利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题.pdf
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1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则法则 1 1若函数若函数 f(x)f(x)和和 g(x)g(x)满足下列条件:满足下列条件:(1)(1)lim fx 0及及limgx 0;(2)(2)在点在点xaxaa a 的的 去去 心心 邻邻 域域 内内,f(x)f(x)与与 g(x)g(x)可可 导导 且且 g g(x)0(x)0;(3)(3)limxaf x l,那那 么么gxf x=limlim l。xagxxagx法则法则2 2若函数若函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)满足下列条件:满足下列条件:(1)(1)lim fx 0及及limgx 0;(2)(2)
2、A f 0,xxfxf xf(x)f(x)和和 g(x)g(x)在在,A与与A,上上可可导导,且且 g g(x)0(x)0;(3)(3)lim l,那那么么xgxf x=limlim l。xgxxgx法则法则 3 3若函数若函数 f(x)f(x)和和 g(x)g(x)满足下列条件:满足下列条件:(1)(1)lim fx 及及limgx;(2)(2)在点在点xaxafxf xa a 的的 去去 心心 邻邻 域域 内内,f(x)f(x)与与 g(x)g(x)可可 导导 且且 g g(x)0(x)0;(3)(3)lim l,那那 么么xagxlimxafxgx=limxaf x l。gx利用洛必达法
3、则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:1.1.将上面公将上面公式中的式中的 xa,x换成xa,x换成 xx+,x,x-,x a,x a洛必达法则也成立。洛必达法则也成立。0002.2.洛必达法则可处理洛必达法则可处理,0,1,0,型。型。00003.3.在着手求极限以前,首先要检查是否满足在着手求极限以前,首先要检查是否满足,0,1,0,型定型定0式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则
4、不适用,应从另外途径求极限。称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。4.4.若条件符合,洛必达法则可连续多次使若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。用,直到求出极限为止。1二高考题处理二高考题处理1.(20101.(2010 年全国新课标理年全国新课标理)设函数设函数f(x)ex1 xax2。(1 1)若若a 0,求求f(x)的单调区间;的单调区间;(2 2)若当若当x 0时时f(x)0,求,求a的取值范围的取值范围解解:(II)当x 0时,f(x)0,对任意实数 a,均在f(x)0;当x 0时,f(x)0等价于a ex x 1x2令令xgxex x 1x2(x0),(x0)
5、,x则则xg(x)xe 2e x 2xxxx3,令令hx xe2e x 2x 0,则hx xee1,hx xe 0,知hx在0,上为增函数,hx h0 0;知hx在0,上为增函数,xhx h0 0;gx 0,g(x)在0,上 为 增 函 数。由 洛 必 达 法 则 知,limx0ex x 1x211 1limelime,故a 综上,知 a 的取值范围为,。222x02xx02xx2 2(20112011 年年全全国国新新课课标标理理)已已知知函函数数,曲曲线线y f(x)在在点点(1,f(1)处处的的切切线线方方程程为为x2y3 0。()求()求a、b的值;的值;()如果当()如果当x 0,且
6、,且x 1时,时,f(x)取值范围。取值范围。2xln x1恒成立。21 xx21ln x x212xln x令令 g g(x)=,1(x 0,x 1),则gx 22221 x1 xlnxk,求,求k的的x1x解:解:(II)由题设可得,当x 0,x 1时,kh1=0hx在0,上为增函数Qh1=0当x(0,1)时,hx 0,当 x(1,+)时,hx 0当x(0,1)时,gx 0,当 x(1,+)时,gx 0gx在0,1上为减函数,在1,上为增函数2洛必达法则知limgx 2limx1x1xln x1 ln x1 1 21 21 0lim22x1 x2x1k 0,即k 的取值范围为(-,03.3
7、.已知函数已知函数 f(x)=f(x)=x x(1+a)lnx(1+a)lnx 在在 x=1x=1 时,存在极值。时,存在极值。(1 1)求实数)求实数 a a 的值;的值;(2 2)若)若 x1x1,f(x)-1mlnxmlnx成立成立,求正实数求正实数 m m 的取值范围的取值范围x-1解:mln x xln x1xln x1(x1)ln x11 m=g(x)x1(x1)ln x(x1)ln x(x1)ln xln xx1-11g(x)(lnx)+(x-1),则g(x)-221xln x221(x1)2=x(ln x)2(x1)2,x(x1)(lnx)2令h(x)=x(ln x)(x1)h
8、(x)(ln x)2ln x2x2,令r(x)h(x),则r(x)M(x)=r(x),2ln x22x,令x x)=M(不存2-2x0,则,r(x)为减,且r(1)=0,则 h(x)为减,且h(1)=0,则 g(x)为减,这样,g(x)0),分xx2x2子 r(x)=e(x x1)1,(x0,),扩展定义域,求导r(x)e(x 3x)0,可知,r(x)x2为定义域内增函数,而 r(x)r(0)=0.所以h(x)0.为增函数。则 ah(0)-不存在,罗比达法则可得为 1练习练习1.1.20062006 年全国年全国 2 2 理理设函数设函数 f f(x x)(x x1)ln(1)ln(x x1)
9、1),若对所有的,若对所有的 x x00,都有,都有 f f(x x)axax 成立,求实数成立,求实数 a a 的取值范围的取值范围32.2.20062006 全国全国 1 1 理理已知函数已知函数fx1 x1 xeax.()设()设a 0,讨论,讨论y fx的单调性;的单调性;()若对任意()若对任意x0,1恒有恒有fx1,求,求a的取值范围的取值范围.3.3.20072007 全国全国 1 1 理理4.4.设函数设函数f(x)exex()证明:()证明:f(x)的导数的导数f(x)2;()若对所有()若对所有x0都有都有f(x)ax,求,求a的取值范围的取值范围5.5.20082008
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