洛必达法则详述与其在高考中的实际运用.pdf

一LHospital 法则（洛必达法则）法则 1设函数of(x)和g(x)在点 a 的某个去心邻域U(a,d)内有定义，且满足：(1)lim f x=0及limg x=0；xaxa()()(2)f(x)和g(x)在f xU(a,d)内可导，且g(x)0；o()=A（A 为常数，或为）g(x)f(x)fx则有lim=lim=A。gxg(x)(3)limxaxaxa法则 2设函数xaf(x)和g(x)在点 a 的某个去心邻域U(a,d)内有定义，且满足：o(1)limgx；(2)f(x)和g(x)在U(a,d)内可导,且g(x)0；f xxao()=A（A 为常数，或为）g(x)f(x)fx则有lim=lim=Agxg(x)(3)limxaxa利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-，x 2.洛必达法则可处理a+，x-洛必达法则也成立。a000，0，1，0，型。00003.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，0，1，0，型0定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。lnx(化为型)x01x0 x1x(化为0型，但无法求解)=limx0+10lnx0型：limxlnx=lim+-型：lim(tanx-secx)=limppx21x20sinx-1cosx=lim=0(通分后化为型)0cosxxp-sinxx22=ex0cosx2x1lim cosx)=e型：x0(0lncosxx0 x2limlim-sinx=e-12(化为0型)0型)=1(化为00lim x型：x+lim x+sin1x=e1lim sin lnxx+x=elnxx+x=lime1x+x=1(化为limsinx型：x0=elnx+x0cscxlimex0+xlim1(-cscxcotx)=ex0+lim-sinxtanxx型)变形举例:limx1+x2x-=lim-x-11+1x2=-1(不变形求导无法求出)二高考题处理1.(2010 年全国新课标理)设函数f(x)e 1 xax。（1）若a 0，求f(x)的单调区间；（2）若当x 0时f(x)0，求a的取值范围原解：原解：（1）a 0时，f(x)e 1 x，f(x)e 1.xxx2当x(,0)时，f(x)0；当x(0,)时，f(x)0.故f(x)在(,0)单调减，在(0,)单调增（II）f(x)e 12axx由（I）知e 1 x，当且仅当x 0时等号成立.故f(x)x2ax (12a)x，x从而当12a 0，即a 1时，f(x)0(x 0)，而f(0)0，2于是当x 0时，f(x)0.由e 1 x(x 0)可得exx1 x(x 0).从而当a 1时，2f(x)e 12a(exx1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0,ln 2a)时，f(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln 2a)时，f(x)0.综合得a的取值范围为,1 2原解在处理第（原解在处理第（II II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解另解:（II）当x 0时，f(x)0，对任意实数 a,均在f(x)0；当x 0时，f(x)0等价于a ex x 1x2x令gxex x 1x2(x0),则g(x)xe 2e x 2xx3，令hx xex2e x 2x 0，x则hx xexe1，hx xe 0，xx知hx在0,上为增函数，hx h0 0；知hx在0,上为增函数，hx h0 0；gx 0，g(x)在0,上为增函数。由洛必达法则知，limx0ex x 1x21limelime，2x02xx02xx故a 121。2综上，知 a 的取值范围为,