【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷-答案.pdf

-1-/7 广东省广东省广州市广州市 2017 届届高三高三 12 月模月模拟考试理科数学拟考试理科数学试卷试卷 答答 案案 一、选择题（1）（5）BDABA （6）（10）CDCBB （11）（12）DA 二、填空题（13）6（14）40（15）3（16）2 三、解答题（17）解：（）因为1a，2cos2Ccb，由余弦定理得2221222bccbb,即221bcbc（2 分）所以22211cos222bcbcAbcbc（4 分）由于0A，所以3A（6 分）（）法 1：由12b 及221bcbc，得2211()122cc，（7 分）即24230cc，（8 分）解得1134c或1134c（舍去）（9 分）由正弦定理得sinsincaCA，（10 分）得113339sinsin6048C（12 分）法 2：由12b 及正弦定理得sinsinbaBA，（7 分）得13sinsin6024B（8 分）由于ba，则060BA，则213cos1 sin4BA（9 分）由于180ABC，则120CB（10 分）所以sinsin(120)CB sin120 coscos120 sinBB（11 分）313132424 -2-/7 zyxMDECBA3938（12 分）（18）解：（）15 0.4678 0.16EXab ，即673.2ab，（1 分）又由1X的概率分布列得0.40.1 1,0.5abab，（2 分）得0.3a，0.2b（4 分）（）由已知得，样本的频率分布表如下：（5 分）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X的概率分布列如下：（6 分）所以23 0.34 0.25 0.26 0.1 7 0.1 8 0.14.8EX （7 分）即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8（8 分）（）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为616，（9 分）因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.81.24，（10 分）据此，乙厂的产品更具可购买性（12 分）（19）解：（）因为ABC是等边三角形，M是AB的中点，所以CMAB（1 分）因为EA平面ABC，CM 平面ABC，所以CMEA（2 分）因为AMEAA，所以CM 平面EAM（3 分）因为EM 平面EAM，所以CMEM（4 分）（）法 1：以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系Mxyz 因为DB 平面ABC，2X 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 2X 3 4 5 6 7 8 p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 -3-/7 PNMDECBA所以DMB为直线DM与平面ABC所成角（5 分）由题意得tan2BDDMBMB，即2BDMB，（6 分）从而BDAC 不妨设2AC，又2ACAE，则3CM，1AE.（7 分）故(0,1,0)B，(3,0,0)C，(0,1,2)D，(0,1,1)E（8 分）于是(3,1,0)BC，(0,0,2)BD，(3,1,1)CE ，(3,1,2)CD ，设平面BCD与平面CDE的法向量分别为111(,)mx y z，222(,)nxy z 由00m BCm BD，得1113020 xyz，令11x，得13y，所以(1,3,0)m（9 分）由00n CEn CD，得22222230320 xyzxyz，令21x，得233y ，22 33z 所以3 2 3(1,)33n（10 分）所以cos,0|m nm nm n（11 分）所以二面角BCDE的余弦值为0（12 分）法 2：因为DB 平面ABC，所以DMB为直线DM与平面ABC所成角（5 分）由题意得tan2BDDMBMB，即2BDMB，（6 分）从而BDAC 不妨设2AC，又2ACAE，则3CM，1AE，2ABBCBD（7 分）由于EA平面ABC，DB 平面ABC，则EA BD 取BD的中点N，连接EN，则2ENAB 在RtEND中，225EDENND，在RtEAC中，225ECEAAC，在RtCBD中，222 2CDBCBD，-4-/7 取CD的中点P，连接EP，BP，BE，则EPCD，BPCD（8 分）所以EPB为二面角BCDE的平面角（9 分）在RtEPC中，223EPECCP，在RtCBD中，122BPCD，在RtEAB中，225EBEAAB，因为2225EPBPEB，（10 分）所以90EPB（11 分）所以二面角BCDE的余弦值为0（12 分）（20）解：（）设圆P的半径为R，圆心P的坐标为(,)x y，由于动圆P与圆221:(2)49Fxy相切，且与圆222:(2)1Fxy相内切，所以动圆P与圆1F只能内切（1 分）所以1271PFRPFR（2 分）则121264PFPFFF（3 分）所以圆心P的轨迹是以点1F，2F为焦点的椭圆，且3a，2c，则2225bac 所以曲线C的方程为22195xy（4 分）（）设11(,)M x y，22(,)N x y，33(,)Q x y，直线MN的方程为2xmy，由222195xmyxy 可得22(59)20250mymy，则1222059myym，1222559y ym（5 分）所以221212|(1)()4MNmyyy y（6 分）222220100(1)()5959mmmm 2230(1)59mm（7 分）因为MNOQ，所以QMN的面积等于OMN的面积（8 分）-5-/7 点O到直线:2MN xmy的距离221dm（9 分）所以QMN的面积222221130(1)2301|2259591mmSMNdmmm.（10 分）令21mt，则221(1)mtt，2230303045(1)9545ttStttt 设4()5(1)f tttt，则222454()5tf ttt 因为1t，所以2254()0tf tt 所以4()5f ttt在1,)上单调递增 所以当1t 时，()f t取得最小值，其值为9（11 分）所以QMN的面积的最大值为309（12 分）说明：QMN的面积22212121221301|()4259mSOFyyyyy ym（21）解：（）函数()f x的定义域为(0,)()lnmxnfxm xx（1 分）依题意得(e)ef，(e)2f，即eee2emnmnm（3 分）所以1m，0n（4 分）所以()lnf xx x，()ln1fxx 当1(0,)ex时，()0fx；当1(,)ex时，()0fx 所以函数()f x的单调递减区间是1(0,)e，单调递增区间是1(,)e.（6 分）（）当 a，bR时，()()()22f af babf()(b)()22f afabf等价于lnlnln222aabbabab，也等价于2ln(1)ln(1)ln20aaaabbbb（7 分）不妨设ab，设()ln(2)(1)ln(1)ln2g xxxxx（1,)x）-6-/7 则()ln(2)ln(1)g xxx（8 分）当1,)x时，()0g x，所以函数()g x在1,)上为增函数，即()ln2(1)ln(1)ln2(1)0g xxxxxg，（9 分）故当1,)x时，()ln2(1)ln(1)ln20g xxxxx（当且仅当1x 时取等号）令1axb，则()0agb，（10 分）即2ln(1)ln(1)ln20aaaabbbb（当且仅当ab时取等号），（11 分）综上所述，当 a，bR时，()()()22f af babf（当且仅当ab时取等号）（12 分）（22）解：（）由sin1cosxtyt 消去t得cossinsin0 xy，（1 分）所以直线l的普通方程为cossinsin0 xy（2 分）由2cos4sin，得2(cos)4 sin，（3 分）把cosx，siny代入上式，得24xy，所以曲线 C 的直角坐标方程为24xy（5 分）（）将直线 l 的参数方程代入24xy，得22sin4 cos40tt，（6 分）设 A，B 两点对应的参数分别为1t，2t，则122cossintt4，1 22sint t 4，（7 分）所以212121 2|()4ABttttt t242216cos16sinsinsin4（9 分）当2时，|AB的最小值为 4（10 分）（23）解：（）由|1|3ax，得31 3ax，即24ax（1 分）当0a时，24xaa（2 分）因为不等式()3f x 的解集是|12xx -7-/7 所以2142aa 解得2.a（3 分）当0a时，42xaa（4 分）因为不等式()3f x 的解集是|12xx 所以2241aa 无解（5 分）所以2a （）因为()()|21|21|(21)(21)|23333f xfxxxxx（7 分）所以要使()()|3f xfxk存在实数解，只需2|3k（8 分）解得23k或23k（9 分）所以实数k的取值范围是22(,)(,)33（10 分）