(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文(含解析).pdf
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1、专题专题 0404 导数及其应用导数及其应用历年考题细目表历年考题细目表题型题型解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题历年高考真题汇编历年高考真题汇编1【2019 年北京文科 20】已知函数f(x)年份年份201920182017201620152014201220112010考点考点导数综合问题导数综合问题导数综合问题导数综合问题导数综合问题导数综合问题导数综合问题导数综合问题导数综合问题试题位置试题位置2019 年北京文科 202018 年北京文科 192017 年北京文科 202016 年北京文科 202015 年北京文科 192014 年北京文科 202012 年北京文
2、科 182011 年北京文科 182010 年北京文科 18x3x2+x()求曲线yf(x)的斜率为l的切线方程;()当x2,4时,求证:x6f(x)x;()设F(x)|f(x)(x+a)|(aR R),记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时,求a的值【解答】解:()f(x)由f(x)1 得x(x)0,得又f(0)0,f(),1yx和即yx和yx;,()证明:欲证x6f(x)x,只需证6f(x)x0,令g(x)f(x)x,x2,4,则g(x),为正,可知g(x)在2,0为正,在(0,)为负,在g(x)在2,0递增,在0,递减,在递增,又g(2)6,g(0)0,g()6g(x
3、)0,x6f(x)x;()由()可得,6,g(4)0,F(x)|f(x)(x+a)|f(x)xa|g(x)a|在2,4上,6g(x)0,令tg(x),h(t)|ta|,则问题转化为当t6,0时,h(t)的最大值M(a)的问题了,当a3 时,M(a)h(0)|a|a,2此时a3,当a3 时,M(a)取得最小值 3;当a3 时,M(a)h(6)|6a|6+a|,6+a3,M(a)6+a,也是a3 时,M(a)最小为 3综上,当M(a)取最小值时a的值为32【2018 年北京文科 19】设函数f(x)ax(3a+1)x+3a+2e()若曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为 0,求a;()若
4、f(x)在x1 处取得极小值,求a的取值范围【解答】解:()函数f(x)ax(3a+1)x+3a+2e的导数为22xxf(x)ax2(a+1)x+1ex曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为 0,可得(4a2a2+1)e0,解得a;22()f(x)的导数为f(x)ax(a+1)x+1e(x1)(ax1)e,若a0 则x1 时,f(x)0,f(x)递增;x1,f(x)0,f(x)递减xxx1 处f(x)取得极大值,不符题意;若a0,且a1,则f(x)(x1)e0,f(x)递增,无极值;若a1,则1,f(x)在(,1)递减;在(1,+),(,)递增,2x可得f(x)在x1 处取得极小值;若
5、 0a1,则1,f(x)在(1,)递减;在(,+),(,1)递增,可得f(x)在x1 处取得极大值,不符题意;若a0,则1,f(x)在(,1)递增;在(1,+),(,)递减,可得f(x)在x1 处取得极大值,不符题意综上可得,a的范围是(1,+)3【2017 年北京文科 20】已知函数f(x)ecosxx(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值x3xx【解答】解:(1)函数f(x)ecosxx的导数为f(x)e(cosxsinx)1,可得曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为ke(cos0sin0)10,切点为(0,ecos
6、00),即为(0,1),曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y1;(2)函数f(x)ecosxx的导数为f(x)e(cosxsinx)1,令g(x)e(cosxsinx)1,则g(x)的导数为g(x)e(cosxsinxsinxcosx)2esinx,当x0,可得g(x)2esinx0,即有g(x)在0,递减,可得g(x)g(0)0,则f(x)在0,递减,即有函数f(x)在区间0,上的最大值为f(0)ecos001;000 xxxxxx最小值为f()cos324【2016 年北京文科 20】设函数f(x)x+ax+bx+c(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设
7、ab4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a3b0 是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件【解答】解:(1)函数f(x)x+ax+bx+c的导数为f(x)3x+2ax+b,可得yf(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为kf(0)b,切点为(0,c),可得切线的方程为ybx+c;(2)设ab4,即有f(x)x+4x+4x+c,由f(x)0,可得cx+4x+4x,由g(x)x+4x+4x的导数g(x)3x+8x+4(x+2)(3x+2),当x当2x或x2 时,g(x)0,g(x)递增;时,g(x)0,g(x)递减32232323222即有g(x)在x2 处取得极大值,且
8、为 0;g(x)在x处取得极小值,且为4由函数f(x)有三个不同零点,可得解得 0c,);c0,则c的取值范围是(0,(3)证明:若f(x)有三个不同零点,令f(x)0,可得f(x)的图象与x轴有三个不同的交点即有f(x)有 3 个单调区间,即为导数f(x)3x+2ax+b的图象与x轴有两个交点,可得0,即 4a12b0,即为a3b0;若a3b0,即有导数f(x)3x+2ax+b的图象与x轴有两个交点,当c0,ab4 时,满足a3b0,即有f(x)x(x+2),图象与x轴交于(0,0),(2,0),则f(x)的零点为 2 个故a3b0 是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件22222222
9、5【2015 年北京文科 19】设函数f(x)(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点klnx,k0【解答】解:(1)由f(x)f(x)x由f(x)0 解得xf(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下:Xf(x)(0,)(+)05f(x)所以,f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为(0,);f(x)在x处的极小值为f(),无极大值(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f()因为f(x)存在零点,所以,从而ke当ke时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()0所以x是f(x)在区间(1,)上唯一零点
10、当ke时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且,所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点综上所述,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点6【2014 年北京文科 20】已知函数f(x)2x33x()求f(x)在区间2,1上的最大值;()若过点P(1,t)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切,求t的取值范围;()问过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切?(只需写出结论)【解答】解:()由f(x)2x33x得f(x)6x23,令f(x)0 得,x或x,f(2)10,f(),f(),f(1)1,f(x)在区间2,1上的最大值为()设过点P
11、(1,t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0,y0),则y023x0,且切线斜率为k63,切线方程为yy0(63)(xx0),ty0(63)(1x0),即 46t+30,6设g(x)4x6x+t+3,则“过点P(1,t)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切”,等价于“g(x)有 3 个不同的零点”g(x)12x12x12x(x1),g(x)与g(x)变化情况如下:xg(x)g(x)(,0)+0 0t+3(0,1)1 0t+1(1,+)+232g(0)t+3 是g(x)的极大值,g(1)t+1 是g(x)的极小值当g(0)t+30,即t3 时,g(x)在区间(,1和(1,+)上分别至多有一个零
12、点,故g(x)至多有 2 个零点当g(1)t+10,即t1 时,g(x)在区间(,0和(0,+)上分别至多有一个零点,故g(x)至多有 2 个零点当g(0)0 且g(1)0,即3t1 时,g(1)t70,g(2)t+110,g(x)分别在区间1,0),0,1)和1,2)上恰有 1 个零点,由于g(x)在区间(,0)和1,+)上单调,故g(x)分别在区间(,0)和1,+)上恰有 1 个零点综上所述,当过点过点P(1,t)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切时,t的取值范围是(3,1)()过点A(1,2)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切;过点B(2,10)存在 2 条直线与曲线yf(x)相切;
13、过点C(0,2)存在 1 条直线与曲线yf(x)相切7【2012 年北京文科 18】已知函数f(x)ax+1(a0),g(x)x+bx(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;(2)当a3,b9 时,函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为 28,求k的取值范围【解答】解:(1)f(x)ax+1(a0),则f(x)2ax,k12a,223g(x)x3+bx,则g(x)3x2+b,k23+b,由(1,c)为公共切点,可得:2a3+b又f(1)a+1,g(1)1+b,a+11+b,即ab,代入式,可得:a3,b37(2)当a3,b9 时,设h(x
14、)f(x)+g(x)x+3x9x+1则h(x)3x+6x9,令h(x)0,解得:x13,x21;k3 时,函数h(x)在(,3)上单调增,在(3,1上单调减,(1,2)上单调增,所以在区间k,2上的最大值为h(3)283k2 时,函数h(x)在区间k,2上的最大值小于 28所以k的取值范围是(,38【2011 年北京文科 18】已知函数f(x)(xk)e()求f(x)的单调区间;()求f(x)在区间0,1上的最小值【解答】解:()f(x)(xk+1)e,令f(x)0,得xk1,xx232f(x)f(x)随x的变化情况如下:xf(x)f(x)(,k1)k10ek1(k1,+)+f(x)的单调递减
15、区间是(,k1),f(x)的单调递增区间(k1,+);()当k10,即k1 时,函数f(x)在区间0,1上单调递增,f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k;当 0k11,即 1k2 时,由(I)知,f(x)在区间0,k1上单调递减,f(x)在区间(k1,1上单调递增,f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1;当k11,即k2 时,函数f(x)在区间0,1上单调递减,f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e;综上所述f(x)min89【2010 年北京文科 18】设定函数f(x)为 1,4x3+bx2+cx+d(a0),且方程f(x)9x0 的两个根分别()当a3 且曲线y
16、f(x)过原点时,求f(x)的解析式;()若f(x)在(,+)无极值点,求a的取值范围【解答】解:由得f(x)ax+2bx+c2因为f(x)9xax+2bx+c9x0 的两个根分别为 1,4,所以2(*)()当a3 时,又由(*)式得解得b3,c12又因为曲线yf(x)过原点,所以d0,故f(x)x3x+12x32()由于a0,所以“0 在(,+)内恒成立”由(*)式得 2b95a,c4a又(2b)4ac9(a1)(a9)2在(,+)内无极值点”等价于“f(x)ax+2bx+c2解即a的取值范围1,9考题分析与复习建议考题分析与复习建议得a1,9本专题考查的知识点为:导数的概念及运算,导数与函
17、数的单调性、极值、最值,导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:导数的运算,导数与函数的单调性、极值、最值,导数与函数的综合问题,预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算,导数与函数的单调性、极值、最值,导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题最新高考模拟试题91已知函数,若有 3 个零点,则k的取值范围为()A(1,0)2eB(1,0)2eC(0,1)2eD(0,1)2e【答案】C【解析】由题意,函数,要使得函数在 R 上有 3 个零点,ln x,x2ln x要使得Fx0有两个实数解,即y k和gx2有两个交点,x当x 0时,令,可得k
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- 北京 十年 2010 _2019 高考 数学 分类 汇编 专题 04 导数 及其 应用文 解析
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