2012年高考理科数学上海卷-答案.pdf

1/11 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)一、填空题 1.【答案】1 2i【解析】3i(3i)(1 i)3 14i12i1i(1i)(1 i)2 【提示】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1 i，再由进行计算即可得到答案【考点】复数 2.【答案】1,32【解析】1,2A，(1,3)B ，1,32AB【提示】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案【考点】交集 3.【答案】53,22【解析】153()2sin cos2sin2,222f xxxx 【提示】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域【考点】二阶矩阵，三角函数 4.【答案】arctan2【解析】方向向量(1,2)d，所以2lk，倾斜角arctan2【提示】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tank可求出倾斜角【考点】平面向量坐标 5.【答案】160【解析】展开式通项66 2166(1)2(1)2rrrrrrrrrrTC xxCx ，令620r，得3r，故常数项为3362160C【提示】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为 0，得到相应的r，从而可求出常数项【考点】二项式定理 2/11 6.【答案】87【解析】易知12,nV VV是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以112188lim()17nnVVVV【提示】由题意可得，正方体的体积1318nnnVa是以 1 为首项，以18为公比的等比数，由不等数列的求和公式可求【考点】数列的极限，棱柱，棱锥，棱台的体积 7.【答案】1a 【解析】令()|g xxa，则()()eg xf x，由于底数1e，故()()f xg x，由()g x的图像知()f x在区间1,)上是增函数时，1a 【提示】由题意，复合函数()f x在区间1,)上是增函数可得出内层函数|txa在区间1,)上是增函数，又绝对值函数|txa在区间)a，上是增函数，可得出1,)a，比较区间端点即可得出a的取值范围【考点】指数函数单调性 8.【答案】33【解析】如图，21222ll，又2221rlr，所以3h，故体积21333Vr h【提示】通过侧面展开图的面积求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可【考点】旋转体 9.【答案】1【解析】2()yf xx是奇函数，则22(1)(1)(1)1 4ff，所以(1)3f，(1)(1)21gf【提示】由题意，可先由函数是奇函数求出(1)3f，再将其代入(1)g 求值即可得到答案【考点】函数奇偶性，函数的值 10.【答案】61sin【解析】(2,0)M的直角坐标也是(2)0，斜率13k，所以其直角坐标方程为32xy，化为极坐标方程为：cos3sin2，13cossin122，sin16，3/11 61sin，即61()sinf【提示】取直线l上任意一点(,)P，连接OP，则OP，POM，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求【考点】极坐标方程 11.【答案】23【解析】设概率kpn，则22233327nC C C，求k，分三步：选二人，让他们选择的项目相同，有23C种；确定上述二人所选择的相同的项目，有13C种；确定另一人所选的项目，有12C种所以21133218kC C C，故182237p 【提示】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可【考点】古典概型，概率计算 12.【答案】2,5【解析】如图建系，则()0,0A，()2,0B，13,22D，53,22C 设0|,1BMCNtBCCD，则|BMt，|2CNt，所以32,22ttM，532,22Nt，故22525(133)6(2)22222tAM ANtttf ttt，因为10,t，所以()f t递减，max()(0)5AM ANf，min()(1)2AM ANf 【提示】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围【考点】平面向量 13.【答案】54 4/11 【解析】解：由题意可得，110,02()110 10,12xxf xxx，22110,02()11010,12xxyxf xxxx，设函数(),(01)yxf xx的图像与x轴围成的图形的面积为S，则1122210210(1010)Sx dxxx dx 133211201122535515510|(10)|10|533212124124xxx 故答案为：54【提示】根据题意求得110,02()110 10,12xxf xxx，从而22110,02()11010,12xxyxf xxxx，利用定积分可求得函数(),(01)yxf xx的图像与x轴围成的图形的面积【考点】函数的图像 14.【答案】22213c ac【解析】解：作BEAD于E，连接CE，则AD平面BEC，所以CEAD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BECE、都垂直于焦距AD，2ABBDACCDa，显然ABDACD，所以BECE，取BC中点F，EFBC，EFAD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，2ABBDACCDa，ABa，所以22EBac，221EFac，所以几何体的体积为：222211221 21323EFaccc ac 故答案为：22213c ac 【提示】作BEAD于E，连接CE，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BECE、都垂直于焦距AD，BECE，取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可【考点】棱柱，棱锥，棱台的体积 5/11 二、选择题 15.【答案】B【解析】解：由题意12i是关于x的实系数方程20 xbxc 12 2i22 i0bbc 102 220bcb，解得2b，3c 故选 B【提示】由题意，将根代入实系数方程20 xbxc整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数 a，b 的方程组102 220bcb，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【考点】复数 16.【答案】C【解析】解：222sinsinsinABC，由正弦定理可得，222abc 由余弦定理可得222cos02abcCab 2C ABC是钝角三角形 故选 C【提示】由222sinsinsinABC，结合正弦定理可得，222abc，由余弦定理可得222cos2abcCab可判断C的取值范围【考点】余弦定理，三角形的形状判断 17.【答案】A【解析】解：由随机变量1、2的取值情况，它们的平均数分别为：123451(5)xxxxxx，23344551121522222xxxxxxxxxxxx且随机变量1、2的取值的概率都为 0.2，所以有12DD，故选择 A【提示】根据随机变量1、2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量1、2的取值的概率都为 0.2，即可求得结论【考点】离散型随机变量的期望，方差，离散型随机变量 18.【答案】D 6/11 【解析】解：由于()sin25nf n 的周期50T 由正弦函数性质可知，1224,0a aa，250a，262749,0aaa，500a 且26sinsin2525，272sinsin2525 但是1()f nn单调递减 2649aa都为负数，但是261|aa，272|aa，4924|aa 1225,S SS中都为正，而262750,SSS都为正 同理1275,S SS都为正，1275100,S SSS都为正，故选 D【提示】由于()sin25nf n 的周期50T，由正弦函数性质可知，1224,0a aa，262749,0aaa，1()f nn单调递减，25a=0，2650aa都为负数，但是261|aa，272|aa，4924|aa，从而可判断【考点】数列，三角函数 三、解答题 19.【答案】（）2 3（）4【解析】解：（）PAABCD底面，CDABCD底面，CDPA 矩形ABCD中，CDAD，PAAD、是平面PDC内的相交直线 CDPDA平面，PDPDA平面，CDPD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形 RtPAD中，2 2AD，2PA，222 3PDPAAD 三角形PCD的面积12 32SPDDC（）如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2,0,0)B，(2,2 2,0)C，(1,2,1)E(1,2,1)AE，(0,2 2,0)BC，设AE与BC夹角为，则4222 2 2AE BCcosAE BC，4，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为4 7/11 【提示】（）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PDC是以D为直角顶点的直角三角形，然后在RtPAD中，利用勾股定理得到2 3PD，最后得到三角形PDC的面积S；（）建立如图空间直角坐标系，可得BCE、各点的坐标，从而(1,2,1)AE，(0,2 2,0)BC，利用空间向量数量积的公式，得到AE与BC夹角为满足：2cos2，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为4【考点】直线与平面垂直，异面直线及其所成的角 20.【答案】（）2133x（）3 10 xy，0,lg2x【解析】解：（）(1 2)()lg(1 21)lg(1)lg(22)lg(1)fxf xxxxx，要使函数有意义，则由22010 xx 解得：11x.由220lg(22)lg(1)lg11xxxx得：221101xx，10 x，1221010 xxx，2133x 由112133xx，得：2133x（）当21,x时，,120 x，()(2)(2)(2)lg(3yg xg xgxfxx），由单调性可知0,lg2y，又3 10yx，所求反函数是3 10 xy，0,lg2x【提示】（）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；8/11 （）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解【考点】函数的周期性，反函数，对数函数图像与性质 21.【答案】（）救援船速度的大小为949海里/时 救援船速度的方向为北偏东7arctan30弧度（）救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船【解析】解：（）0.5t 时，P的横坐标772Pxt，代入抛物线方程21249yx中，得P的纵坐标3Py.由9492AP，得救援船速度的大小为949海里/时 由7tan30OAP，得7arctan30OAP，故救援船速度的方向为北偏东7arctan30弧度（）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为2(7,12)tt 由222(7)(1212)vttt，整理得2221144337vtt 因为2212tt，当且仅当1t 时等号成立，所以22144 233725v ，即25v 因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船【提示】（）0.5t 时，确定 P 的横坐标，代入抛物线方程21249yx中，可得P的纵坐标，利用9492AP，即可确定救援船速度的大小和方向；（）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为2(7,12)tt 由222(7)(1212)vttt，整理得2221144337vtt，利用基本不等式，即可得到结论【考点】圆锥曲线 22.【答案】（）双曲线212:1112xyC左顶点2,02A，渐近线方程为：2yx 过A与渐近线2yx平行的直线方程为222yx，即21yx，所以221yxyx，解得2412xy 所以所求三角形的面积为1228SOA y 9/11 （）设直线PQ的方程为ykxb，因直线PQ与已知圆相切，故12b，即22b，由2221ykxbxy，得22210 xbxb，设11)(,P x y，22)(,Q xy，则1221221xxbx xb ，又1212()()y yxb xb 所以212121212()2OP OQx xy yx xb xxb 222)2(12bbb 220b 故POOQ（）当直线ON垂直x轴时，1ON，22OM，则O到直线MN的距离为33 当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为ykx，（显然22k），则直线OM的方程为1yxk，由2241ykxxy得22222144xkkyk，所以2221|4kONk 同理2221|21kOMk，设O到直线MN的距离为d，因为22222()OMONdOMON，所以222221113331kdkOMON，即33d 综上，O到直线MN的距离是定值【提示】（）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积（）设直线PQ的方程为ykxb，通过直线PQ与已知圆相切，得到22b，通过求解0OP OQ 证明POOQ（）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为33 当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：ykx，（显然22k），推出直线OM的方程为1yxk，利用2241ykxxy，求出，2221|4kONk，2221|21kOMk，设O到直线MN的距离为d，因为22222()OMONdOMON，求出33d 推出O到直线MN的距离是定值【考点】直线，圆锥曲线 23.【答案】（）选取1(,2)ax，Y中与1a垂直的元素必有形式(1,)b 10/11 所以2xb，从而4x （）证明：取111(,)ax xY设2(,)as tY满足120a a 由1()0st x得0st，所以st、异号 因为1是X中唯一的负数，所以st、中之一为1，另一为 1，故1X假设1kx，其中1kn，则101nxx 选取11(,)nax xY，并设2(,)as tY满足120a a，即10ns xt x，则st、异号，从而st、之中恰有一个为1 若1s，则11nxtxtx，矛盾；若1t，则1nnxsxsx，矛盾 所以11x （）猜测1iixq，1,2,3,.in 记2 1,1,kkAxx，2,3,kn 先证明：若1kA具有性质P，则kA也具有性质P 任取1(,)as t，KstA、当st、中出现1时，显然有2a满足120a a；当1s 且1t 时，1st、因为1kA具有性质P，所以有211(,)as t，111kstA、，使得120a a，从而1s和1t中有一个是1，不妨设11s 假设11ktA且1ktA，则11ktx由1(,)(1,)0ks tx，得11kkstxx，与 ksA矛盾所以1ktA从而kA也具有性质P 现用数学归纳法证明：1iixq，1,2,in 当2n 时，结论显然成立；假设nk时，2 1,1,kkAxx 有性质P，则1iixq，1,2,ik；当1nk时，若121 1,1,kkkAxxx 有性质P，则2 1,1,kkAxx 也有性质P，所以111 1,1,kkkAqqx 取11(,)kaxq，并设2(,)as t满足120a a，即10kxsqt由此可得s与t中有且只有一个为1 若1t，则1s，所以1qksxq，这不可能；1iixq 所以1s，11kkkxqtq qq，又11kkxq，所以1kkxq 11/11 综上所述1iixq，1,2,in【提示】（）在Y中取1(,2)ax，根据数量积的坐标公式，可得Y中与1a垂直的元素必有形式(1,)b，所以2xb，结合2x，可得x的值（）取111(,)ax x，2(,)as t根据120a a，化简可得0st，所以st、异号而1是数集X中唯一的负数，所以st、中的负数必为1，另一个数是 1，从而证出1X，最后通过反证法，可以证明出当1nx 时，11x （）先猜想结论：1iixq，1,2,3,.in记2 1,1,kkAxx，2,3,kn通过反证法证明出引理：若1kA具有性质P，则kA也具有性质P最后用数学归纳法，可证明出1iixq，1,2,3,.in【考点】数列，向量，元素，集合关系