【广东省广州市】2017年高考一模数学(文科)试卷-答案.pdf

-1-/15 广东省广州市广东省广州市 2017 年高考一模数学年高考一模数学（文科）（文科）试卷试卷 答答 案案 一、选择题 15BACBA 610CBCDC 1112DB 二、填空题 1352 142212xy 153 16212 三、解答题 17解：（）Sn=2an2（nN*），n=1 时，a1=2a12，解得 a1=2 n2 时，an=SnSn1=2an2（2an12），化为：an=2an1，数列an是等比数列，公比为 2 an=2n 所以12 22nnna（nN*）（）Sn=2n+12 数列Sn的前 n 项和 Tn=2n=2n+242n 18解：（）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为 0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86 ，则0.0120.0320.05250.0762050.5,x 解得390019x （）由甲，乙两条流水线各抽取的 50 件产品可得，甲流水线生产的不合格品有 15 件，-2-/15 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P 甲 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为10.0120.02855P 乙，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两条流水线生产 的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105（）2 2列联表：甲生产线 乙生产线 合计 合格品 35 40 75 不合格品 15 10 25 合计 50 50 100 10 分 则2210035060041.350 50 75 253K，因为1.32.072,所以没有 85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”19解：（）证明平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，DC平面ABD 因为AB平面ABD，所以DCAB 又因为折叠前后均有ADAB，DCADD 所以AB平面ADC （）由（）知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角 依题意tan6CDCADAD，因为1,AD 所以6CD 设0ABx x，则21BDx，因为ABDBDC，所以ABDCADBD，即2611xx，解得2x，故2,3,3ABBDBC -3-/15 由于AB平面ADC，ABAC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE322BC，同理DE322BC，所以 因为DC平面ABD，所以1333A BCDABDVCD S 设点B到平面ADE的距离为d，则113326ADEB ADEA BDEA BCDd SVVV，所以62d，即点B到平面ADE的距离为62 20解：（）因为椭圆C的离心率为32，且过点2,1A，所以22411ab，32ca 因为222abc，解得28a，22b，所以椭圆C的方程为22182xy（）解法一：因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线2x 对 称设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为k 所以直线PA的方程为12yk x，直线AQ的方程为12yk x 设点,PPP xy，,QQQ xy，由2212,1,82yk xxy 消去y，得222214168161640kxkk xkk 因为点2,1A在椭圆C上，所以2x 是方程的一个根，则2216164214Pkkxk，所以2288214Pkkxk -4-/15 同理2288214Qkkxk 所以21614PQkxxk 又28414PQPQkyyk xxk 所以直线PQ的斜率为12PQPQPQyykxx 所以直线PQ的斜率为定值，该值为12 法 2：设点1122,P x yQ xy，则直线PA的斜率1112PAykx，直线QA的斜率2212QAykx 因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线2x 对称 所以PAQAkk，即1112yx22102yx，因为点1122,P x yQ xy在椭圆C上，所以2211182xy，2222182xy 由得22114410 xy，得111112241yxxy，同理由得222212241yxxy，由得12122204141xxyy，化简得12211212240 x yx yxxyy，由得12211212240 x yx yxxyy，得12122xxyy 得22221212082xxyy，得12121212142yyxxxxyy -5-/15 所以直线PQ的斜率为121212PQyykxx为定值 法 3：设直线PQ的方程为ykxb，点1122,P x yQ xy，则1122,ykxb ykxb，直线PA的斜率1112PAykx，直线QA的斜率2212QAykx 因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线2x 对称 所以PAQAkk，即1112yx2212yx，化简得12211212240 x yx yxxyy 把1122,ykxb ykxb代入上式，并化简得 121221 2440kx xbkxxb （*）由22,1,82ykxbxy消去y得222418480kxkbxb，（*）则2121222848,4141kbbxxx xkk，代入（*）得2222488124404141kbkb bkbkk，整理得21210kbk，所以12k 或1 2bk 若1 2bk，可得方程（*）的一个根为2，不合题意 若12k 时，合题意 所以直线PQ的斜率为定值，该值为12 21解：（）法 1：函数 lnaf xxx的定义域为0,由 lnaf xxx，得 221axafxxxx -6-/15 因为0a，则0,xa时，0fx；,xa时，0fx 所以函数 f x在0,a上单调递减，在,a 上单调递增 当xa时，minln1f xa 当ln10a，即0a1e时，又 1ln10faa，则函数 f x有零点 所以实数a的取值范围为10,e 法 2：函数 lnaf xxx的定义域为0,由 ln0af xxx，得lnaxx 令 lng xxx，则 ln1gxx 当10,xe时，0gx；当1,xe时，0gx 所以函数 g x在10,e上单调递增，在1,e上单调递减 故1xe时，函数 g x取得最大值1111lngeeee 因而函数 lnaf xxx有零点，则10ae 所以实数a的取值范围为10,e（）要证明当2ae时，xf xe，即证明当0,x 2ae时，lnxaxex，即lnxxxaxe 令 lnh xxxa，则 ln1h xx 当10 xe时，0fx；当1xe时，0fx 所以函数 h x在10,e上单调递减，在1,e上单调递增 当1xe时，min1h xae -7-/15 于是，当2ae时，11.h xaee 令 xxxe，则 1xxxxexeex 当01x时，0fx；当1x 时，0fx 所以函数 x在0,1上单调递增，在1,上单调递减 当1x 时，max1xe 于是，当0 x 时，1.xe 显然，不等式、中的等号不能同时成立 故当2ae时，xf xe 22解：（）由直线 l 的参数方程3,1,xtyt 消去t得40 xy，所以直线l的普通方程为40 xy 由2 2cos42 2 cos cossin sin2cos2sin44，得22 cos2 sin 将222,cos,sinxyxy代入上式，得曲线C的直角坐标方程为2222xyxy，即22112xy （）法 1：设曲线C上的点为12cos,12sinP，则点P到直线l的距离为12cos12sin42d 2 sincos22 2sin24.2 当sin14 时，max2 2d，-8-/15 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2 法 2：设与直线l平行的直线为:0lxyb，当直线l与圆C相切时，得1 122b，解得0b 或4b（舍去），所以直线l的方程为0 xy 所以直线l与直线l的距离为042 22d 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2 23解：（）因为 13f，所以1 23aa 当0a 时，得1 23aa，解得23a ，所以203a；当102a时，得123aa，解得2a，所以102a；当12a 时，得123aa，解得43a，所以1423a；综上所述，实数a的取值范围是2 4,3 3 （）因为1,axR，所以 1212f xxaxaxaxa 31a 31a 2 广东省广州市广东省广州市 2017 年高考一模数学（文科）试卷年高考一模数学（文科）试卷 解解 析析 一、选择题一、选择题 1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=1i 的虚部是1 -9-/15 故选：B 2【考点】集合的表示法【分析】集合x|x2+ax=0=0，1，则 x2+ax=0 的解为 0，1，利用韦达定理，求出 a 的值【解答】解：由题意，0+1=a，a=1，故选 A 3【考点】二倍角的余弦【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求 cos，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解【解答】解：tan=2，且，4【考点】循环结构【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出【解答】解：经过第一次循环得到的结果为 k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为 k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为 k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为 k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的 k 为 3 故选 B 5【考点】函数的值【分析】由解析式先求出 f（3），由指数的运算法则求出（f（3）的值【解答】解：由题意知，f（x）=，则 f（3）=1，所以 f（f（3）=4=，故选 A 6【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出 a，由双曲线的定义求出|PF2|【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，a=3 由双曲线的定义可得|PF2|2=6，|PF2|=8，故选 C -10-/15 7【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3 反一正，全反，其中 3 反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共 7 中情况，故 P=，故选：B 8【考点】简单空间图形的三视图【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 PABCD，作出图形，可得结论【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 PABCD，如图所示，该几何体的俯视图为 C 故选：C 9【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由曲线 y=f（x）在点 P（x0，f（x0）处的切线方程为 x+y=0，导函数等于1 求得点（x0，f（x0）的横坐标，进一步求得 f（x0）的值，可得结论【解答】解：f（x）=x3+ax2，f（x）=3x2+2ax，函数在点（x0，f（x0）处的切线方程为 x+y=0，3x02+2ax0=1，x0+x03+ax02=0，解得 x0=1 当 x0=1 时，f（x0）=1，当 x0=1 时，f（x0）=1 故选：D 10【考点】球的体积和表面积 -11-/15 【分析】由题意，PC 为球 O 的直径，求出 PC，可得球 O 的半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：由题意，PC 为球 O 的直径，PC=2，球 O 的半径为，球 O 的表面积为 45=20，故选 C 11【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出 的值，由条件和周期共识求出 的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可【解答】解：由题意得，f（x）=sin（x+）+cos（x+）=sin（x+）+cos（x+）=，函数 f（x）（0，0）是奇函数，则，又 0，=，f（x）=，y=与 f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，T=，则=4，即 f（x）=，由得 4x（0，），则 f（x）在上不是单调函数，排除 A、C；由得 4x，则 f（x）在上是增函数，排除 B，故选：D 12【考点】数列的求和【分析】函数 f（x）=+cos（x），可得 f（x）+f（1x）=0，即可得出【解答】解：函数 f（x）=+cos（x），f（x）+f（1x）=+cos（x）+=1+0=1，则=2016=1008 故选：B -12-/15 二、填空题 13【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：=（1x，3），（），2（1x）3=0，解得 x=则 =2=故答案为：14【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点 C 到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，抛物线的焦点为 F（0，1）即圆 C 的圆心为 C（0，1）圆 C 与直线 y=x+3 相切，圆 C 的半径为点 C 到直线 y=x+3 的距离 d=圆 C 的方程为 x2+（y1）2=2 故答案为：x2+（y1）2=2 15【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有 a1，此时阴影部分的面积 S=21+（a1）a+1（3a）=5，解可得 a 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，不等式组或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当 a1 时，其阴影部分面积 SSAOB=21=1，不合题意，必有 a1，当 a1 时，阴影部分面积 S=21+（a1）a+1（3a）=5，解可得 a=3 或1（舍）；故答案为：3 -13-/15 16【考点】三角形中的几何计算【分析】设 A，B，C 所对的边 a，b，c，则根据余弦定理可得 a2+b2+c2=2abcosC，以及 b=c+可得 c 的长，再利用均值不等式即可求出答案【解答】解：设 A，B，C 所对的边 a，b，c，则根据余弦定理可得 a2+b2+c2=2abcosC，将 b=c+代入上式，可得 a2+c+=ac+，化简可得 c=，所以ABC 的周长 l=a+b+c=+a，化简可得 l=3（a1）+，因为 a1，所以由均值不等式可得 3（a1）=时，即 6（a1）2=3，解得 a=+1 时，ABC 的周长最短，故答案为：+1 三、解答题 17【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）Sn=2an2（nN*），可得 n=1 时，a1=2a12，解得 a1n2 时，an=SnSn1，再利用等比数列的通项公式即可得出（II）利用等比数列的求和公式即可得出 18【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图【分析】（）利用（0.012+0.032+0.052）5+0.076（x205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；-14-/15 （）计算可得 K2的近似值，结合参考数值可得结论 19【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（）由题意结合面面垂直的性质可得 BDDC，有 DC平面 ABD，进一步得到 DCAB，再由线面垂直的判定可得 AB平面 ADC；（）由（）知 DC平面 ABD，可得 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD，求解直角三角形得到 AB 的值，然后利用等积法求得点 B 到平面 ADE 的距离 20【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由椭圆 C 的离心率为，且过点 A（2，1），列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（）法一：由PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，知 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x=2 对称设直线 PA 的方程为 y1=k（x2），直线 AQ 的方程为 y1=k（x2）由，得（1+4k2）x2（16k28k）x+16k216k4=0 由点 A（2，1）在椭圆 C 上，求出 同理，由此能求出直线 PQ 的斜率为定值 法二：设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线 PA 的斜率，直线 QA 的斜率 由PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，知，再由点 P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C 上，能求出直线 PQ 的斜率为定值 法三：设直线 PQ 的方程为 y=kx+b，点 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA 的斜率，直线 QA 的斜率 由PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b28=0，由此利用韦达定理能求出直线 PQ 的斜率为定值 -15-/15 21【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）法一：求出函数 f（x）的导数，根据函数的单调性求出 a 的范围即可；法二：求出 a=xlnx，令 g（x）=xlnx，根据函数的单调性求出 a 的范围即可；（）问题转化为 xlnx+axex，令 h（x）=xlnx+a，令（x）=xex，根据函数的单调性证明即可 22【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）将直线 l 的参数方程消去 t 参数，可得直线 l 的普通方程，将 cos=x，sin=y，2=x2+y2，带入=2cos（）可得曲线 C 的直角坐标方程（）法一：设曲线 C 上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值 法二：设与直线 l 平行的直线为 l：x+y+b=0，当直线 l与圆 C 相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值 23【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）通过讨论 a 的范围得到关于 a 的不等式，解出取并集即可；（）基本基本不等式的性质证明即可