高等数学基本概念、基本公式.doc

目 录
一、函数与极限ﻩ2
1、集合得概念 2
２、常量与变量 3
2、函数 4
3、函数得简单性态 4
4、反函数ﻩ5
５、复合函数 ６
6、初等函数 6
７、双曲函数及反双曲函数ﻩ7
8、数列得极限 ８
9、函数得极限 9
10、函数极限得运算规则 11
一、函数与极限
1、集合得概念
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫集合(简称集)、集合具有确定性(给定集合得元素必须就是确定得)与互异性(给定集合中得元素就是互不相同得)。比如“身材较高得人"不能构成集合,因为它得元素不就是确定得。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中得元素、如果a就是集合A中得元素,就说a属于Ａ,记作:a∈A,否则就说a不属于Ａ,记作:aＡ。

⑴、全体非负整数组成得集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N
⑵、所有正整数组成得集合叫做正整数集。记作N＋或Ｎ+、
⑶、全体整数组成得集合叫做整数集。记作Z。
⑷、全体有理数组成得集合叫做有理数集。记作Q。
⑸、全体实数组成得集合叫做实数集、记作R、
集合得表示方法
⑴、列举法:把集合得元素一一列举出来,并用“｛}”括起来表示集合
⑵、描述法:用集合所有元素得共同特征来表示集合。
集合间得基本关系
⑴、子集:一般地,对于两个集合Ａ、B,如果集合A中得任意一个元素都就是集合B得元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B得子集,记作A B(或B A)。、
⑵相等:如何集合A就是集合B得子集,且集合B就是集合A得子集,此时集合A中得元素与集合B中得元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合Ａ就是集合B得子集,但存在一个元素属于Ｂ但不属于A,我们称集合A就是集合Ｂ得真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素得集合叫做空集。记作 ,并规定,空集就是任何集合得子集。
⑸、由上述集合之间得基本关系,可以得到下面得结论:
①、任何一个集合就是它本身得子集。即A A
②、对于集合A、B、C,如果Ａ就是B得子集,B就是Ｃ得子集,则A就是Ｃ得子集。
③、我们可以把相等得集合叫做“等集”,这样得话子集包括“真子集”与“等集”。
集合得基本运算
⑴、并集:一般地,由所有属于集合Ａ或属于集合B得元素组成得集合称为Ａ与B得并集。记作Ａ∪B。(在求并集时,它们得公共元素在并集中只能出现一次。)
即A∪B＝｛x｜x∈A,或ｘ∈B}。
⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B得元素组成得集合称为A与Ｂ得交集。记作A∩B。
即A∩B＝｛ｘ｜x∈A,且x∈B}、
⑶、补集:
①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及得所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。
②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A得所有元素组成得集合称为集合A相对于全集U得补集。简称为集合A得补集,记作CＵA。
即ＣUＡ={x|x∈Ｕ,且x A｝、
集合中元素得个数
⑴、有限集:我们把含有有限个元素得集合叫做有限集,含有无限个元素得集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素得个数。例如A={ａ,b,c},则cａｒｄ(A)=3。
⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有
cａrd(Ａ)+card(B)＝caｒｄ(A∪Ｂ)+caｒd(A∩B)
我得问题:
１、学校里开运动会,设A＝{x｜x就是参加一百米跑得同学},B=｛x｜ｘ就是参加二百米跑得同学｝,C={ｘ｜ｘ就是参加四百米跑得同学｝。学校规定,每个参加上述比赛得同学最多只能参加两项,请您用集合得运算说明这项规定,并解释以下集合运算得含义。⑴、A∪B;⑵、A∩Ｂ。
２、在平面直角坐标系中,集合C=｛(x,y)｜y＝ｘ｝表示直线y＝ｘ,从这个角度瞧,集合Ｄ＝｛(ｘ,y)｜方程组:2x－y=1,x+4y=5｝表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言与几何语言说明这种关系、
3、已知集合A=｛x｜1≤x≤3｝,B={x｜(ｘ-1)(x—ａ)＝0｝。试判断Ｂ就是不就是A得子集?就是否存在实数a使A＝Ｂ成立?
４、对于有限集合A、Ｂ、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间得关系呢？
5、无限集合A=｛１,2,3,4,…,n,…｝,Ｂ＝｛2,4,6,8,…,2n,…｝,您能设计一种比较这两个集合中元素个数多少得方法吗？
2、常量与变量
⑴、变量得定义:我们在观察某一现象得过程时,常常会遇到各种不同得量,其中有得量在过程中不起变化,我们把其称之为常量;有得量在过程中就是变化得,也就就是可以取不同得数值,我们则把其称之为变量。注:在过程中还有一种量,它虽然就是变化得,但就是它得变化相对于所研究得对象就是极其微小得,我们则把它瞧作常量。
⑵、变量得表示:如果变量得变化就是连续得,则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说,区间就是指介于某两点之间得线段上点得全体、
区间得名称
区间得满足得不等式
区间得记号
区间在数轴上得表示
闭区间
a≤x≤b
［a,b]

开区间
a＜x＜ｂ
(ａ,b)

半开区间
a＜x≤b或a≤x<b
(a,b］或[a,b)

以上我们所述得都就是有限区间,除此之外,还有无限区间:
［a,+∞):表示不小于a得实数得全体,也可记为:ａ≤x〈＋∞;
(—∞,b):表示小于ｂ得实数得全体,也可记为:－∞＜x<b;
(－∞,＋∞):表示全体实数,也可记为:-∞<ｘ〈+∞
注:其中-∞与+∞,分别读作"负无穷大"与＂正无穷大",它们不就是数,仅仅就是记号。
⑶、邻域:设α与δ就是两个实数,且δ〉0、满足不等式│x—α│＜δ得实数x得全体称为点α得δ邻域,点α称为此邻域得中心,δ称为此邻域得半径。
２、函数
⑴、函数得定义:如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,量y按照一定得法则ｆ总有确定得数值与它对应,则称y就是ｘ得函数。变量ｘ得变化范围叫做这个函数得定义域、通常ｘ叫做自变量,y叫做函数值(或因变量),变量ｙ得变化范围叫做这个函数得值域。注:为了表明y就是ｘ得函数,我们用记号y＝f(x)、y＝F(ｘ)等等来表示。这里得字母”f”、"F＂表示y与x之间得对应法则即函数关系,它们就是可以任意采用不同得字母来表示得。如果自变量在定义域内任取一个确定得值时,函数只有一个确定得值与它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数得定义可知,一个函数得构成要素为:定义域、对应关系与值域。由于值域就是由定义域与对应关系决定得,所以,如果两个函数得定义域与对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。
⑶、域函数得表示方法
a):解析法:用数学式子表示自变量与因变量之间得对应关系得方法即就是解析法。例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点得圆得方程就是:x2+y2=r2
b):表格法:将一系列得自变量值与对应得函数值列成表来表示函数关系得方法即就是表格法。例:在实际应用中,我们经常会用到得平方表,三角函数表等都就是用表格法表示得函数。
ｃ):图示法:用坐标平面上曲线来表示函数得方法即就是图示法。一般用横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量。例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点得圆用图示法表示为:

３、函数得简单性态
⑴、函数得有界性:如果对属于某一区间I得所有ｘ值总有│f(x)│≤M成立,其中Ｍ就是一个与x无关得常数,那么我们就称f(x)在区间Ｉ有界,否则便称无界。
注:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数
例题:函数cosx在(—∞,＋∞)内就是有界得.
⑵、函数得单调性:如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大,即:对于(ａ,b)内任意两点ｘ1及x２,当x１<x2时,有 ,则称函数在区间(ａ,ｂ)内就是单调增加得。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小,即:对于(a,b)内任意两点x1及x２,当x1<x２时,有,则称函数在区间(ａ,ｂ)内就是单调减小得、
例题:函数=ｘ2在区间(-∞,0)上就是单调减小得,在区间(0,+∞)上就是单调增加得。
⑶、函数得奇偶性
如果函数对于定义域内得任意x都满足＝,则叫做偶函数;如果函数对于定义域内得任意ｘ都满足=—,则叫做奇函数。
注:偶函数得图形关于ｙ轴对称,奇函数得图形关于原点对称。
⑷、函数得周期性
对于函数,若存在一个不为零得数l,使得关系式对于定义域内任何x值都成立,则叫做周期函数,l就是得周期。
注:我们说得周期函数得周期就是指最小正周期。
例题:函数就是以2π为周期得周期函数;函数tgx就是以π为周期得周期函数。
4、反函数
⑴、反函数得定义:设有函数,若变量y在函数得值域内任取一值y0时,变量x在函数得定义域内必有一值x0与之对应,即,那末变量x就是变量y得函数。这个函数用来表示,称为函数得反函数。
注:由此定义可知,函数也就是函数得反函数。
⑵、反函数得存在定理:若在(a,b)上严格增(减),其值域为 Ｒ,则它得反函数必然在R上确定,且严格增(减)、
注:严格增(减)即就是单调增(减)
例题:y＝x2,其定义域为(-∞,+∞),值域为［0,+∞).对于ｙ取定得非负值,可求得x=±、若我们不加条件,由y得值就不能唯一确定x得值,也就就是在区间(—∞,+∞)上,函数不就是严格增(减),故其没有反函数。如果我们加上条件,要求x≥0,则对y≥0、x=就就是ｙ＝ｘ2在要求x≥0时得反函数。即就是:函数在此要求下严格增(减)、
⑶、反函数得性质:在同一坐标平面内,与得图形就是关于直线y＝ｘ对称得。
例题:函数与函数互为反函数,则它们得图形在同一直角坐标系中就是关于直线y=x对称得。如右图所示:

5、复合函数
复合函数得定义:若y就是u得函数:,而ｕ又就是ｘ得函数:,且得函数值得全部或部分在得定义域内,那末,y通过u得联系也就是x得函数,我们称后一个函数就是由函数及复合而成得函数,简称复合函数,记作,其中ｕ叫做中间变量。
注:并不就是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。
例题:函数与函数就是不能复合成一个函数得。
因为对于得定义域(－∞,＋∞)中得任何x值所对应得ｕ值(都大于或等于2),使都没有定义。
６、初等函数
⑴、基本初等函数:我们最常用得有五种基本初等函数,分别就是:指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下:
函数名称
函数得记号
函数得图形
函数得性质
指数函数

 a):不论x为何值,y总为正数;
 b):当ｘ＝0时,y＝1。
对数函数

 a):其图形总位于y轴右侧,并过(１,0)点
 b):当a>１时,在区间(0,1)得值为负;在区间(—,+∞)得值为正;在定义域内单调增。
幂函数
a为任意实数

这里只画出部分函数图形得一部分、
 令a=m／nﻫ a):当m为偶数n为奇数时,y就是偶函数;ﻫ ｂ):当ｍ,n都就是奇数时,ｙ就是奇函数;ﻫ c):当ｍ奇n偶时,ｙ在(—∞,０)无意义、
三角函数
(正弦函数)ﻫ 这里只写出了正弦函数

 ａ):正弦函数就是以２π为周期得周期函数
 b):正弦函数就是奇函数且
反三角函数
(反正弦函数)
这里只写出了反正弦函数

 ａ):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π／2,π/2］上,并称其为反正弦函数得主值。
⑵、初等函数:由基本初等函数与常数经过有限次得有理运算及有限次得函数复合所产生并且能用一个解析式表出得函数称为初等函数.
例题:就是初等函数。
7、双曲函数及反双曲函数
⑴、双曲函数:在应用中我们经常遇到得双曲函数就是:(用表格来描述)
函数得名称
函数得表达式
函数得图形
函数得性质
双曲正弦

ａ):其定义域为:(—∞,+∞);ﻫb):就是奇函数;ﻫc):在定义域内就是单调增
双曲余弦

ａ):其定义域为:(—∞,+∞);ﻫb):就是偶函数;
ｃ):其图像过点(０,1);
双曲正切

a):其定义域为:(－∞,+∞);ﻫb):就是奇函数;ﻫc):其图形夹在水平直线ｙ＝1及y＝-1之间;在定域内单调增;
我们再来瞧一下双曲函数与三角函数得区别:
双曲函数得性质
三角函数得性质

sｈｘ与ｔhｘ就是奇函数,chｘ就是偶函数
sinx与tanｘ就是奇函数,ｃｏsx就是偶函数

它们都不就是周期函数
都就是周期函数
双曲函数也有与差公式:

⑵、反双曲函数:双曲函数得反函数称为反双曲函数.
a):反双曲正弦函数   其定义域为:(－∞,+∞);
b):反双曲余弦函数   其定义域为:[1,＋∞);
c):反双曲正切函数     其定义域为:(-1,+1);
８、数列得极限
我们先来回忆一下初等数学中学习得数列得概念、
⑴、数列:若按照一定得法则,有第一个数a１,第二个数a2,…,依次排列下去,使得任何一个正整数n对应着一个确定得数ａn,那末,我们称这列有次序得数a１,a２,…,an,…为数列。数列中得每一个数叫做数列得项。第ｎ项aｎ叫做数列得一般项或通项、
注:我们也可以把数列ａn瞧作自变量为正整数ｎ得函数,即:ａn＝,它得定义域就是全体正整数
⑵、极限:极限得概念就是求实际问题得精确解答而产生得。
例:我们可通过作圆得内接正多边形,近似求出圆得面积、
设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它得面积记为A１;再作圆得内接正十二边形,其面积记为A２;再作圆得内接正二十四边形,其面积记为Ａ3;依次循下去(一般把内接正6×2ｎ—1边形得面积记为An)可得一系列内接正多边形得面积:A１,A２,Ａ３,…,An,…,它们就构成一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形得边数无限增加时,An也无限接近某一确定得数值(圆得面积),这个确定得数值在数学上被称为数列A1,A２,A3,…,An,…　当ｎ→∞(读作n趋近于无穷大)得极限。
注:上面这个例子就就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)得割圆术。
⑶、数列得极限:一般地,对于数列来说,若存在任意给定得正数ε(不论其多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时得一切不等式都成立,那末就称常数a就是数列得极限,或者称数列收敛于ａ .
记作:或
注:此定义中得正数ε只有任意给定,不等式才能表达出与a无限接近得意思。且定义中得正整数N与任意给定得正数ε就是有关得,它就是随着ε得给定而选定得。
⑷、数列得极限得几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它得一个几何解释,以使我们能理解它。数列极限为a得一个几何解释:将常数a及数列在数轴上用它们得对应点表示出来,再在数轴上作点ａ得ε邻域即开区间(a—ε,a+ε),如下图所示:
                         　ﻫ   因不等式与不等式等价,故当n＞N时,所有得点都落在开区间(a-ε,a+ε)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
注:至于如何求数列得极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论、
⑸、数列得有界性:对于数列,若存在着正数M,使得一切都满足不等式││≤M,则称数列就是有界得,若正数M不存在,则可说数列就是无界得、
定理:若数列收敛,那末数列一定有界、
注:有界得数列不一定收敛,即:数列有界就是数列收敛得必要条件,但不就是充分条件、例:数列  1,—１,1,—1,…,(—1)n+１,… 　就是有界得,但它就是发散得。
9、函数得极限
前面我们学习了数列得极限,已经知道数列可瞧作一类特殊得函数,即自变量取 1→∞内得正整数,若自变量不再限于正整数得顺序,而就是连续变化得,就成了函数。下面我们来学习函数得极限、
函数得极值有两种情况:ａ):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0,如果在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数得极值得情况,那么函数得极限如何呢 ？
下面我们结合着数列得极限来学习一下函数极限得概念!
⑴、函数得极限(分两种情况)
ａ):自变量趋向无穷大时函数得极限
定义:设函数,若对于任意给定得正数ε(不论其多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式 得一切x,所对应得函数值都满足不等式

那末常数A就叫做函数当x→∞时得极限,记作:
下面我们用表格把函数得极限与数列得极限对比一下:
数列得极限得定义
函数得极限得定义
存在数列与常数A,任给一正数ε＞0,总可找到一正整数N,对于n＞N得所有都满足〈ε则称数列,当x→∞时收敛于A记:、
存在函数与常数A,任给一正数ε＞0,总可找到一正数X,对于适合得一切x,都满足,函数当x→∞时得极限为A,记:。

从上表我们发现了什么 ?？试思考之
b):自变量趋向有限值时函数得极限。我们先来瞧一个例子。
例:函数,当x→1时函数值得变化趋势如何?函数在x=１处无定义。我们知道对实数来讲,在数轴上任何一个有限得范围内,都有无穷多个点,为此我们把x→1时函数值得变化趋势用表列出,如下图:

从中我们可以瞧出x→1时,→2、而且只要ｘ与１有多接近,就与2有多接近、或说:只要与2只差一个微量ε,就一定可以找到一个δ,当＜δ时满足<δ定义:设函数在某点x０得某个去心邻域内有定义,且存在数A,如果对任意给定得ε(不论其多么小),总存在正数δ,当0＜〈δ时,＜ε则称函数当x→x0时存在极限,且极限为A,记:。
注:在定义中为什么就是在去心邻域内呢?这就是因为我们只讨论x→x０得过程,与x=x0出得情况无关。此定义得核心问题就是:对给出得ε,就是否存在正数δ,使其在去心邻域内得x均满足不等式。
有些时候,我们要用此极限得定义来证明函数得极限为　A,其证明方法就是怎样得呢？
     ａ):先任取ε>0;
    　b):写出不等式＜ε;
    c):解不等式能否得出去心邻域0〈＜δ,若能;
    d):则对于任给得ε＞0,总能找出δ,当0＜〈δ时,＜ε成立,因此
１0、函数极限得运算规则
前面已经学习了数列极限得运算规则,我们知道数列可作为一类特殊得函数,故函数极限得运算规则与数列极限得运算规则相似。
⑴、函数极限得运算规则
   若已知x→ｘ０(或x→∞)时,、
则:        

    推论:    
在求函数得极限时,利用上述规则就可把一个复杂得函数化为若干个简单得函数来求极限、
例题:求
解答:
例题:求
此题如果像上题那样求解,则会发现此函数得极限不存在、我们通过观察可以发现此分式得分子与分母都没有极限,像这种情况怎么办呢?下面我们把它解出来、
解答:
注:通过此例题我们可以发现:当分式得分子与分母都没有极限时就不能运用商得极限得运算规则了,应先把分式得分子分母转化为存在极限得情形,然后运用规则求之。
函数极限得存在准则
学习函数极限得存在准则之前,我们先来学习一下左、右得概念、
我们先来瞧一个例子:
例:符号函数为
对于这个分段函数,x从左趋于0与从右趋于0时函数极限就是不相同得.为此我们定义了左、右极限得概念。
定义:如果x仅从左侧(x＜ｘ０)趋近x0时,函数与常量Ａ无限接近,则称Ａ为函数当时得左极限、记:
如果x仅从右侧(ｘ>x0)趋近ｘ0时,函数与常量A无限接近,则称Ａ为函数当时得右极限、记:
注:只有当x→ｘ0时,函数得左、右极限存在且相等,方称在x→x0时有极限
函数极限得存在准则
   准则一:对于点ｘ０得某一邻域内得一切x,ｘ0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数得一切x)有≤≤,且,
那末存在,且等于A
注:此准则也就就是夹逼准则。
准则二:单调有界得函数必有极限、
注:有极限得函数不一定单调有界
两个重要得极限ﻫ   一:
注:其中e为无理数,它得值为:ｅ=2、7045、、.
二:
注:在此我们对这两个重要极限不加以证明。
注:我们要牢记这两个重要极限,在今后得解题中会经常用到它们。
例题:求
解答:令,则x＝－2t,因为x→∞,故t→∞,
则
注:解此类型得题时,一定要注意代换后得变量得趋向情况,象x→∞时,若用t代换１/x,则t→０.
无穷大量与无穷小量
无穷大量
我们先来瞧一个例子:
已知函数,当ｘ→0时,可知,我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下:设有函数y=,在x=ｘ0得去心邻域内有定义,对于任意给定得正数N(一个任意大得数),总可找到正数δ,当
时,成立,则称函数当时为无穷大量。
记为:(表示为无穷大量,实际它就是没有极限得)
同样我们可以给出当x→∞时,无限趋大得定义:设有函数ｙ=,当ｘ充分大时有定义,对于任意给定得正数N(一个任意大得数),总可以找到正数M,当时,成立,则称函数当x→∞时就是无穷大量,记为:
无穷小量
以零为极限得变量称为无穷小量。
定义:设有函数,对于任意给定得正数ε(不论它多么小),总存在正数δ(或正数M),使得对于适合不等式(或)得一切x,所对应得函数值满足不等式,则称函数当(或x→∞)时 为无穷小量.
记作:(或)
注意:无穷大量与无穷小量都就是一个变化不定得量,不就是常量,只有0可作为无穷小量得唯一常量。无穷大量与无穷小量得区别就是:前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于０、无穷大量与无穷小量就是互为倒数关系得。
关于无穷小量得两个定理
定理一:如果函数在(或ｘ→∞)时有极限Ａ,则差就是当(或x→∞)时得无穷小量,反之亦成立。
定理二:无穷小量得有利运算定理
ａ):有限个无穷小量得代数与仍就是无穷小量;　b):有限个无穷小量得积仍就是无穷小量;ｃ):常数与无穷小量得积也就是无穷小量。
无穷小量得比较
通过前面得学习我们已经知道,两个无穷小量得与、差及乘积仍旧就是无穷小。那么两个无穷小量得商会就是怎样得呢？好!接下来我们就来解决这个问题,这就就是我们要学得两个无穷小量得比较。
定义:设α,β都就是时得无穷小量,且β在x0得去心领域内不为零,
a):如果,则称α就是β得高阶无穷小或β就是α得低阶无穷小;
b):如果,则称α与β就是同阶无穷小;
c):如果,则称α与β就是等价无穷小,记作:α∽β(α与β等价)
例:因为,所以当x→0时,ｘ与3x就是同阶无穷小;
因为,所以当ｘ→0时,x2就是３x得高阶无穷小;
因为,所以当x→0时,sinx与ｘ就是等价无穷小。
等价无穷小得性质
设,且存在,则、
注:这个性质表明:求两个无穷小之比得极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题:１。求
   解答:当ｘ→0时,sｉnａｘ∽ax,tanbx∽bｘ,故:
例题: 2.求
解答:
注:
注:从这个例题中我们可以发现,作无穷小变换时,要代换式中得某一项,不能只代换某个因子。
函数得一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象,如气温得变化,植物得生长等都就是连续地变化着得.这种现象在函数关系上得反映,就就是函数得连续性
在定义函数得连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它得一个初值x１变到终值x2,终值与初值得差x2—ｘ１就叫做变量x得增量,记为:△x即:△x＝x２—x１ 增量△x可正可负。
我们再来瞧一个例子:函数在点x0得邻域内有定义,当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时,函数ｙ相应地从变到,其对应得增量为:

这个关系式得几何解释如下图:
现在我们可对连续性得概念这样描述:如果当△x趋向于零时,函数y对应得增量△ｙ也趋向于零,即:,那末就称函数在点ｘ0处连续。
函数连续性得定义:
设函数在点x0得某个邻域内有定义,如果有称函数在点x0处连续,且称ｘ0为函数得得连续点、
下面我们结合着函数左、右极限得概念再来学习一下函数左、右连续得概念:设函数在区间(ａ,b]内有定义,如果左极限存在且等于,即:＝,那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间[a,ｂ)内有定义,如果右极限存在且等于,即:＝,那末我们就称函数在点ａ右连续。
一个函数在开区间(a,ｂ)内每点连续,则为在(a,b)连续,若又在ａ点右连续,b点左连续,则在闭区间［a,b]连续,如果在整个定义域内连续,则称为连续函数。
注:一个函数若在定义域内某一点左、右都连续,则称函数在此点连续,否则在此点不连续、
注:连续函数图形就是一条连续而不间断得曲线。
通过上面得学习我们已经知道函数得连续性了,同时我们可以想到若函数在某一点要就是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题:函数得间断点
函数得间断点
定义:我们把不满足函数连续性得点称之为间断点、
     它包括三种情形:
a):在x0无定义;

ｂ):在x→x０时无极限;

ｃ):在x→x0时有极限但不等于;
下面我们通过例题来学习一下间断点得类型:
例1: 正切函数在处没有定义,所以点就是函数得间断点,因,我们就称为函数得无穷间断点;
例2:函数在点ｘ=0处没有定义;故当x→０时,函数值在－1与＋１之间变动无限多次,我们就称点ｘ=0叫做函数得振荡间断点;
 　例３:函数当x→０时,左极限,右极限,从这我们可以瞧出函数左、右极限虽然都存在,但不相等,故函数在点ｘ＝0就是不存在极限、我们还可以发现在点ｘ=０时,函数值产生跳跃现象,为此我们把这种间断点称为跳跃间断点;我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:

间断点得分类
我们通常把间断点分成两类:如果x0就是函数得间断点,且其左、右极限都存在,我们把x0称为函数得第一类间断点;不就是第一类间断点得任何间断点,称为第二类间断点。
可去间断点
若ｘ０就是函数得间断点,但极限存在,那末x0就是函数得第一类间断点、此时函数不连续原因就是:不存在或者就是存在但≠。我们令,则可使函数在点x０处连续,故这种间断点x0称为可去间断点。
连续函数得性质及初等函数得连续性
连续函数得性质
函数得与、积、商得连续性
我们通过函数在某点连续得定义与极限得四则运算法则,可得出以下结论:
a):有限个在某点连续得函数得与就是一个在该点连续得函数;
b):有限个在某点连续得函数得乘积就是一个在该点连续得函数;
ｃ):两个在某点连续得函数得商就是一个在该点连续得函数(分母在该点不为零);
反函数得连续性
若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续,那末它得反函数也在对应得区间上单调增(单调减)且连续
例:函数在闭区间上单调增且连续,故它得反函数在闭区间［－1,１］上也就是单调增且连续得。
复合函数得连续性
设函数当x→ｘ0时得极限存在且等于a,即:.而函数在点u＝a连续,那末复合函数当x→x0时得极限也存在且等于.即:
例题:求
解答:
注:函数可瞧作与复合而成,且函数在点u＝ｅ连续,因此可得出上述结论。
设函数在点x=x0连续,且,而函数在点ｕ＝ｕ0连续,那末复合函数在点x＝x０也就是连续得
初等函数得连续性
通过前面我们所学得概念与性质,我们可得出以下结论:基本初等函数在它们得定义域内都就是连续得;一切初等函数在其定义域内也都就是连续得.
闭区间上连续函数得性质
闭区间上得连续函数则就是在其连续区间得左端点右连续,右端点左连续。对于闭区间上得连续函数有几条重要得性质,下面我们来学习一下:
最大值最小值定理:在闭区间上连续得函数一定有最大值与最小值。(在此不作证明)ﻫ   例:函数y＝ｓinｘ在闭区间［0,２π]上连续,则在点x=π／2处,它得函数值为1,且大于闭区间[0,2π］上其它各点出得函数值;则在点x=3π/2处,它得函数值为－１,且小于闭区间［0,２π］上其它各点出得函数值。
介值定理    在闭区间上连续得函数一定取得介于区间两端点得函数值间得任何值。即:,μ在α、β之间,则在［a,b］间一定有一个ξ,使ﻫ     　推论: 在闭区间连续得函数必取得介于最大值最小值之间得任何值。
二、导数与微分
导数得概念
在学习到数得概念之前,我们先来讨论一下物理学中变速直线运动得瞬时速度得问题。例:设一质点沿x轴运动时,其位置x就是时间t得函数,,求质点在ｔ0得瞬时速度？我们知道时间从t０有增量△t时,质点得位置有增量 ,这就就是质点在时间段△t得位移。因此,在此段时间内质点得平均速度为:。若质点就是匀速运动得则这就就是在t０得瞬时速度,若质点就是非匀速直线运动,则这还不就是质点在t０时得瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于０时,此平均速度会无限地接近于质点t0时得瞬时速度,即:质点在t0时得瞬时速度=为此就产生了导数得定义,如下:
导数得定义:设函数在点ｘ0得某一邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量△x(x＋△x也在该邻域内)时,相应地函数有增量,若△y与△ｘ之比当△ｘ→０时极限存在,则称这个极限值为在x0处得导数、记为:还可记为:,
函数在点x０处存在导数简称函数在点x0处可导,否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导,就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,ｂ)内得每一个确定得x值,都对应着一个确定得导数,这就构成一个新得函数,我们就称这个函数为原来函数得导函数。
    注:导数也就就是差商得极限
左、右导数
前面我们有了左、右极限得概念,导数就是差商得极限,因此我们可以给出左、右导数得概念。若极限存在,我们就称它为函数在x=ｘ0处得左导数。若极限存在,我们就称它为函数在ｘ＝x０处得右导数。
注:函数在x０处得左右导数存在且相等就是函数在x0处得可导得充分必要条件
函数得与、差求导法则
函数得与差求导法则ﻫ   法则:两个可导函数得与(差)得导数等于这两个函数得导数得与(差)。用公式可写为:。其中u、v为可导函数。
例题:已知,求
解答:
例题:已知,求
解答:
函数得积商求导法则
常数与函数得积得求导法则
法则:在求一个常数与一个可导函数得乘积得导数时,常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成:
例题:已知,求
解答:
函数得积得求导法则
法则:两个可导函数乘积得导数等于第一个因子得导数乘第二个因子,加上第一个因子乘第二个因子得导数。用公式可写成:
例题:已知,求
解答:
注:若就是三个函数相乘,则先把其中得两个瞧成一项、
函数得商得求导法则
法则:两个可导函数之商得导数等于分子得导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数得乘积,在除以分母导数得平方。用公式可写成:
例题:已知,求
解答:

复合函数得求导法则
在学习此法则之前我们先来瞧一个例子!
例题:求=？
解答:由于,故   这个解答正确吗？
这个解答就是错误得,正确得解答应该如下:

我们发生错误得原因就是就是对自变量ｘ求导,而不就是对２x求导。
下面我们给出复合函数得求导法则
复合函数得求导规则
规则:两个可导函数复合而成得复合函数得导数等于函数对中间变量得导数乘上中间变量对自变量得导数。用公式表示为:
,其中u为中间变量
例题:已知,求
解答:设,则可分解为,因此

注:在以后解题中,我们可以中间步骤省去。
例题:已知,求
   解答:
反函数求导法则
根据反函数得定义,函数为单调连续函数,则它得反函数,它也就是单调连续得。为此我们可给出反函数得求导法则,如下(我们以定理得形式给出):
定理:若就是单调连续得,且,则它得反函数在点x可导,且有: 注:通过此定理我们可以发现:反函数得导数等于原函数导数得倒数、注:这里得反函数就是以y为自变量得,我们没有对它作记号变换。
即: 就是对y求导,就是对x求导
例题:求得导数、
解答:此函数得反函数为,故则:

例题:求得导数、
解答:此函数得反函数为,故则:

高阶导数
我们知道,在物理学上变速直线运动得速度v(t)就是位置函数s(t)对时间t得导数,即: ,而加速度a又就是速度v对时间t得变化率,即速度v对时间t得导数: ,或。这种导数得导数叫做ｓ对ｔ得二阶导数。下面我们给出它得数学定义:
定义:函数得导数仍然就是x得函数。我们把得导数叫做函数得二阶导数,记作或,即:或。相应地,把得导数叫做函数得一阶导数、类似地,二阶导数得导数,叫做三阶导数,三阶导数得导数,叫做四阶导数,…,一般地(n-１)阶导数得导数叫做n阶导数.
分别记作:,,…,或,,…,
二阶及二阶以上得导数统称高阶导数。由此可见,求高阶导数就就是多次接连地求导,所以,在求高阶导数时可运用前面所学得求导方法。
例题:已知,求  解答:因为＝ａ,故=0
例题:求对数函数得ｎ阶导数。
解答:,,,,
一般地,可得
隐函数及其求导法则
我们知道用解析法表示函数,可以有不同得形式.若函数ｙ可以用含自变量x得算式表示,像y=sinｘ,ｙ=1+３ｘ等,这样得函数叫显函数。前面我们所遇到得函数大多都就是显函数。
一般地,如果方程Ｆ(x,ｙ)=0中,令x在某一区间内任取一值时,相应地总有满足此方程得ｙ值存在,则我们就说方程F(x,y)=０在该区间上确定了x得隐函数y、把一个隐函数化成显函数得形式,叫做隐函数得显化。注:有些隐函数并不就是很容易化为显函数得,那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题!
隐函数得求导
若已知F(x,y)=0,求时,一般按下列步骤进行求解:
ａ):若方程F(ｘ,y)=0,能化为得形式,则用前面我们所学得方法进行求导;
b):若方程Ｆ(x,y)＝０,不能化为得形式,则就是方程两边对x进行求导,并把y瞧成x得函数,用复合函数求导法则进行、
例题:已知,求
解答:此方程不易显化,故运用隐函数求导法.两边对x进行求导, ,,故=ﻫ   注:我们对隐函数两边对x进行求导时,一定要把变量y瞧成x得函数,然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题:求隐函数,在x=0处得导数
解答:两边对x求导,故,当ｘ=0时,y＝0。故、
有些函数在求导数时,若对其直接求导有时很不方便,像对某些幂函数进行求导时,有没有一种比较直观得方法呢？下面我们再来学习一种求导得方法:对数求导法
对数求导法
对数求导得法则:根据隐函数求导得方法,对某一函数先取函数得自然对数,然后在求导。注:此方法特别适用于幂函数得求导问题、
例题:已知x＞0,求
此题若对其直接求导比较麻烦,我们可以先对其两边取自然对数,然后再把它瞧成隐函数进行求导,就比较简便些。如下
解答:先两边取对数:　,把其瞧成隐函数,再两边求导

因为,所以
例题:已知,求
此题可用复合函数求导法则进行求导,但就是比较麻烦,下面我们利用对数求导法进行求导
解答:先两边取对数再两边求导因为,所以
函数得微分
学习函数得微分之前,我们先来分析一个具体问题:一块正方形金属薄片受温度变化得影响时,其边长由ｘ0变到了ｘ0+△x,则此薄片得面积改变了多少？
解答:设此薄片得边长为x,面积为Ａ,则A就是ｘ得函数: 薄片受温度变化得影响面积得改变量,可以瞧成就是当自变量x从x0取得增量△x时,函数A相应得增量△Ａ,即:。从上式我们可以瞧出,△A分成两部分,第一部分就是△ｘ得线性函数,即下图中红色部分;第二部分即图中得黑色部分,当△ｘ→0时,它就是△x得高阶无穷小,表示为:
由此我们可以发现,如果边长变化得很小时,面积得改变量可以近似得用地一部分来代替。下面我们给出微分得数学定义:
函数微分得定义:设函数在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,若函数得增量可表示为,其中A就是不依赖于△ｘ得常数,就是△x得高阶无穷小,则称函数在点x