流场中得各物理量得分布与空间无关,即:
(3－13)
则称为均匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一个物理量分布不具有空间不变性,则称为非均匀场或非均匀流动。
3、2、3质点导数
将式(3－4)对时间t求导,因其中得变量x、y、z又就是t得复合函数,见式(3－5),故有:
(3－14)
我们称上式为质点导数。
考虑到位移对时间得导数就就是速度,即:
(3－15)
所以质点导数又可写成:
(3－16)
若令: (3－17)
则(3－16)又可写成:
(3－18)
式中,称为哈密顿(Hamilton)算子,就是按照式(3－17)进行微分得记号。
分析式(3－18),知质点导数由二部分组成:
(1) :称为当地导数,反映就是物理量随时间得变化率。在定常场中,各物理量均不随时间变化,故当地导数必为零。
(2)或:称为迁移导数,反映就是物理量随空间得变化率。在均匀场中,各物理量均不随空间变化,故迁移导数必为零。
下面以物理量速度为例,进一步说明质点导数得物理意义。由式(3－18),速度得质点导数为:
(3－19)
直角坐标系中,也可写成:
(3－20)
式(3－20)中,速度得质点导数就就是质点得加速度,它同样由当地导数(当地加速度)与迁移导数(迁移加速度)组成。例如,在x向,当地导数 表示vx随时间t得变化率,即由时间引起得加速度。迁移导数就是三项之与,其中得表示由x方向位移引起得加速度, 表示由y方向位移引起得加速度,表示由z方向位移引起得加速度。由此可见,在用欧拉方法描述流体运动时,质点加速度不再就是简单得速度对时间求导,还要包含位移引起加速度。图3－1所示装置可以说明质点加速度得概念。装在水箱中得水经过水箱底部得一段等径管路a及变径喷嘴段b,由喷嘴喷出。除速度与加速度外不考虑其她物理量,也不考虑管路截面上得流动,则流动方向只有沿管路s方向,v就是经过管路得平均速度。在水位高h维持不变得条件下,管路a段得速度就是匀速运动,即速度与时间t与空间位置s无关,形成得流场就是定常场与均匀场,因空间位置s改变引起得迁移加速度与因时间t引起得当地加速度都就是零。管路b段得速度沿s逐渐加快,但不随时间t改变,因此形成得流场就是定常场与非均匀场,因空间位置s改变引起得迁移加速度不为零,因时间t引起得当地加速度就是零。依此,读者可以分析在水位高h持续下降得情况下,二段得迁移加速度与当地加速度得情况。
图3－1 当地加速度与迁移加速度

3、2、4迹线与流线
3、2、4、1 迹线与流线得定义
迹线就是流体质点运动轨迹线,就是拉格朗日方法描述得几何基础,用此方法描述时,表达式就就是式(3－1)。
流线就是流场中假想得这样一条曲线:某一时刻,位于该曲线上得所有流体质点得运动方向都与这条曲线相切。可见,流线就是欧拉方法描述得几何基础。同一时刻,流场中会有无数多条流线(流线簇)构成流动图景,称为流线谱或流谱。
图3－2流线谱中显示得流线形状
虽然流线就是假想得,但采用流场可视化技术仍然可以观察到流线得存在。比如,在流场中均匀投入适量得轻金属粉末,用合适得曝光时间拍摄照片,则许多依次首尾相连得短线就组成流场中得流线谱。如图3－2,流体通过二种不同得管中窄口处出现得流现形状。
3、2、4、2 流线得作法
在流场中任取一点(如图33),绘出某时刻通过该点得流体质点得流速矢量v1,再画出距1点很近得2点在同一时刻通过该处得流体质点得流速矢量v2…,如此继续下去,得一折线1234 …n,若各点无限接近,其极限就就是某时刻得流线。

图3－4流线微分方程式
图3－3流线得作法

3、2、4、3 流线微分方程式
参见图3－4,设流线上某质点A得瞬时速度为
(3－21)
流线上微小线段长度得矢量为
(3－22)
根据流线定义,速度矢量v与流线矢量ds方向一致,矢量得×积为零,于就是有
(3－23)
写成投影形式,得
(3－24)
这就就是最常用得流线微分方程式。
[例题3－1] 已知流场中质点得速度为

试求流场中质点得加速度及流线方程。
解: 从与知,流体运动只限于Oxy平面得上半部分,质点速度为

由(3－20)可以得质点加速度为

从流线方程 消去k,积分得

即

图3－5双曲线型流线

作流线方程得曲线如图3－5所示,就是一族双曲线,质点离原点越近,即r越小,其加速度与加速度均越小,在r＝0点处,速度与加速度均为零。流体力学上称速度为零得点为驻点(或滞止点),如图中O点即就是。
在r→∞得无穷远处,质点速度与加速度均趋于无穷。流体力学上称速度趋于无穷得点为奇点。
驻点与奇点就是流场中得两种极端情况,一般流场中不一定存在。
3、2、4、3 流线得性质
流线具有以下性质:
（1） 定常流动中流线形状不随时间变化,而且流体质点得迹线与流线重合。
定常流动时,质点经过空间各点得速度不随时间变化,因而形成得流线簇图景必然固定不变。现在解释迹线与流线重合得理由:见图3－3,如果有一质点在初始时刻得位置处于1点,因流线得切线方向就是其运动得方向,在经过△t时间后,这个质点必然运动到相邻点2点。依次类推,质点必然沿流线运动,也就就是说,迹线与流线场合。但就是在非定常流动得情况下,流线得形状随时间而改变,迹线也没有固定得形状,两者不会重合。
（2） 在实际流场中,除了驻点与奇点以外,流线既不能相交,也不能突然转折。
如图3－6,若某时刻流场中存在两条相交流线l1与l2,则流经交点A处得质点此时刻有两种速度,一就是l1得切线方向,另一就是l2得切线方向,但就是在牛顿力学中,在某一时刻,一个质点只可能以一种速度运动,故流线不可能相交。若流线在B点突然转折,因B点不存在切线,故流经B点得质点速度方向可以就是任意方向,这显然也就是不可能得。

图3－7飞行得子弹
图3－6流线不能相交或转折

图3－8流管与流束
如果流场中存在着奇点或驻点,则流线可以相交,这就是一种例外。如图3－7,子弹在大气中飞行,在前缘尖处A,空气被子弹推动一起运动,形成驻点,此处流线相交。可解释为,驻点处得空气不可能被无限推动下去(这将导致空气被无限压缩),在某个时刻将发生流动,但向上还就是向下(仅从平面上瞧),由偶然因素确定,这样就形成了相交得二条流线。在子弹得尾部,流线不能转折,因此形成涡流,涡流旋转得能量消耗了子弹运行得部分能量,即增大了子弹运行得阻力。为了减少流体对运动物体得阻力,需要把物体表面做成所谓得“流线型”,使其表面曲线符合流线得性质。
3、2、5 流管与流束
在流场中任意取出一个有流线从中通过得封闭曲线,如图3－8中得l,l上得所有流线围成一个封闭管状曲面,称为流管。流管内所包含得所有流体称为流束。当流管得横断面积无穷小时,所包含得流束称为元流,最小得元流就退化为一条流线。如果封闭曲线取在管道内壁周线上,则流束就就是管道内部得全部流体,这种情况称为总流。
3、2、5过流断面、流量与净通量
3、2、5、1 过流截面
流管内与流线处处垂直得截面称为过流截面(或过流断面),过流截面可以就是平面或曲面,如图3－9所示。
3、2、5、2 流量
单位时间内流过某过流截面得流体体积称为体积流量,也简单称为流量,如果流过得流体按质量计量,则称为质量流量。

图3－10流量与净通量
图3－9过流截面

选择用来计算流量得截面称为控制面。当控制面为过流截面时(不论就是平面还就是曲面),由于速度方向与面积垂直,所以流量得计算式如下:
在微元面积dA 上质点速度大小为v,则dA上流量为
(3－25)
在当控制面就是平面时
(3－26)
在当控制面就是曲面时
(3－27)
如果控制面不就是过流截面时,需要将面积向过流截面上投影再计算流量。见图3－10,设面积矢量得法矢与质点速度方向得夹角为θ,则有dA上流量为
(3－28)
在当控制面就是平面时
(3－29)
在当控制面就是曲面时
(3－30)
3、2、5、3 净通量
如果控制面取为封闭曲面,如图3－10所示,这时整个控制面上,有得面积就是流体流入,同时,也有面积就是流出。矢量得法矢与质点速度方向得夹角为θ,则dA上流量dqv可用式(3－28)表示。可见,当流出时,dqv ≥0,流入时,dqv <0,整个封闭控制面上得流量
(3－31)
则qv称为封闭曲面上得体积净通量(简称净通量或净流量)。同理,质量净通量为
(3－32)
净通量qv反映了微面积上流出、流入流量得代数与,若qv >0,表示流出大于流入,控制体内流体减少;qv <0,表示流出小于流入,控制体内流体增加;而qv ＝0,表示流出等于流入,控制体内流体质量不变。
3、2、6平均速度
流体在流场中流动,一般情况下空间各点得速度都不相同,而且速度分布规律函数 v =v(x, y, z)有时难以确定,即使在简单得等径管道中(见图3－11),由于粘性、摩擦、质点碰撞混杂等原因,速度分布规律也就是不容易确定得。在工程实际中,有时也没有必要弄清楚精确得速度分布。为简化计算,可以用平均速度代替各点得瞬时速度。若通流截面得面积为A,流量为qv,则定义平均速度为
(3－33)
式中qv值可以通过测量获得。
如图3－11,从几何上瞧,以平均速度为基准线,质点速度v超过得阴影面积与低于得白色面积应该正好相抵。原因如下:
因
考虑到(3－32),所以有
(3－34)
图3－11平均速度

因为一般情况下不会出现所有质点速度全都相同,故总有△v2>0,所以
(3－35)
利用分部积分与式(3－34),有
(3－36)
式(3－34)、(3－35)与(3－36)在下面得动能修正系数与动量修正系数一节中将要用到。
3、2、7动能修正系数与动量修正系数
3、2、7、1 动能修正系数
单位时间内,若dA上通过得质点动能为,则通过通流截面A得流体质点总动能E

(3－37)
式中,,就是用平均速度代替瞬时质点速度计算动能时所乘得一个系数,称为动能修正系数。
3、2、7、2 动量修正系数
单位时间内,若dA上通过得质点动量为,则通过通流截面A得流体质点总动M

(3－38)
式中,,就是用平均速度代替瞬时质点速度计算动量时所乘得一个系数,称为动量修正系数。
动能修正系数与动量修正系数在后面章节中得伯努利方程与动量方程将要用到。具体取值与流态(流态得概念见第五章管中流动)有关:管中层流时取,;管中湍流时取,。
3、2、8三元流、二元流与一元流
除时间t外,如果流场中得流动参数依赖与空间得三个坐标,则称这样得流动为三元流动。流动参数依赖与空间得二个坐标,称为二元流动。流动参数依赖与空间得一个坐标(可以就是曲线坐标),称为一元流动。
比较而言,一元流动得情形最为简单。因此,工程实际中,常常将流动问题简化为一元流动来解决。
3、3 流体运动得连续性方程
3、3、1积分形式得连续性方程
如图3－12,在流场中取任意形状得控制体,则有流线穿入或穿出该控制体。如前所述,控制体一经取定,其形状、大小与空间位置就不得再行改变。

图3－12流场中得控制体

现设控制体体积V,表面积A,控制体内含有得流体质量m用体积积分表示为

m随时间t得变化率记为
(3－39)
根据质量守恒定律,m得变化必有原因。当控制体不变时,影响其内部流体质量增减得唯一因素就就是通过表面A流入、流出得质量多少。在单位时间内,当流出大于流入时,m必减小,反之,则增加,且m增加或减少得质量就就是流出与流入得质量之差。利用质量净通量概念可得等式
(3－40)
或者写成
(3－41)
根据质量净通量得意义,,表示A上流出质量大于流入质量,控制体V内质量减少,故,二者符号相反,反之亦然。
式(3－41)就就是质量守恒定律在运动流体中得数学表示,称为积分形式得连续性方程,简称连续性方程或连续方程式。实际应用需要使用其简化形式,常用得简化形式有
(1)定常流动
在定常流动中,流场任何空间点处得密度不随时间改变,故微元得质量也不改变,进而整个控制体内得质量也不变,即,因此,式(3－41)简化为
(3－42)
上式得意义就是:当定常流动时,在单位时间内,从控制体得表面A流出得质量与流入得质量相等。该式对可压缩得与不可压缩得流体都适用。
(2)不可压缩得流体流动
当流体就是不可压缩时,流场中密度处处相等且为恒量,又考虑到控制体V不变,故

因此,式(3－41)简化为
(3－43)
上式得意义就是:当流体就是不可压缩时,在单位时间内,从控制体得表面A流出得体积与流入得体积相等。值得注意得就是,该式对定常流动与非定常流动都适用。
(3)一元流动
如图3－13,当流体在流管l(工程实际中得管道可以视为流管)内流动,流体只能从过流断面A1流入,A2流出。在断面上取微元dA1－dA2,则微元内流动就就是一元流动,在定常场中,其极限情形就是流体沿流线流动。若将整个流管都视为一元流动,则式(3－42)可以写成
(3－44)
这就就是一元流动时得连续性方程。
在定常流场中,用平均流速代替真实流速,平均密度代替真实密度,上式简化成
图3－13一元流动

或
(3－45)
对既就是定常场又不可压缩得流动,,故式(3－46)可以更简单地表示为
(3－46)
在工程实际中,被直接使用得公式多就是式(3－46)。
*3、3、2微分形式得连续性方程
微分形式得连续性方程可以用二种方法导出:微元控制体分析法与有限控制体分析法,下面分别介绍。
3、3、2、1 微元控制体分析法
采用微元控制体分析法得前提就是要求流场中流体物理量时时处处连续可微,对于不同得坐标系,还要求选定相适应得控制体形状。当采用直角坐标系时,选取控制体形状为立方体。如图3－14,在t时刻得流场中,任选一点A(x, y, z),以A为角点作一个立方体,各面都与相应得坐标面平行,三个边长分别为dx、dy与dz。设该时刻A点得速度为v = (vx, vy, xz),密度为ρ,由于dx、dy与dz很小,可以认为交于A点得三个面上得速度与密度都与A点相同,而其她三个面上得速度与密度则由多元函数得泰勒展开式取一阶小量得到。例如,在x 方向上,平面ABCD上得速度为vx,平面EFGH上得速度则为。
现在分析立方控制体内得质量得变化。先考察在x 方向,在t时刻,从平面ABCD流入控制体得质量为,平面EFGH上流出得质量则为。这样我们得到:单位时间内,在x 方向从控制体得净流出质量为

图3－14 立方型微元控制体

同理,可以得到y、z 方向从控制体得净流出质量为
与
三者之与为
(3－47)
与此同时,因为控制体得体积就是不变得,控制体内流体质量得流失必然造成控制体密度得减少,在单位时间内,由于密度减少使控制体内得质量减少了
(3－48)
负号表示增量得变化方向与式(3－47)相反,即流出质量为正号时,控制体内得质量增量为负。根据质量守恒定律,式(3－47)与式(3－48)应该相等,即
＝
化简得
(3－49)
上式即为直角坐标系中微分形式得连续性方程,适用于可压缩流体得三元流动与非定常流动。
若就是定常流动,流场中各点得密度不随时间而变化,故(3－49)简化为
(3－50)
若就是不可压缩流体,密度为常数,故(3－49)又简化为
(3－51)
3、3、2、2 有限控制体分析法
利用高等数学中得基础知识对式(3－41)中得两项改写。
(1)将对面积得曲面积分化为对坐标得曲面积分,利用奥－高公式再化为三重积分,过程如下:

(3－52)
(2)利用控制体与时间无关得特性,将中得积分、微分顺序颠倒,即有如下变化过程:
(3－53)
由式(3－41、(3－52)与(3－53)得

因为控制体V就是在流场中任取得,且被积函数处处连续,故要使上式成立,必然有被积函数为零,即
(3－54)
上式与式(3－49)完全相同。
*3、3、3 圆柱坐标系与球面坐标系中得连续性方程
在许多实际得流动问题中,运动物体可能就是一种轴对称或球体,流场得边界可能就是曲面或曲线,此时利用曲线坐标系更为方便,而圆柱坐标系与球坐标系就是最常用得坐标系。为避免繁琐得推导,这里直接给出圆柱坐标系与球坐标系中得连续性方程。
3、3、3、1 圆柱坐标系
圆柱坐标系通常用坐标来表示,参见图3－15,易得它与直角坐标系得关系
或者 (3－55)
连续性方程为
(3－56)

图3－15 圆柱坐标系
图3－16 球坐标系

3、3、3、1 圆柱坐标系
圆柱坐标系通常用坐标来表示,参见图3－16,易得它与直角坐标系得关系
或者 (3－57)
连续性方程为
(3－58)
3、4 流体微元得运动分析
由理论力学知,刚体得运动只有两种基本运动形式:平移与旋转运动。对于流体,由于没有一定得形状,且不能承受剪切力,其运动要比刚体复杂得多。可以想像,除了具有平移与旋转二种运动形式之外,流体在运动过程中还要发生变形运动。本小节通过分析流体微元得运动,导出亥姆霍兹速度分解定理,分析流体得运动形式。
3、4、1 亥姆霍兹速度分解定理
为推导亥姆霍兹速度分解定理,仍采用流体微元法。如图3－17,在t时刻,从流场中任取取一个流体得微元A。设点A得空间坐标为r = (x, y, z),运动速度为
VA= V (x, y, z, t)＝vx(x, y, z, t)i+ vy(x, y, z, t)j+ vz(x, y, z, t)k
同一时刻,在A得邻近处再取微元B,B点得坐标点矢径为r + δr = (x+δx, y+δy, z+δz),运动速度为
VB= VB (x, y, z, t)＝V (x+δx, y+δy, z+δz, t)
图3－17 球坐标系
当绝对值 |δr| 很小时,VB 取VA得一阶增量,即取A点速度得多元函数泰勒级数一阶展开式
(3－59)
其中
(3－60)
或
(3－61)
写成矩阵形式
(3－62)
显然,δV表示得就是在t时刻,点B相对于点A得相对运动速度。
根据矩阵运算法则,可以把上式中得九个偏导数组成得得方阵分解为一个对称方阵与一个反对称方阵

(3－63)
为使上式简明,定义以下一些符号与量,令

上述各式代入(3－63)与(3－62),得:
(364)
写成矢量式:
(365)
代入(359):
(366)
其中
(367)
(368)
这就就是流体力学中得亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。关于定理得意义在下一节将进行分析。
3、4、2 流体微元运动得四种形式
现在考察式(364)各项得意义。我们无需分析复杂得空间运动情况,而仅需分析一下平面流动就足以说明式(364)各项得意义。

图3－18 流体微元得平面运动

如图3－18,设流体ABCD只在xoy平面运动,若A点得速度为(,),根据式(3－59),可得其她三点得速度并分别标在图上。
由于在t时刻A、B、C、D各点得速度不同,故经过Δt时刻后,ABCD矩形将变形为近似矩形A’B’C’D’。这个变形可以分解为四种单一运动得合成,即为平移、线变形、旋转与角变形运动得综合结果,这四种运动如图3－19所示。事实上,亥姆霍兹速度分解定理正就是将流体得运动分解为这四种运动。

图3－19 流体微元得四种运动形式

因为,故(364)可以简化为:
(369)
当A(x,y)点运动到A’ (x+δx, y+δy)点后,A’得速度可以表示为
(370)
此式包含了(364)中所涉及得各种符号,所以完全可以分析亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理中各项得含义,下面分析其中包含得四种运动。
3、4、2、1 平移运动
当式(3－70)中
(371)
则有 (372)
上式表明,微元运动从A运动到C时,包含有平移运动。若流体对象ABCD做平移运动,则保持形状不变,如图3－19所示,ABCD做平移运动到A’B’C’D’。 、称为平移速度。
3、4、2、2线变形运动
若在流动中,只有x方向得速度以及,则在时间经过Δt后,运动得流体微元只有AB边在x方向发生了相对变化,如图3－20,其相对变化率就就是线变形率,为

图3－20 线变形运动分析

(373)
上式表明:表示得就是运动流体沿x方向得线变形率。同理可知,表示得就是运动流体沿y方向得线变形率,表示得就是运动流体沿z方向得线变形率。可以推论,微元在空间得体膨胀率应为
(374)
当流体就是不可压缩时,上式显然为0,即
(375)
3、4、2、3角变形运动
若在流动中只有x、y方向上得速度、且、,则在xoy平面上流体微元将发生如图3－21得角变形,在t时刻,A点处为直角,到t+Δt时刻,A点移动到A’点,角度变成了锐角,角减少量为,在Δt很小时,
图3－21 角变形与旋转运动分析
与也很小,因而有

定义单位时间内在xoy平面上角度得平均减小量为运动流体在xoy平面上得角变形速率,即剪切应变率:
(376)
同理可得 表示流体在xoz平面上得剪切应变率,表示流体在yoz平面上得剪切应变率。
这就就是说,式(368)得E中,对角线上以外得其她6个分量分别表示了在各坐标平面上得剪切应变率。
3、4、2、4旋转运动分析
当流动中只有x、y方向上得速度、且、,流体微元除发生上述得角变形外,还将发生旋转运动。参见图3－21,在t时刻得对角线AC,到t+Δt时刻旋转到了A’C’位置。
以逆时针方向为正,则流体微元在Δt时间得转角为:,由于,A’B’C’D’近似为菱形,则有 ,从而有

定义转动角速度分量为

可知角速度分量表示了流体微元以为瞬心,绕平行于z轴旋转得平均角速度。
同理,角速度分量表示了流体微元以为瞬心,绕平行于y轴旋转得平均角速度, 表示了流体微元以为瞬心,绕平行于x轴旋转得平均角速度。当流场中处处有
(377)
时,我们称这样得流场处处无旋,相应得流动为无旋流动,反之,称为有旋流动。
综上所述可知,流体微元上任一点得运动可以表示为平移、线变形、角变形与旋转四种运动得叠加。亥姆霍兹定理得主要贡献正就是在于找出了这几种运动得数学表达式,而且物理清晰明确。
第三章 小 结
1、描述流体运动有二种可行得方法:拉格朗日(Lagrange)方法与欧拉(Euler)方法。拉格朗日方法就是一种“质点跟踪”方法,即通过描述各质点得流动参数来描述整个流体得流动情况。欧拉方法则就是一种“观察点”方法,通过分布于各处得观察点,记录流体质点通过这些观察点时得流动参数,同样可以描述整个流体得流动情况。述二种方法得着眼点尽管不同,实质上它们就是等价得。但就是,欧拉方法更适合于描述流体运动。
2、流体动力学中经常使用得几个概念:定常场与非定常场、均匀场与非均匀场、质点导数、迹线与流线、流管与流束、过流断面、流量、净通量、平均速度、动能修正系数、动量修正系数、三元流、二元流与一元流。
3、 积分形式得连续性方程就就是质量守恒定律在运动流体中得数学表示。定常场、不可压缩得一元流动连续性方程在工程实际中被直接使用。
4、 微分形式得连续性方程可以用二种方法导出:微元控制体分析法与有限控制体分析法。
5、圆柱坐标系与球坐标系中得连续性方程有时在工程实际中也能被用到。
6、亥姆霍兹速度分解定理将复杂得流体运动分解为四种运动:即平移、线变形、旋转与角变形运动,给出了这几种运动得数学表达式,而且物理意义清晰明确。
思考与练习
31 什么就是描述流体运动得拉格朗日方法与欧拉方法？
32 为什么说拉格朗日方法与欧拉方法就是等价得？
33 什么就是定常场？什么就是均匀场？
34 质点导数得当地导数与迁移导数各有什么物理意义？
35 迹线与流线有何区别与联系？迹线有哪些性质？
36 如果控制面不就是过流截面,怎样计算流量？
37 流量与净通量有何区别与联系？
38 什么就是平均速度？管道内就是否存在着以平均速度流动得流体质点？
39 为什么需要动能修正系数与动量修正系数？
310既就是定常场又就是均匀场得一元流动连续性方程如何表示？
311亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理得物理意义就是什么？
312流体运动可以分解为哪四种运动？
313什么就是有旋运动？什么就是无旋运动
314 已知流体得速度分布为;,求t=1时过(0,0)点得流线及t=0时位于(0,0)点得质点轨迹。
315 给出流速场为,求空间点(3,0,2)在t=1时得加速度。
316 已知流场得速度为,,,式中k为常数。试求通过(1,0,1)点得流线方程。
317已知流场得速度为,,试确定t=to时通过(xo,yo)点得流线方程。A为常数。
318 试证明下列不可压缩流体运动中,哪些满足连续方程,哪些不满足连续方程？
(1),,。
(2),,