广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案).pdf

1 广州市第二学期期末考试试题高一数学本试卷共 4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1.与60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式240 xy表示的区域在直线240 xy的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角的终边经过点(3,4)P，则cos的值是A.45B.43C.35D.354.不等式23100 xx的解集是A|25xxB|5,2x xx或C|25xxD|5,2x xx或5.若3sin,5是第四象限角，则cos4的值是45B7 210210176.若,a bR，下列命题正确的是A若|ab，则22abB若|ab，则22abC若|ab，则22abD若ab，则0ab7.要得到函数3sin(2)5yx图象，只需把函数3sin 2yx图象A向左平移5个单位B向右平移5个单位2 C向左平移10个单位D向右平移10个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意点，则PAPBPCPD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM9.若3cos25，则44sincos的值是A.1725B4565D332510.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2 2C.2D.211.已知点,nn a在函数213yx的图象上，则数列na的前n项和nS的最小值为A36B36C6D612.若钝角ABC的内角,A B C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A1,2（）B2+（，）C3,)D(3,)第卷(非选择题共 90 分)二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分.把答案填在答题卡上.13.若向量(4,2),(8,),/xabab，则x的值为14.若关于x的方程20 xmxm没有实数根，则实数m的取值范围是15.设实数,x y满足,1,1.yxxyy则2zxy的最大值是16.设2()sin cos3cosf xxxx，则()f x的单调递减区间是三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10 分)已知等比数列na的前n项和为nS，公比为q(1)q，证明：1(1)1nnaqSq3 18（本小题满分12 分）已知平面向量a，b满足|1a，|2b（1）若a与b的夹角120，求|ab的值；（2）若()()kkabab，求实数k的值.19.（本小题满分12 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cossincaBbA（1）求A；（2）若2a，bc，求ABC的面积20（本小题满分12 分）已知数列na的前n项和为nS，且12a，12nnnaSn(1,2,3,)n（1）证明：数列nSn是等比数列；（2）设2112nnnnbS S，求数列nb的前n项和nT4 CDBA7545304521.(本小题满分12 分)某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距3km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得75ACB，45BCD，30ADC，45ADB（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的5倍，问施工单位应该准备多长的电线？22.(本小题满分12 分)已知,A B C为锐角ABC的内角，sin,sinsinABC（）a，(1,2)b，ab.（1）tan B，tantanBC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tantantanABC的最小值.5 高一数学 参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCDBCAACBB二、填空题13.414.(0,4)15.316.7+,1212kkkZ三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10 分)已知等比数列na的前n项和为nS，公比为q(1)q，证明：1(1)1nnaqSq证法 1：（错位相减法）因为11nnaa q，2 分所以1111nnSaaqa q4 分211111nnnqSa qa qa qa q6 分所以11(1)nnq Saa q8分当1q时，有1(1)1nnaqSq10 分证法 2：（叠加法）因为na是公比为q的等比数列，所以21aa q，32aa q，1,nnaa qL2 分所以112)1(aqaa，223)1(aqaa，nnnaqaa)1(1，6 分相加得nnSqaa)1(11.8 分6 所以当q1 时，111(1)11nnnaaaqSqq.10 分证法 3：（拆项法）当q1 时，11111111aa qqaaqqq，2 分211211111a qa qqaaqqqq，11111111nnnna qa qqaaqqqq，8 分以上n个式子相加得qqaqqaqaSnnn1)1(11111.10 分18（本小题满分12 分）已知平面向量a，b满足|1a，|2b（1）若a与b的夹角120，求|ab的值；（2）若()()kkabab，求实数k的值.题根：数学 42.4.1 例 1、例 2、例 4（综合变式）解：（1）1|cos1201 212a b=|ab，2 分22|()abab222aa bb3 分22|2|a|a bb|4 分又|1a，|2b，所以2|ab22|2|1243a|a bb|，5 分所以|3ab.6 分（2）因为()()kkabab，所以()()0kkabab，7 分7 即2220k ab9 分因为|1a，|2b，所以240k，11 分即2k.12 分19.（本小题满分12 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cossincaBbA（1）求A；（2）若2a，bc，求ABC的面积（根据 2013 课标卷理数17 改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题）解：（1）解法 1：由cossincaBbA及正弦定理可得sinsincossinsinCABBA.2 分在ABC中，CAB，所以sinsin()sincoscossinCABABAB.4 分由以上两式得sincosAA，即tan1A，5 分又(0,)A，所以4A6分解法 2：由cossincaBbA及余弦定理可得222sin2acbcabAac，2 分即2222sinbcabcA，3 分由余弦定理得2222cosbcabcA由以上两式得sincosAA，即tan1A，5 分又(0,)A，所以4A6分（2）ABC的面积12sin24SbcAbc，7分由2a，及余弦定理得222242cos2bcbcBbcbc，8 分因为bc，所以22422bb，8 即2442222b，10 分故ABC的面积2222144Sbcb12 分20（本小题满分12 分）已知数列na的前n项和为nS，且12a，12nnnaSn(1,2,3,)n（1）证明：数列nSn是等比数列；（2）设2112nnnnbS S，求数列nb的前n项和nT题根：数学 52.2 习题 B组第 4 题.（变式题）解：（1）因为，11nnnaSS，1 分又12nnnaSn，所以1(2)()nnnnSn SS，2 分即12(1)nnnSnS，所以12()1nnSSnnnN4 分故数列nSn是首项为2，公比为2的等比数列6 分（2）由（1）得2nnSn，即2nnSn8 分所以21211122111=2(1)2(1)1nnnnnnnbS Snnn nnn，10 分故数列nb的前n项和11111111223111nnTnnnn 12 分21.(本小题满分12 分)9 CDBA75453045某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距3km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得75ACB，45BCD，30ADC，45ADB（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的5倍，问施工单位应该准备多长的电线？题根：数学 51.2 例 2.（改编题）解：在ACD中，由已知得30CAD，又30ADC,所以3(km)ACCD2分在BCD中，由已知可得60CBD，由正弦定理得3sin753sin 45+3062sin 60sin 602BC（）.6 分在ABC中，由余弦定理得2222cosABACBCAC BCBCA2262623()2 3cos75522，9 分所以，5AB10 分故施工单位应该准备电线长为5 km.12 分22.(本小题满分12 分)已知,A B C为锐角ABC的内角，sin,sinsinABC（）a，(1,2)b，ab.10（1）tan B，tantanBC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tantantanABC的最小值.（据 2016 年江苏卷第14 题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题）解：（1）依题意有sin2sinsinABC.2 分在ABC中，ABC，所以sinsin+=sincoscossinAB CBCBC（），3 分所以2sinsin=sincoscossinBCBCBC.4 分因为ABC为锐角三角形，所以cos0,cos0BC，所以tantan2 tantanBCBC，5 分所以tan B，tantanBC，tanC成等差数列.6 分（2）法一：在 锐角ABC中，tantantantan()tan()1tantanBCABCBCBC，7 分即tantantantantantanABCABC，8 分由（1）知tantan2tantanBCBC，于是tantantantan2tantan2 2tantantanABCABCABC，10 分整理得tantantan8ABC，11 分当且仅当tan4A时取等号，故tantantanABC的最小值为8.12 分法二：由法一知tantantan1tantanBCABC，7 分由（1）知tantan2tantanBCBC，于是2tantan2(tantan)tantantantantan1tantan1tantanBCBCABCBCBCBC，8 分令tantan(1)BCx x，则222tantantan2(1)4811xABCxxx，11 分当且仅当2x，即tan4A时取等号，故tantantanABC的最小值为8.12 分 2016-2017学年第二学期期末质量监测试题高一数学本试卷共 4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。11 第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1.与60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式240 xy表示的区域在直线240 xy的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角的终边经过点(3,4)P，则cos的值是A.45B.43C.35D.354.不等式23100 xx的解集是A|25xxB|5,2x xx或C|25xxD|5,2x xx或5.若3sin,5是第四象限角，则cos4的值是45B7 210210176.若,a bR，下列命题正确的是A若|ab，则22abB若|ab，则22abC若|ab，则22abD若ab，则0ab7.要得到函数3sin(2)5yx图象，只需把函数3sin 2yx图象A向左平移5个单位B向右平移5个单位C向左平移10个单位D向右平移10个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意点，则PAPBPCPD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM12 9.若3cos25，则44sincos的值是A.1725B4565D332510.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2 2C.2D.211.已知点,nn a在函数213yx的图象上，则数列na的前n项和nS的最小值为A36B36C6D612.若钝角ABC的内角,A B C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A1,2（）B2+（，）C3,)D(3,)第卷(非选择题共 90 分)二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分.把答案填在答题卡上.13.若向量(4,2),(8,),/xabab，则x的值为14.若关于x的方程20 xmxm没有实数根，则实数m的取值范围是15.设实数,x y满足,1,1.yxxyy则2zxy的最大值是16.设2()sin cos3cosf xxxx，则()f x的单调递减区间是三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10 分)已知等比数列na的前n项和为nS，公比为q(1)q，证明：1(1)1nnaqSq18（本小题满分12 分）已知平面向量a，b满足|1a，|2b（1）若a与b的夹角120，求|ab的值；（2）若()()kkabab，求实数k的值.13 CDBA7545304519.（本小题满分12 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cossincaBbA（1）求A；（2）若2a，bc，求ABC的面积20（本小题满分12 分）已知数列na的前n项和为nS，且12a，12nnnaSn(1,2,3,)n（1）证明：数列nSn是等比数列；（2）设2112nnnnbS S，求数列nb的前n项和nT21.(本小题满分12 分)某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距3km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得75ACB，45BCD，30ADC，45ADB（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的5倍，问施工单位应该准备多长的电线？22.(本小题满分12 分)已知,A B C为锐角ABC的内角，sin,sinsinABC（）a，(1,2)b，ab.14（1）tan B，tantanBC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tantantanABC的最小值.2016-2017学年第二学期期末质量监测高一数学 参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCDBCAACBB二、填空题13.414.(0,4)15.316.7+,1212kkkZ三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10 分)已知等比数列na的前n项和为nS，公比为q(1)q，证明：1(1)1nnaqSq证法 1：（错位相减法）因为11nnaa q，2 分所以1111nnSaaqa q4 分211111nnnqSa qa qa qa q6 分所以11(1)nnq Saa q8分当1q时，有1(1)1nnaqSq10 分15 证法 2：（叠加法）因为na是公比为q的等比数列，所以21aa q，32aa q，1,nnaa qL2 分所以112)1(aqaa，223)1(aqaa，nnnaqaa)1(1，6 分相加得nnSqaa)1(11.8 分所以当q1 时，111(1)11nnnaaaqSqq.10 分证法 3：（拆项法）当q1 时，11111111aa qqaaqqq，2 分211211111a qa qqaaqqqq，11111111nnnna qa qqaaqqqq，8 分以上n个式子相加得qqaqqaqaSnnn1)1(11111.10 分18（本小题满分12 分）已知平面向量a，b满足|1a，|2b（1）若a与b的夹角120，求|ab的值；（2）若()()kkabab，求实数k的值.题根：数学 42.4.1 例 1、例 2、例 4（综合变式）解：（1）1|cos1201 212a b=|ab，2 分22|()abab222aa bb3 分22|2|a|a bb|4 分16 又|1a，|2b，所以2|ab22|2|1243a|a bb|，5 分所以|3ab.6 分（2）因为()()kkabab，所以()()0kkabab，7 分即2220k ab9 分因为|1a，|2b，所以240k，11 分即2k.12 分19.（本小题满分12 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cossincaBbA（1）求A；（2）若2a，bc，求ABC的面积（根据 2013 课标卷理数17 改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题）解：（1）解法 1：由cossincaBbA及正弦定理可得sinsincossinsinCABBA.2 分在ABC中，CAB，所以sinsin()sincoscossinCABABAB.4 分由以上两式得sincosAA，即tan1A，5 分又(0,)A，所以4A6分解法 2：由cossincaBbA及余弦定理可得222sin2acbcabAac，2 分即2222sinbcabcA，3 分由余弦定理得2222cosbcabcA由以上两式得sincosAA，即tan1A，5 分17 又(0,)A，所以4A6分（2）ABC的面积12sin24SbcAbc，7分由2a，及余弦定理得222242cos2bcbcBbcbc，8 分因为bc，所以22422bb，即2442222b，10 分故ABC的面积2222144Sbcb12 分20（本小题满分12 分）已知数列na的前n项和为nS，且12a，12nnnaSn(1,2,3,)n（1）证明：数列nSn是等比数列；（2）设2112nnnnbS S，求数列nb的前n项和nT题根：数学 52.2 习题 B组第 4 题.（变式题）解：（1）因为，11nnnaSS，1 分又12nnnaSn，所以1(2)()nnnnSn SS，2 分即12(1)nnnSnS，所以12()1nnSSnnnN4 分故数列nSn是首项为2，公比为2的等比数列6 分18 CDBA75453045（2）由（1）得2nnSn，即2nnSn8 分所以21211122111=2(1)2(1)1nnnnnnnbS Snnn nnn，10 分故数列nb的前n项和11111111223111nnTnnnn 12 分21.(本小题满分12 分)某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距3km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得75ACB，45BCD，30ADC，45ADB（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的5倍，问施工单位应该准备多长的电线？题根：数学 51.2 例 2.（改编题）解：在ACD中，由已知得30CAD，又30ADC,所以3(km)ACCD2分在BCD中，由已知可得60CBD，由正弦定理得3sin753sin 45+3062sin 60sin 602BC（）.6 分在ABC中，由余弦定理得2222cosABACBCAC BCBCA2262623()2 3cos75522，9 分所以，5AB10 分19 故施工单位应该准备电线长为5 km.12 分22.(本小题满分12 分)已知,A B C为锐角ABC的内角，sin,sinsinABC（）a，(1,2)b，ab.（1）tan B，tantanBC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tantantanABC的最小值.（据 2016 年江苏卷第14 题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题）解：（1）依题意有sin2sinsinABC.2 分在ABC中，ABC，所以sinsin+=sincoscossinAB CBCBC（），3 分所以2sinsin=sincoscossinBCBCBC.4 分因为ABC为锐角三角形，所以cos0,cos0BC，所以tantan2 tantanBCBC，5 分所以tan B，tantanBC，tanC成等差数列.6 分（2）法一：在 锐角ABC中，tantantantan()tan()1tantanBCABCBCBC，7 分即tantantantantantanABCABC，8 分由（1）知tantan2tantanBCBC，于是tantantantan2tantan2 2tantantanABCABCABC，10 分整理得tantantan8ABC，11 分当且仅当tan4A时取等号，故tantantanABC的最小值为8.12 分法二：由法一知tantantan1tantanBCABC，7 分由（1）知tantan2tantanBCBC，于是2tantan2(tantan)tantantantantan1tantan1tantanBCBCABCBCBCBC，8 分令tantan(1)BCx x，则222tantantan2(1)4811xABCxxx，11 分20 当且仅当2x，即tan4A时取等号，故tantantanABC的最小值为8.12 分