高一下学期期末数学考试试卷(含参考答案)——广东省广州市.pdf

1 广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1与 60 角的终边相同的角是（）A300 B240 C 120 D 602不等式 x2y+40 表示的区域在直线x2y+4=0的（）A左上方B左下方C右上方D右下方3已知角 的终边经过点 P（3，4），则 cos 的值是（）A B C D4不等式 x23x100 的解集是（）A x|2x5B x|x5 或 x2Cx|2x5D x|x5 或 x25若 sin=，是第四象限角，则cos（+）的值是（）ABCD6若 a，bR，下列命题正确的是（）A若 a|b|，则 a2b2B若|a|b，则 a2b2C若 a|b|，则 a2b2D若 ab，则 ab07要得到函数 y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位8已知 M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，P为平面 ABCD内任意一点，则+等于（）A4 B3 C2 D9若 cos2=，则 sin4+cos4的值是（）ABC D10已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A4 B2 C 2 D2 11已知点（n，an）在函数 y=2x13 的图象上，则数列 an的前 n 项和 Sn的最小值为（）A36 B36 C6 D612若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则 m 的范围是（）A（1，2）B（2，+）C 3，+）D（3，+）二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上.13若向量=（4，2），=（8，x），则 x 的值为14若关于 x 的方程 x2mx+m=0 没有实数根，则实数m 的取值范围是15已知 x，y 满足，则 z=2x+y 的最大值为16设 f（x）=sinxcosx+cos2x，则 f（x）的单调递减区间是三、解答题：本大题共6 小题，满分 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比为 q（q1），证明：Sn=18已知平面向量，满足|=1，|=2（1）若与 的夹角=120，求|+|的值；（2）若（k+）（k ），求实数 k 的值19在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 c=acosB+bsinA（1）求 A；（2）若 a=2，b=c，求 ABC的面积3 20已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=2，an+1=Sn（n=1，2，3，）（1）证明：数列 是等比数列；（2）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn21某电力部门需在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B 两地距离现测量人员在相距km 的 C、D两地（假设 A、B、C、D在同一平面上）测得 ACB=75 ，BCD=45 ，ADC=30 ，ADB=45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B 距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？22已知 A，B，C为锐角 ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，2），（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求 tanAtanBtanC的最小值4 广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1与 60 角的终边相同的角是（）A300 B240 C 120 D 60【考点】G2：终边相同的角【分析】与60 终边相同的角一定可以写成k360 60 的形式，kz，检验各个选项中的角是否满足此条件【解答】解：与 60 终边相同的角一定可以写成k360 60 的形式，kz，令 k=1 可得，300 与60 终边相同，故选：A2不等式 x2y+40 表示的区域在直线x2y+4=0的（）A左上方B左下方C右上方D右下方【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据题意，作出直线 x2y+4=0的图形，分析可得原点在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入 x2y+4，分析即可得答案【解答】解：根据题意，作出直线x2y+4=0，分析可得：原点（0，0）在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入 x2y+4 可得，x2y+40，故不等式 x2y+40 表示的区域在直线 x2y+4=0 的右下方；故选：D5 3已知角 的终边经过点 P（3，4），则 cos 的值是（）A B C D【考点】G9：任意角的三角函数的定义【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos 的值【解答】解：角 的终边经过点 P（3，4），x=3，y=4，r=|OP|=5，则 cos=，故选：C4不等式 x23x100 的解集是（）A x|2x5B x|x5 或 x2Cx|2x5D x|x5 或 x2【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】把不等式化为（x+2）（x5）0，求出解集即可【解答】解：不等式 x2x20 可化为（x+2）（x5）0，解得 x2或 x5，不等式的解集是 x|x2 或 x5 故选：D5若 sin=，是第四象限角，则cos（+）的值是（）ABCD6【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（+）的值【解答】解：sin=，是第四象限角，cos=，则 cos（+）=coscos sinsin=?（）=，故选：B6若 a，bR，下列命题正确的是（）A若 a|b|，则 a2b2B若|a|b，则 a2b2C若 a|b|，则 a2b2D若 ab，则 ab0【考点】R3：不等式的基本性质【分析】根据题意，由不等式的性质易得A 正确，利用特殊值法分析可得B、C、D 错误，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A、若 a|b|，则有|a|b|0，则 a2b2，故 A 正确；对于 B、当 a=1，b=2 时，a2b2，故 B错误；对于 C、当 a=1，b=1时，满足 a|b|，但有 a2=b2，故 C错误；对于 D、若 ab，则 ab0，故 D 错误；故选：A7要得到函数 y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由题意利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数 y=3sin2x图象向左平移个单位，可得 y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象，故选：C7 8已知 M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，P为平面 ABCD内任意一点，则+等于（）A4 B3C 2D【考点】9A：向量的三角形法则【分析】根据向量的三角形的法则和平行四边形的性质即可求出答案【解答】解：M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，P为平面 ABCD内任意一点，=+，=+，=+，=+，M 是平行四边形 ABCD对角线的交点，=，=，+=+=4，故选：A9若 cos2=，则 sin4+cos4的值是（）ABC D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，求得sin2和 cos2 的值，可得sin4+cos4的值【解答】解：cos2=2cos2 1=，cos2=，sin2=1cos2=，则 sin4+cos4=+=，故选：A10已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A4 B2 C 2 D【考点】3W：二次函数的性质；7F：基本不等式8【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法设一条直角边为x，则另一条为（4x），则根据三角形面积公式即可得到面积S和 x 之间的解析式，求最值即可【解答】解：设该三角形的一条直角边为x，则另一条为（4x），则其面积 S=x（4x）=（x2）2+2，（x0）分析可得：当 x=2时，S取得最大值，此时S=2；故选：C11已知点（n，an）在函数 y=2x13 的图象上，则数列 an的前 n 项和 Sn的最小值为（）A36 B36 C6 D6【考点】8E：数列的求和【分析】点（n，an）在函数 y=2x13 的图象上，的 an=2n13，a1=11，=n212n由二次函数性质，求得Sn的最小值【解答】解：点（n，an）在函数 y=2x13的图象上，则 an=2n13，a1=11=n212nnN+，当 n=6时，Sn取得最小值为 36故选：B12若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则 m 的范围是（）A（1，2）B（2，+）C 3，+）D（3，+）【考点】HQ：正弦定理的应用【分析】设三个角分别为A，+A，由正弦定理可得 m=，利用两角和差的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域【解答】解：钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=，A+C=，9 可设三个角分别为A，+A故 m=又A，tanA令 t=tanA，且t，则 m=在，上是增函数，+m2，故选 B二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上.13若向量=（4，2），=（8，x），则 x 的值为4【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解：向量=（4，2），=（8，x），解得 x=4故答案为：414若关于 x 的方程 x2mx+m=0 没有实数根，则实数m 的取值范围是（0，4）【考点】3W：二次函数的性质【分析】由二次函数的性质可知：0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m 的取值范围【解答】解：由方程 x2mx+m=0 没有实数根，则 0，m24m0，解得：0m4，实数 m 的取值范围（0，4），故答案为：（0，4）15已知 x，y 满足，则 z=2x+y 的最大值为310【考点】7C：简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（1，1），B（，），C（2，1），在ABC中满足 z=2x+y 的最大值是点 C，代入得最大值等于3故答案为：316设 f（x）=sinxcosx+cos2x，则 f（x）的单调递减区间是 k+，k+，（kZ）【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】推导出 f（x）=sin（2x+）+，由此能求出 f（x）的单调递减区间【解答】解：f（x）=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+，f（x）的单调递减区间满足：，kZ，kZf（x）的单调递减区间是 k+，k+，（kZ）11 故答案为：k+，k+，（kZ）三、解答题：本大题共6 小题，满分 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比为 q（q1），证明：Sn=【考点】89：等比数列的前 n 项和【分析】由，得，利用错位相减法能证明Sn=【解答】证明：因为，所以，qSn=，所以（1q）Sn=，当 q1 时，有 Sn=18已知平面向量，满足|=1，|=2（1）若与 的夹角=120，求|+|的值；（2）若（k+）（k ），求实数 k 的值【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）利用两个向量数量积的定义，求得的值，可得|+|=的值（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k+）?（k ）=k2?a2=0，由此求得 k 的值【解答】解：（1）|=1，|=2，若 与 的夹角=120，则=1?2?cos120=1，|+|=（2）（k+）（k ），（k+）?（k ）=k2?=k24=0，k=212 19在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 c=acosB+bsinA（1）求 A；（2）若 a=2，b=c，求 ABC的面积【考点】HP：正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得：tanA=1，结合范围 A（0，），可求 A的值（2）由三角形面积公式及余弦定理可求b2的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本小题满分 12 分）解：（1）由 c=acosB+bsinA及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA在ABC中，C=AB，所以 sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB 由以上两式得 sinA=cosA，即 tanA=1，又 A（0，），所以 A=（2）由于 SABC=bcsinA=bc，由 a=2，及余弦定理得：4=b2+c22bccosB=b2+c2，因为 b=c，所以 4=2b2b2，即 b2=4，故ABC的面积 S=bc=b2=20已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=2，an+1=Sn（n=1，2，3，）（1）证明：数列 是等比数列；（2）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】（1）an+1=Sn+1Sn=Sn，整理为=2即可证明13（2）由（1）得：=2n，即 Sn=n?2n可得 bn=，利用裂项求和方法即可得出【解答】（1）证明：因为，an+1=Sn+1Sn=Sn，所以=2，又 a1=2，故数列 是等比数列，首项为2，公比为 2 的等比数列（2）解：由（1）得：=2n，即 Sn=n?2n所以 bn=，故数列 bn 的前 n 项和 Tn=+=1=21某电力部门需在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B 两地距离现测量人员在相距km 的 C、D两地（假设 A、B、C、D在同一平面上）测得 ACB=75 ，BCD=45 ，ADC=30 ，ADB=45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B 距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】在ACD中求出 AC，在 BCD中求出 BC，在 ABC中利用余弦定理求出AB【解答】解：在 ACD中，ADC=30 ，ACD=75 +45=120，CAD=30 ，AC=CD=，在BCD中，BDC=30 +45=75，BCD=45 ，CBD=60 ，由正弦定理得：，14 BC=在ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC22AC?BC?cos ACB=3+（）22?=5，AB=故施工单位应该准备电线长为=5km22已知 A，B，C为锐角 ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，2），（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求 tanAtanBtanC的最小值【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）依题意有 sinA=2sinBsinC，从而 2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由 cosB 0，cosC0，能推导出 tanB，tanBtanC，tanC成等差数列（2）推导出 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而 tanAtanBtanC 8，由此能求出 tanAtanBtanC的最小值为 8【解答】（本小题满分 12 分）解：（1）依题意有 sinA=2sinBsinC 在ABC中，A=BC，所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，所以 2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC 因为 ABC为锐角三角形，所以cosB 0，cosC 0，所以 tanB+tanC=2tanBtanC，所以 tanB，tanBtanC，tanC成等差数列（2）在锐角 ABC中，tanA=tan（BC）=tan（B+C）=，即 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，由（1）知 tanB+tanC=2tanBtanC，于是 tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC，整理得 tanAtanBtanC 8，15 当且仅当 tanA=4时取等号，故 tanAtanBtanC的最小值为 8