2016年上海高考数学(理科)真题含解析.pdf

1 2016 年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14 题，满分56 分）1.设 xR，则不等式31x的解集为 _【答案】(2,4)【解析】131x，即 24x，故解集为(2,4)2.设32iiz，其中i为虚数单位，则Im z_【答案】3【解析】i(32i)23iz，故 Im3z3.1l:210 xy,2l:210 xy,则12,ll的距离为 _【答案】255【解析】22112 5521d4.某次体检，6 位同学的身高（单位:米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是_（米）【答案】1.765.已知点(3,9)在函数()1xf xa 的图像上，则()f x 的反函数1()fx_【答案】2log(1)x【解析】319a，故2a，()12xf x2log(1)xy12()log(1)fxx6.如图，在正四棱柱1111ABCDAB C D中，底面ABCD 的边长为 3，1BD与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于_【答案】2 2【解析】3 2BD,122 23DDBD7.方程 3sin1cos2xx 在区间 0,2 上的解为 _ 2【答案】5,66x【解析】23sin22sinxx，即22sin3sin20 xx(2sin1)(sin2)0 xx1sin2x 5,66x8.在32nxx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_【答案】112【解析】2256n，8n通项88433882()(2)rrrrrrCxCxx取2r常数项为228(2)112C9.已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】7 33【解析】3,5,7abc，2221cos22abcCab3sin2C7 32sin3cRC10.设0,0ab，若关于,x y的方程组11axyxby无解，则 ab 的取值范围是 _【答案】(2,)【解析】由已知，1ab，且 ab，22abab11.无穷数列na由 k 个不同的数组成，nS为na的前n项和，若对任意*nN，2,3nS，则 k 的最大值为 _【答案】412.在平面直角坐标系中，已知(1,0)A,(0,1)B,P是曲线21yx上一个动点，则BP BA的取值范围是_【答案】0,12【解析】设(cos,sin)P,0,，(1,1)BA,(cos,sin1)BPcos0,12sin12 sin()14BP BA3 13.设,a bR,0,2 )c，若对任意实数x都有2sin(3)sin()3xabxc，则满足条件的有序实数组(,)a b c 的组数为 _【答案】4【解析】(i)若2a若3b，则53c；若3b，则43c(ii)若2a，若3b，则3c；若3b，则23c共4组14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A AA的中心，1(1,0)A，任取不同的两点,ijA A，点P满足0ijOPOAOA，则点P落在第一象限的概率是_【答案】528【解析】285528C二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）15.设 aR，则“1a”是“21a”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是()A.65cosB.65sinC.65cosD.65sin【答案】D【解析】2时，达到最大17.已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且limnnSS，下列条件中，使得*2()nSS nN恒成立的是()4 A.10a,0.60.7qB.10a,0.70.6qC.10a,0.70.8qD.10a,0.80.7q【答案】B【解析】1(1)1nnaqSq,11aSq,11q2nSS，即1(21)0naq若10a，则12nq，不可能成立若10a，则12nq，B成立18.设(),(),()f xg x h x 是定义域为R的三个函数，对于命题:若()()fxg x，()()f xh x，()()g xh x 均为增函数，则(),(),()f xg x h x 中至少有一个为增函数；若()()f xg x，()()f xh x，()()g xh x 均是以T为周期的函数，则(),(),()fxg xh x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()A.和均为真命题B.和均为假命题C.为真命题，为假命题D.为假命题，为真命题【答案】D【解析】不成立，可举反例2,1)1(3,xxf xxx,03,023,21()1,xxxxxxg x,0(0)2,xhxxxx()()()()f xg xf xTg xT()()()()f xh xf xTh xT()()()()g xh xg xTh xT前两式作差，可得()()()()g xh xg xTh xT结合第三式，可得()()g xg xT,()()h xh xT也有()()f xfxT正确故选 D 三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12 分）将边长为1的正方形11AAO O（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23，11AB 长为3，其中1B与C在平面11AAO O的同侧(1)求三棱锥111CO AB的体积(2)求异面直线1B C与1AA所成角的大小【解析】(1)连11O B，则111113AOA BB111O AB为正三角形11 134O A BS111111113312CO A BO A BVOOS(2)设点1B在下底面圆周的射影为B，连1BB，则11BBAA5 1BBC为直线1BC与1AA所成角（或补角）111BBAA连,BC BO OC113ABAB,23AC3BC3BOCBOC 为正三角形1BCBO11tan1BCBB CBB145BBC直线1B C与1AA所成角大小为4520（本题满分14 分）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线 C 上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF的中点，点F的坐标为(1,0)，如图(1)求菜地内的分界线C 的方程(2)菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为83。设M是 C 上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值【解析】(1)设分界线上任一点为(,)x y，依题意221(1)xxy可得2(01)yxx(2)设00(,)M xy，则01y200144yx设所表述的矩形面积为3S，则315(1)422S设五边形EMOGH 面积为4S，则43512113111144224OMPMGQSSSS13851326SS,411181143126SS五边形EOMGH 的面积更接近1S的面积21（本题满分14 分）本题共2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为1F、2F，直线 l 过2F且与双曲线交于,A B 两点(1)若 l 的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程6(2)设3b，若 l 的斜率存在，且11()0F AF BAB，求 l 的斜率【解析】(1)由已知21(1,0)Fb,22(1,0)Fb取21xb，得2yb1223F FF A21221F Fb,22F Ab22213bb即4222344(32)(2)0bbbb2b渐近线方程为2yx(2)若3b，则双曲线为2213yx1(2,0)F,2(2,0)F设11(,)A x y,22(,)B xy，则111(2,)F Axy,122(2,)F Bxy,2121(,)ABxxyy111212(4,)F AF Bxxyy222211212121()4()0F AF BABxxxxyy(*)22221212133yyxx222221213()yyxx代入(*)式，可得2221214()4()0 xxxx直线 l 的斜率存在，故21xx121xx设直线 l 为(2)yk x，代入2233xy得2222(3)4(43)0kxk xk230k，且4222164(3)(43)36(1)0kkkk2122413kxxk235k155k直线 l 的斜率为15522（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分已知 aR，函数21()log()fxax(1)当5a时，解不等式()0f x(2)若关于x的方程2()log(4)250f xaxa的解集中恰有一个元素，求a的取值范围(3)设0a，若对任意1,12t，函数()f x 在区间 ,1t t上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围7【解析】(1)21log(5)0 x151x410(41)0 xxxx不等式的解为|0 x x或14x(2)依题意，221log()log(4)25aaxax1(4)250aaxax可得2(4)(5)10axax即(1)(4)10 xax当4a时，方程的解为1x，代入式，成立当3a时，方程的解为1x，代入式，成立当3a且4a时，方程的解为11,4xa若1x为方程的解，则110aax，即1a若14xa为方程的解，则1240aax，即2a要使得方程有且仅有一个解，则12a综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为12a或3a或4a(3)()f x 在 ,1t t上单调递减依题意，()(1)1f tf t即2211log()log()11aatt112()1aatt，即1211(1)tattt t设 1tr，则10,2r21(1)(1)(2)32trrt trrrr当0r时，2032rrr当102r时，212323rrrrr函数2yxx在(0,2)递减219422rr112293332rra的取值范围为23a23（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分若无穷数列na满足：只要*(),pqaap qN，必有11pqaa，则称na具有性质P.(1)若na具有性质P.且11a,22a,43a,52a,67821aaa，求3a；8(2)若无穷数列nb是等差数列，无穷数列nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc，判断na是否具有性质P，并说明理由；(3)设nb是无穷数列，已知1sinnnnaba*()nN，求证：“对任意1a，na都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”.【解析】(1)252aa36aa473aa582aa6782116aaa316a(2)设nb的公差为 d，nc的公差为q，则0q51480bbd20d2019nbn451181cqc13q51()3nnc512019()3nnnnabcn182a,582a而2212748a,6130410133a15aa但62aa故na不具有性质P(3)充分性：若nb为常数列，设nbC则1sinnnaCa若存在,p q使得pqaa，则11sinsinppqqaCaCaa,故na具有性质P必要性：若对任意1a，na具有性质P则211sinaba设函数1()f xxb,()sing xx由(),()f xg x 图像可得，对任意的1b，二者图像必有一个交点一定能找到一个1a，使得111sinaba2111sinabaa1nnaa故1211sinsinnnnnnnbaaaabnb是常数列