2015年高考理科数学安徽卷-答案.pdf

1/10 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意2i2i(1 i)22i1 i1 i(1 i)(1 i)2 ，其对应的点坐标为(1,1)，位于第二象限，故选 B【提示】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论【考点】复数的代数表示及复数的几何意义 2.【答案】A【解析】由选项可知，B、C 项均不是偶函数，故排除 B、C；A、D 项是偶函数，但 D 项与x轴没有交点，即 D 项不存在零点，故选 A【提示】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择【考点】函数的奇偶性和零点的判断 3.【答案】A【解析】由022xq：，解得0 x，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，故选 A【提示】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断【考点】充分必要条件的判断，指数函数的单调性的运用 4.【答案】C【解析】由题意，A 选项可得交点在x轴上，不符合条件，B 选项的焦点在x轴，不符合条件，故排除 A、B，C 选项的焦点在y轴，渐近线方程为2214yx，即2yx，符合条件，D 选项的焦点在y轴，渐近线方程为12yx，不符合条件 故选 C【提示】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案【考点】双曲线的方程和性质 5.【答案】D 2/10 【解析】对于 A，若，垂直于同一平面，则，不一定平行，如果墙角的三个平面；故 A 错误；对于 B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故 B 错误；对于 C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故 C 错误；对于 D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选 D【提示】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系 6.【答案】C【解析】设样本数据1x，2x，10 x的标准差为DX，则8DX，即方差64DX，而数据121x，221x，1021x的方差22(21)2264DXDX，所以其标准差为226416，故选 C【提示】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可【考点】方差和标准差的计算 7.【答案】B【解析】依题意，该几何体是地面为等腰直角的三棱锥，该四面体的直观图如下，则12212BCDABDSS，1322sin6022ABCACDSS，所以四面体的表面积32 12232BCDABDABCACDSSSSS，故选 B【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积【考点】由三视图求面积和体积 8.【答案】D【解析】依题意，(2)2BCACABabab，故|2b，故 A 错误，|2|2|2aa，所以|1a，又22(2)4|22 2cos602AB ACaabaab，所以1a b ，故 B，C 错误；3/10 设BC中点为D，则2ABACAD，且ADBC，所以(4)abBC，故选 D【提示】由题意，知道BCACABb，根据2ABACAD且ADBC解之【考点】平面向量的数量积公式的运用 9.【答案】C【解析】由2()()axbf xxc及图可知，xc，0c；当0 x 时，2(0)0bfc，所以0b；当0y，0axb，所以0bxa，所以0a 故0a，0b，0c，故选 C【提示】分别根据函数的定义域，函数零点以及(0)f的取值进行判断即可【考点】函数图象的识别和判断 10.【答案】A【解析】由题意，()sin()f xAx(000)A，22|T，所以2，则()sin()f xAx，而当23x 时，2322 32kkZ，解得2 6kkZ，所以()sin 2(0)6f xAxA，则当22 62xk，即6xk时，f x取得最大值 要比较(2)(2)(0)fff，的大小，只需判断220，与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知02，与6比较近，2与56比较近，所以当0k 时，6x，此时00.526，21.476，当1k 时，56x ，此时520.66 ，所以(2)(2)(0)fff，故选 A【提示】依题意可求2，又当23x 时，函数()f x取得最小值，可解得，从而可求解析式()sin 26f xAx，利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小 4/10 【考点】三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质 第卷 二、填空题 11.【答案】35【解析】根据所给的二项式写出展开式的通项，7321 41771rrrrrrTCxC xx，令2145r，得4r，则5x的系数是4735C 【提示】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r 项，整理成最简形式，令x的指数为 5求得r，再代入系数求出结果【考点】二项式定理的应用 12.【答案】6【解析】由题意2sin，转化为直角坐标方程为228xyy，即22(4)16xy；直线3R转化为直角坐标方程为3yx，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d，圆心的半径为r，则圆到直线距离的最大值22|04|42461(3)Ddr 【提示】圆可化为2sin，转化为直角坐标方程，直线3R转化为直角坐标方程为3yx 利用点到直线的距离公式可得圆心(0,4)C到直线的距离d，可得圆8sin上的点到直线3R距离的最大值dr【考点】简单曲线的极坐标方程和点到直线的距离公式 13.【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下：1a，1n；1311 12a ，2n；L 3217115a ，3n；751171112a ，4n，此时，171.4140.0030.00512，所以输出4n 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的an，的值，当1712a 时不满足条件 5/10|1.414|0.002670.005a，退出循环，输出n的值为4【考点】循环结构的程序框图 14.【答案】21n【解析】由题意得149aa，23148a aa a，解得11a，48a 或者18a，41a，而数列na是递增的等比数列，所以11a，48a，即3418aqa，所以2q，因而数列na的前n项和1(1)1221112nnnnaqSq【提示】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列na的前n项和【考点】等比数列的性质，数列na的前n项和 15.【答案】【解析】令3()f xxaxb，求导得2()3fxxa，当0a 时，()0fx，所以()f x单调递增，且至少存在一个数使()0f x，至少存在一个数使()0f x，所以3()f xxaxb必有一个零点，即方程30 xaxb仅有一根，故正确；当0a 时，若3a ，则2()333(1)(1)fxxxx，易知，()f x在(,1)，(1,)上单调递增，在 1,1上单调递减，所以()(1)132f xfbb 极大，()(1)1 320f xfbb 极小，解得2b或2b，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是【提示】对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值【考点】函数的零点与方程的根的关系 三、解答题 16.【答案】10【解析】解：设ABC的内角,A B C所对边的长分别是,a b c，由余弦定理得 2222232cos(3 2)62 3 26 cos1836(36)904abcbcBAC ，所以3 10a 又由正弦定理得sin310sin103 10bBACBa，由题设知04B，6/10 所以213 10cos1 sin11010BB，在ABD中，由正弦定理得sin6sin310sin(2)2sincoscosABBBADBBBB【提示】由已知及余弦定理可解得a的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，在ABD中，由正弦定理可求得AD的长【考点】正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用 17.【答案】（）310（）见解析【解析】（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则1123253()10A AP AA（）X的可能取值为 200，300，400，22251(200)10AP XA；31123232353(300)10AC C AP XA；136(400)1(200)(300)1101010P XP XP X 故X的分布列为 X 200 300 400 P 110 310 610 136200300400350101010EX 【提示】（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可（）X的可能取值为：200，300，400，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列 18.【答案】（）1nnxn（）见解析【解析】（）依题意得：2221(1)(22)nnyxnx，曲线221nyx在点(1 2)，处的切线斜率为22n，7/10 从而切线方程为2(22)(1)ynx，令0y，解得切线与x轴交点的横坐标1111nnxnn （）由题设和（）中的计算结果知22222213211321242nnnTx xxn LL，当1n时，114T；当2n时，因为2222212221(21)(21)12212(2)(2)2nnnnnnxnnnnn；所以2112112234nnTnnL，综上可得对任意的n*N，均有14nTn【提示】（）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标（）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立【考点】切线方程的求法和放缩法的应用 19.【答案】（）见解析（）63【解析】（）由正方形的性质可知11ABABDC，且11ABABDC，所以四边形11ABCD为平行四边形，从而11BCAD，又11ADADE面，11BCADE面，于是11BCADE，又111BCBCD面，面111ADEBCDEF面，所以1EFBC（）11AAABAAADABAD，且1AAABAD，以A为原点，分别以1ABADAA，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标(0,0,0)A，(1,0,0)B，(0,1,0)D，111(0,0,1)(1,0,1)(0,1,1)ABD，8/10 而E点为11B D的中点，所以E点的坐标为(0.5,0.5,1)设面1ADE的法向量1111(,)nr s t，而该面上向量10.5,0.5,0AE，10,1,1AD，由11nAE，11nAD得111,r s t应满足的方程组11110.50.500rsst，1,1,1为其一组解，所以可取1(1,1,1)n ，设面11ABCD的法向量2222(,)nr s t，而该面上向量110.5,0.5,0AB，10,1,1AD，由此同理可得2(0,1,1)n 所以结合图形知二面角11EADB的余弦值为1212|26|332n nnn【提示】（）通过四边形11ABCD为平行四边形，可得11BCAD，利用线面平行的判定定理即得结论（）以A为坐标原点，分别以1ABADAA，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，设边长为 2，则所求值即为平面11ABCD的一个法向量与平面1AEFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可【考点】空间中线线平行的判定，二面角的三角函数值 20.【答案】（）2 55e （）221459xy【解析】（）由题设条件知，点M的坐标为21,33ab，又510OMk，从而5210ba，进而得2252abcabb，故2 55cea（）由题设条件和（）的计算结果可得，直线AB的方程为15xybb，点N的坐标为51,22bb，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为17,2x，则线段NS的中点T的坐标为1517,4244xbb，又点T在直线AB上，且1NSABkk，从而有1571424415xbbbb，71225125bxb，9/10 解得3b，所以3 5a，故椭圆E的方程为221459xy【提示】（）由于点M在线段AB上，得点M的坐标为21,33ab利用510OMk，可得5210ba进而可求出离心率（）由（）可得直线AB的方程为15xybb，利用中点坐标公式可得N设点N关于直线AB的对称点S的坐标为17,2x，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质 21.【答案】（）见解析（）00|Daabb（）满足条件1D的最大值为1【解析】（）依题意得，2(sin)sinsinsin(sin)fxxaxbxxab，22x，所以(sin)(2sin)cos22fxxaxx，因为22x，所以cos0 x，22sin2x，2,ab R时，函数(sin)fx单调递增，无极值；2,abR时，函数(sin)fx单调递减，无极值；对于22a，在,2 2内存在唯一的0 x，使得02sinxa，02xx时，函数(sin)fx单调递减；02xx时，函数(sin)fx单调递增 因此22a，bR时，函数(sin)fx在0 x处有极小值20(sin)24aafxfb（）当22x时，00000|(sin)(sin)|()sin|fxfxaaxbbaabb，当00()()0aa bb时，取2x，等号成立，当00()()0aa bb时，取2x ，等号成立 由此可知，0|(sin)(sin)|fxfx在,2 2上的最大值为00|Daabb（）1D即为|1ab，此时201,11ab，从而214azb 10/10 取01ab，则|1ab，并且214azb，由此可知，24azb满足条件1D的最大值为1【提示】（）依题意得，(sin)sin(sin)fxxxab，讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在 （）结合不等式的性质求得最大值（）由（）结合不等式的性质求得24azb的最大值【考点】二次函数的性质