高等数学基本概念、基本公式.doc
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1、目 录一、函数与极限21、集合得概念2、常量与变量32、函数43、函数得简单性态44、反函数5、复合函数6、初等函数6、双曲函数及反双曲函数78、数列得极限9、函数得极限910、函数极限得运算规则11一、函数与极限1、集合得概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫集合(简称集)、集合具有确定性(给定集合得元素必须就是确定得)与互异性(给定集合中得元素就是互不相同得)。比如“身材较高得人不能构成集合,因为它得元素不就是确定得。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合,用小写拉丁字母a、b、c表示集合中得元素、如果a就是集合A中得元素,就说a属于,记作:aA,否则就说a不属于,
2、记作:a。 、全体非负整数组成得集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N、所有正整数组成得集合叫做正整数集。记作N或+、全体整数组成得集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成得集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成得集合叫做实数集、记作R、集合得表示方法、列举法:把集合得元素一一列举出来,并用“”括起来表示集合、描述法:用集合所有元素得共同特征来表示集合。集合间得基本关系、子集:一般地,对于两个集合、B,如果集合A中得任意一个元素都就是集合B得元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B得子集,记作A B(或B A)。、相等:如何集合A就是集合B得子集,且集合B就是集合A得子集,此时集合
3、A中得元素与集合B中得元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。、真子集:如何集合就是集合B得子集,但存在一个元素属于但不属于A,我们称集合A就是集合得真子集。、空集:我们把不含任何元素得集合叫做空集。记作 ,并规定,空集就是任何集合得子集。、由上述集合之间得基本关系,可以得到下面得结论:、任何一个集合就是它本身得子集。即A A、对于集合A、B、C,如果就是B得子集,B就是得子集,则A就是得子集。、我们可以把相等得集合叫做“等集”,这样得话子集包括“真子集”与“等集”。集合得基本运算、并集:一般地,由所有属于集合或属于集合B得元素组成得集合称为与B得并集。记作B。(在求并集时,它们得公
4、共元素在并集中只能出现一次。)即ABxxA,或B。、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B得元素组成得集合称为A与得交集。记作AB。即ABxA,且xB、补集:全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及得所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A得所有元素组成得集合称为集合A相对于全集U得补集。简称为集合A得补集,记作CA。即U=x|x,且x A、集合中元素得个数、有限集:我们把含有有限个元素得集合叫做有限集,含有无限个元素得集合叫做无限集。、用card来表示有限集中元素得个数。例如A=,b,c,则c(A)=3。、一般地,对任意两个集
5、合A、B,有crd()+card(B)ca(A)+cad(AB)我得问题:、学校里开运动会,设Axx就是参加一百米跑得同学,B=x就是参加二百米跑得同学,C=就是参加四百米跑得同学。学校规定,每个参加上述比赛得同学最多只能参加两项,请您用集合得运算说明这项规定,并解释以下集合运算得含义。、AB;、A。、在平面直角坐标系中,集合C=(x,y)y表示直线y,从这个角度瞧,集合(,y)方程组:2xy=1,x+4y=5表示什么?集合C、D之间有什么关系?请分别用集合语言与几何语言说明这种关系、3、已知集合A=x1x3,B=x(-1)(x)0。试判断就是不就是A得子集?就是否存在实数a使A成立?、对于有
6、限集合A、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间得关系呢?5、无限集合A=,2,3,4,n,2,4,6,8,2n,您能设计一种比较这两个集合中元素个数多少得方法吗?2、常量与变量、变量得定义:我们在观察某一现象得过程时,常常会遇到各种不同得量,其中有得量在过程中不起变化,我们把其称之为常量;有得量在过程中就是变化得,也就就是可以取不同得数值,我们则把其称之为变量。注:在过程中还有一种量,它虽然就是变化得,但就是它得变化相对于所研究得对象就是极其微小得,我们则把它瞧作常量。、变量得表示:如果变量得变化就是连续得,则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说,区间就是指介于某两点之
7、间得线段上点得全体、区间得名称区间得满足得不等式区间得记号区间在数轴上得表示闭区间axba,b开区间ax(,b)半开区间axb或axb(a,b或a,b)以上我们所述得都就是有限区间,除此之外,还有无限区间:a,+):表示不小于a得实数得全体,也可记为:x;(,b):表示小于得实数得全体,也可记为:xb;(,):表示全体实数,也可记为:-+注:其中-与+,分别读作负无穷大与正无穷大,它们不就是数,仅仅就是记号。、邻域:设与就是两个实数,且0、满足不等式x得实数x得全体称为点得邻域,点称为此邻域得中心,称为此邻域得半径。、函数、函数得定义:如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,量y按照一定
8、得法则总有确定得数值与它对应,则称y就是得函数。变量得变化范围叫做这个函数得定义域、通常叫做自变量,y叫做函数值(或因变量),变量得变化范围叫做这个函数得值域。注:为了表明y就是得函数,我们用记号yf(x)、yF()等等来表示。这里得字母”f”、F表示y与x之间得对应法则即函数关系,它们就是可以任意采用不同得字母来表示得。如果自变量在定义域内任取一个确定得值时,函数只有一个确定得值与它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数得定义可知,一个函数得构成要素为:定义域、对应关系与值域。由于值域就是由定义域与对应关系决定得,所以,如果两个函数得定义域与对
9、应关系完全一致,我们就称两个函数相等。、域函数得表示方法a):解析法:用数学式子表示自变量与因变量之间得对应关系得方法即就是解析法。例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点得圆得方程就是:x2+y2=r2b):表格法:将一系列得自变量值与对应得函数值列成表来表示函数关系得方法即就是表格法。例:在实际应用中,我们经常会用到得平方表,三角函数表等都就是用表格法表示得函数。):图示法:用坐标平面上曲线来表示函数得方法即就是图示法。一般用横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量。例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点得圆用图示法表示为:、函数得简单性态、函数得有界性:如果对属于某一区间I得所有值总有f(x)M
10、成立,其中就是一个与x无关得常数,那么我们就称f(x)在区间有界,否则便称无界。注:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数例题:函数cosx在(,)内就是有界得.、函数得单调性:如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大,即:对于(,b)内任意两点1及x,当xx2时,有 ,则称函数在区间(,)内就是单调增加得。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小,即:对于(a,b)内任意两点x1及x,当x1时,在区间(0,1)得值为负;在区间(,+)得值为正;在定义域内单调增。幂函数a为任意实数这里只画出部分函数图形得一部分、令a=mna):当m为偶数n为奇数时,y就是偶函数;):当,n都就
11、是奇数时,就是奇函数;c):当奇n偶时,在(,)无意义、三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数):正弦函数就是以为周期得周期函数b):正弦函数就是奇函数且反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在-2,/2上,并称其为反正弦函数得主值。、初等函数:由基本初等函数与常数经过有限次得有理运算及有限次得函数复合所产生并且能用一个解析式表出得函数称为初等函数.例题:就是初等函数。7、双曲函数及反双曲函数、双曲函数:在应用中我们经常遇到得双曲函数就是:(用表格来描述)函数得名称函数得表达式函数得图形函数得性质双曲正弦):其定义域为:(,+);b):就
12、是奇函数;c):在定义域内就是单调增双曲余弦):其定义域为:(,+);b):就是偶函数;):其图像过点(,1);双曲正切a):其定义域为:(,+);b):就是奇函数;c):其图形夹在水平直线1及y-1之间;在定域内单调增;我们再来瞧一下双曲函数与三角函数得区别:双曲函数得性质三角函数得性质s与h就是奇函数,ch就是偶函数sinx与tan就是奇函数,sx就是偶函数它们都不就是周期函数都就是周期函数双曲函数也有与差公式: 、反双曲函数:双曲函数得反函数称为反双曲函数.a):反双曲正弦函数 其定义域为:(,+);b):反双曲余弦函数 其定义域为:1,);c):反双曲正切函数 其定义域为:(-1,+1
13、);、数列得极限我们先来回忆一下初等数学中学习得数列得概念、 、数列:若按照一定得法则,有第一个数a,第二个数a2,依次排列下去,使得任何一个正整数n对应着一个确定得数n,那末,我们称这列有次序得数a,a,an,为数列。数列中得每一个数叫做数列得项。第项a叫做数列得一般项或通项、注:我们也可以把数列n瞧作自变量为正整数得函数,即:n,它得定义域就是全体正整数 、极限:极限得概念就是求实际问题得精确解答而产生得。例:我们可通过作圆得内接正多边形,近似求出圆得面积、设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它得面积记为A;再作圆得内接正十二边形,其面积记为A;再作圆得内接正二十四边形,其面积记为3;依次循
14、下去(一般把内接正621边形得面积记为An)可得一系列内接正多边形得面积:A,A,An,它们就构成一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形得边数无限增加时,An也无限接近某一确定得数值(圆得面积),这个确定得数值在数学上被称为数列A1,A,A3,An,当(读作n趋近于无穷大)得极限。注:上面这个例子就就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)得割圆术。 、数列得极限:一般地,对于数列来说,若存在任意给定得正数(不论其多么小),总存在正整数N,使得对于nN时得一切不等式都成立,那末就称常数a就是数列得极限,或者称数列收敛于 .记作:或注:此定义中得正数只有任意给定,不等式才能表达出与a无限接近得意思
15、。且定义中得正整数N与任意给定得正数就是有关得,它就是随着得给定而选定得。、数列得极限得几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它得一个几何解释,以使我们能理解它。数列极限为a得一个几何解释:将常数a及数列在数轴上用它们得对应点表示出来,再在数轴上作点得邻域即开区间(a,a+),如下图所示: 因不等式与不等式等价,故当nN时,所有得点都落在开区间(a-,a+)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。注:至于如何求数列得极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论、 、数列得有界性:对于数列,若存在着正数M,使得一切都满足不等式M,则称数列就是有界得,若正数M不存在,则可说数列
16、就是无界得、定理:若数列收敛,那末数列一定有界、注:有界得数列不一定收敛,即:数列有界就是数列收敛得必要条件,但不就是充分条件、例:数列 1,1,1,(1)n+,就是有界得,但它就是发散得。9、函数得极限前面我们学习了数列得极限,已经知道数列可瞧作一类特殊得函数,即自变量取 1内得正整数,若自变量不再限于正整数得顺序,而就是连续变化得,就成了函数。下面我们来学习函数得极限、函数得极值有两种情况:):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0,如果在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数得极值得情况,那么函数得极限如何呢 ?下面我们结合着数列得极限来学习一下函
17、数极限得概念!、函数得极限(分两种情况):自变量趋向无穷大时函数得极限定义:设函数,若对于任意给定得正数(不论其多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式 得一切x,所对应得函数值都满足不等式 那末常数A就叫做函数当x时得极限,记作:下面我们用表格把函数得极限与数列得极限对比一下:数列得极限得定义函数得极限得定义存在数列与常数A,任给一正数0,总可找到一正整数N,对于nN得所有都满足则称数列,当x时收敛于A记:、存在函数与常数A,任给一正数0,总可找到一正数X,对于适合得一切x,都满足,函数当x时得极限为A,记:。从上表我们发现了什么 ??试思考之b):自变量趋向有限值时函数得极限。我们先来
18、瞧一个例子。例:函数,当x1时函数值得变化趋势如何?函数在x=处无定义。我们知道对实数来讲,在数轴上任何一个有限得范围内,都有无穷多个点,为此我们把x1时函数值得变化趋势用表列出,如下图:从中我们可以瞧出x1时,2、而且只要与有多接近,就与2有多接近、或说:只要与2只差一个微量,就一定可以找到一个,当时满足0;b):写出不等式;c):解不等式能否得出去心邻域0,若能; d):则对于任给得0,总能找出,当0时,成立,因此0、函数极限得运算规则前面已经学习了数列极限得运算规则,我们知道数列可作为一类特殊得函数,故函数极限得运算规则与数列极限得运算规则相似。、函数极限得运算规则 若已知x(或x)时,
19、、则: 推论: 在求函数得极限时,利用上述规则就可把一个复杂得函数化为若干个简单得函数来求极限、例题:求解答:例题:求此题如果像上题那样求解,则会发现此函数得极限不存在、我们通过观察可以发现此分式得分子与分母都没有极限,像这种情况怎么办呢?下面我们把它解出来、解答:注:通过此例题我们可以发现:当分式得分子与分母都没有极限时就不能运用商得极限得运算规则了,应先把分式得分子分母转化为存在极限得情形,然后运用规则求之。函数极限得存在准则学习函数极限得存在准则之前,我们先来学习一下左、右得概念、 我们先来瞧一个例子:例:符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0与从右趋于0时函数极限就是不相同得.为此我
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