辽宁省高二(下)期末数学试卷(理科)(含参考答案).pdf

1 辽宁省高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i 是虚数单位，复数的共轭复数为（）A2+i B2i C1+i D12i2设全集 U=R，已知集合 A=x|x|1，B=x|log2x1，则（?UA）B=（）A（0，1B 1，1C（1，2D（，1 1，23 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1=11，a3+a7=6，则当 Sn取最小值时，n 等于（）A9 B8 C 7 D64若，则 sin（+2）=（）ABCD5“x0”是“1x0”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知 x，y 满足线性约束条件：，则目标函数 z=y3x 的取值范围是（）AB（3，1）CD7中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了（）A192 里 B96 里C48 里D24 里8把函数 y=sin x（xR）的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，得到图象的函数解析式为（）Ay=sin（2x）By=sin（2x+）Cy=sin（x+）Dy=sin（x+）9在 ABC中，若，且=2，则 A=（）2 ABC D10已知命题 p：?xR，x+2；命题 q：?x0 0，使 sin x0+cos x0=，则下列命题中为真命题的是（）Ap（q）Bp（q）C （p）（q）D（p）q11已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若?x1，1，?x2 2，3，使得 f（x1）g（x2），则实数 a 的取值范围是（）A（，1B 1，+）C （，2D 2，+）12 设正实数 x，y，z满足 x23xy+4y2z=0 则当取得最大值时，的最大值为（）A0 B1 C D3二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分13函数的最小正周期为14设函数 f（x）=，则函数 f（x）的值域是15ABC中，若 b=2，A=120，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为16 若函数 f（x）=x3+x2+2ax在，+）上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤17在平面直角坐标系xOy中，以原点 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是，圆 C的极坐标方程是=4sin（）求 l 与 C交点的极坐标；（）设 P 为 C的圆心，Q为 l 与 C交点连线的中点，已知直线 PQ的参数方程是（t为参数），求 a，b 的值18已知函数 f（x）=2sinxsin（x+）（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；3（2）当 x 0，时，求 f（x）的值域19已知数列 an 满足 a1=1，nan+1=Sn+n（n+1）（nN*），Sn是数列 an 的前 n 项和（1）求数列 an 的通项公式 an；（2）令 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn20 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100km/h的有 40 人，不超过 100km/h 的有 15 人在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20 人，不超过 100km/h 的有 25 人（）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关平均车速超过100km/h 人数平均车速不超过100km/h 人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3 辆，记这 3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列和数学期望参考公式与数据：2=，其中 n=a+b+c+dP（2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821 在直三棱柱 ABC ABC中，底面 ABC是边长为 2的正三角形，D是棱 AC的中点，且 AA=2（1）试在棱 CC 上确定一点 M，使 AM平面 ABD；（2）当点 M 在棱 CC 中点时，求直线 AB与平面 ABM 所成角的正弦值4 22设 f（x）=ex2ax1（）讨论函数 f（x）的极值；（）当 x0 时，exax2+x+1，求 a 的取值范围5 辽宁省高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i 是虚数单位，复数的共轭复数为（）A2+i B2i C1+i D12i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i 的幂运算性质，求出复数，可得它的共轭复数【解答】解：复数=2i，故它的共轭复数为2+i，故选：A2设全集 U=R，已知集合 A=x|x|1，B=x|log2x1，则（?UA）B=（）A（0，1B 1，1C（1，2D（，1 1，2【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】分别求出 A 与 B中不等式的解集，确定出A 与 B，根据全集 U=R，求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的交集即可【解答】解：集合 A=x|x|1=1，1，B=x|log2x1=（0，2，全集 U=R，?UA=（，1）（1，+）（?UA）B=（1，2，故选：C3 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1=11，a3+a7=6，则当 Sn取最小值时，n 等于（）A9 B8 C 7 D6【考点】89：等比数列的前 n 项和；84：等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的性质化简a3+a7=6，得到 a5的值，然后根据 a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d 的值，根据 a1和 d 的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前 n 项和公式 Sn，配方后即可得到Sn取最小值时 n 的值6【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a7=2a5=6，解得 a5=3 又 a1=11，设公差为 d，所以，a5=a1+4d=11+4d=3，解得 d=2则 an=11+2（n1）=2n13，所以 Sn=n212n=（n6）236，所以当 n=6时，Sn取最小值故选 D4若，则 sin（+2）=（）ABC D【考点】GS：二倍角的正弦【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知等式，得：（cos sin ）=，两边平方后，利用二倍角公式可求sin2 的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解【解答】解：，可得：（cos sin ）=，两边平方可得：12sin cos=，解得：sin2=，sin（+2）=sin2=故选：A5“x0”是“1x0”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由1x0?x0；反之不成立即可判断出关系【解答】解：由 1x0?x0；反之不成立“x0”是“1x0”的必要不充分条件故选：B6已知 x，y 满足线性约束条件：，则目标函数 z=y3x 的取值范围是（）AB（3，1）CD7【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由 z=y3x 得 y=3x+z，作出不等式组，对应的平面区域如图，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，过点 B时，直线 y=3x+z 的截距最小，此时z 最小，由，解得，即 B（1，0）代入目标函数 z=y3x，得 z=03=3，目标函数 z=x2y 的最小值是 3当直线 y=3x+z，过点 A 时，直线 y=3x+z 的截距最大，此时z 最大，由，解得 A（，）代入目标函数 z=y3x，得 z=，目标函数 z=y3x 的最大值是目标函数 z=y3x 的取值范围是（3，故选：C8 7中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了（）A192 里 B96 里C48 里D24 里【考点】8B：数列的应用【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列an、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出 a1，由等比数列的通项公式求出答案即可【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得 a1=192，第此人二天走192=96里，第二天走了 96 里，故选：B8把函数 y=sin x（xR）的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，得到图象的函数解析式为（）Ay=sin（2x）By=sin（2x+）Cy=sin（x+）D y=sin（x+）【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换；HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律即可求得答案【解答】解：函数 y=sinx（xR），图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），得到 y=sin x，图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin（x+）=sin（x+），xR故选：C9 9在 ABC中，若，且=2，则 A=（）ABC D【考点】HP：正弦定理【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，结合 a2b2=bc，可得 a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，结合范围 A（0，），即可求得 A 的值【解答】解：在 ABC中，=2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，=b（a+b），整理可得：a2b2=bc，a2b2=b2，解得：a2=7b2，由余弦定理可得：cosA=，A（0，），A=故选：A10已知命题 p：?xR，x+2；命题 q：?x0 0，使 sin x0+cos x0=，则下列命题中为真命题的是（）Ap（q）Bp（q）C （p）（q）D（p）q【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】判断两个命题的真假，然后利用复合命题的真假判断选项即可【解答】解：对于命题 p：当 x0 时，x+2 不成立，命题 p 是假命题，则 p 是真命题；对于命题 q：sinx+cosx=sin（x+）1，则 q 是真命题，所以（p）q故选：D10 11已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若?x1，1，?x2 2，3，使得 f（x1）g（x2），则实数 a 的取值范围是（）A（，1B 1，+）C （，2D 2，+）【考点】3R：函数恒成立问题【分析】首先将问题转化为在所给定义域上f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果【解答】解：满足题意时应有：f（x）在的最小值不小于 g（x）在 x2 2，3 的最小值，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，f（x）在的最小值为 f（1）=5，当 x2 2，3 时，g（x）=2x+a 为增函数，g（x）在 x2 2，3 的最小值为 g（2）=a+4，据此可得：5?a+4，解得：a?1，实数 a 的取值范围是（，1，故选：A12 设正实数 x，y，z满足 x23xy+4y2z=0 则当取得最大值时，的最大值为（）A0 B1 C D3【考点】7F：基本不等式【分析】依题意，当取得最大值时 x=2y，代入所求关系式f（y）=+，利用配方法即可求得其最大值【解答】解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又 x，y，z 均为正实数，=1（当且仅当 x=2y时取“=”），=1，此时，x=2y11 z=x23xy+4y2=（2y）232yy+4y2=2y2，+=+=+11，当且仅当 y=1时取得“=”，满足题意的最大值为 1故选 B二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分13函数的最小正周期为【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可【解答】解：函数的最小正周期为：=故答案为：14设函数 f（x）=，则函数 f（x）的值域是（0，1）3，+）【考点】34：函数的值域【分析】可根据不等式的性质，根据x 的范围，可以分别求出和x2 的范围，从而求出f（x）的值域【解答】解：x1 时，f（x）=；即 0f（x）1；x1 时，f（x）=x2；x1；x23；即 f（x）3；函数 f（x）的值域为（0，1）3，+）故答案为：（0，1）3，+）12 15ABC中，若 b=2，A=120，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为2【考点】HP：正弦定理【分析】利用三角形面积计算公式、正弦定理可得a，再利用正弦定理即可得出【解答】解：=sin120，解得 c=2a2=22+22222cos120=12，解得 a=2，2R=4，解得 R=2故答案为：216若函数f（x）=x3+x2+2ax 在，+）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为 a 的表达式，求出最值即可得到a 的范围【解答】解：函数 f（x）=x3+x2+2ax，f（x）=x2+x+2a=（x）2+2a当 x，+）时，f（x）的最大值为 f（）=2a+，令 2a+0，解得 a，所以 a 的取值范围是故答案为：三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤17在平面直角坐标系xOy中，以原点 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是，圆 C的极坐标方程是=4sin（）求 l 与 C交点的极坐标；13（）设 P 为 C的圆心，Q为 l 与 C交点连线的中点，已知直线 PQ的参数方程是（t为参数），求 a，b 的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（）列出关于 符方程，通过三角函数求解，即可求 l 与 C交点的极坐标；（）直线 PQ的参数方程是消去参数 t，得到普通方程，利用第一问的结果，即可求 a，b 的值【解答】解：（）=4sin 代入，得 sin cos=cos2 所以 cos=0 或 tan=1，取，再由=4sin 得=4，或所以 l 与 C交点的极坐标是，或（）参数方程化为普通方程得由（）得P，Q 的直角坐标分别是（0，2），（1，3），代入解得 a=1，b=218已知函数 f（x）=2sinxsin（x+）（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当 x 0，时，求 f（x）的值域【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法【分析】（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由 x 的范围，可得 2x的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域【解答】解：（1）f（x）=2sinxsin（x+）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x）14 则函数 f（x）的最小正周期 T=，由 2k2k+，kZ，解得，k xk+，kZ，则 f（x）的单调递增区间为 k，k+，kZ；（2）当 x 0，时，2x，sin（2x），1，则 f（x）的值域为 0，1+19已知数列 an 满足 a1=1，nan+1=Sn+n（n+1）（nN*），Sn是数列 an 的前 n 项和（1）求数列 an 的通项公式 an；（2）令 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn【考点】8E：数列的求和【分析】（1）nan+1=Sn+n（n+1）（nN*），n2 时，（n1）an=Sn1+n（n1），相减可得：an+1an=2，又 a1=1，利用等差数列的通项公式即可得出（2）bn=，利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）nan+1=Sn+n（n+1）（nN*），n2 时，（n1）an=Sn1+n（n1），nan+1（n1）an=an+2n，化为：an+1an=2，又 a1=1，数列 an 是等差数列，公差为2，首项为 1an=1+2（n1）=2n3（2）bn=，数列 bn 的前 n 项和 Tn=+，=+，15=+=2，可得：Tn=20 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100km/h的有 40 人，不超过 100km/h 的有 15 人在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20 人，不超过 100km/h 的有 25 人（）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关平均车速超过100km/h 人数平均车速不超过100km/h 人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3 辆，记这 3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列和数学期望参考公式与数据：2=，其中 n=a+b+c+dP（2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BL：独立性检验；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关 求出 2，即可判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1 辆，驾驶员16 为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X可取值是 0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望即可【解答】解：（）平均车速超过100km/h 人数平均车速不超过 100km/h 人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1 辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为X可取值是 0，1，2，3，有：，分布列为X0123P21 在直三棱柱 ABC ABC中，底面 ABC是边长为 2的正三角形，D是棱 AC的中点，且 AA=2（1）试在棱 CC 上确定一点 M，使 AM平面 ABD；（2）当点 M 在棱 CC 中点时，求直线 AB与平面 ABM 所成角的正弦值17【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（1）取 AC边中点为 O，则 OBAC，连接 OD，建立以 O 为坐标原点，OB为 x 轴，OC为 y 轴，OD为 z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出当CM=时，AM平面 ABD（2）当点 M 在棱 CC 中点时，M（0，1，），求出平面 ABM 的一个法向量，利用向量法能求出直线 AB与平面 ABM 所成角的正弦值【解答】解：（1）取 AC边中点为 O，底面 ABC是边长为 2 的正三角形，OBAC，连接 OD，D是边 AC的中点，ODAC，ODOB，建立以 O为坐标原点，OB为 x 轴，OC为 y 轴，OD为 z 轴如图所示的空间直角坐标系则有 O（0，0，0），A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），B（，0，2），A（0，1，2），D（0，0，2），C（0，1，2），设 M（0，1，t），则=（0，2，t2），=（0，1，2），=（，1，2）若 AM平面 ABD，则有 AMAD，AMAB，解得 t=，即当 CM=时，AM平面 ABD（2）当点 M 在棱 CC 中点时，M（0，1，），=（），=（0，2，），设平面 ABM 的一个法向量=（x，y，z），令 z=，得=（），18 设直线 AB与平面 ABM 所成角为 ，则 sin=直线 AB与平面 ABM 所成角的正弦值为22设 f（x）=ex2ax1（）讨论函数 f（x）的极值；（）当 x0 时，exax2+x+1，求 a 的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的导数，通过a 与 0 的大小讨论函数的单调性得到函数的极值（）方法 1 设 g（x）=exax2x1，则 g（x）=ex2ax1=f（x）通过，时，通过函数的单调性，函数的最值，求解a 的取值范围（）方法 2，由（）当时，推出 ex1+x（）设 g（x）=exax2x1，利用函数的单调性求解 a的取值范围【解答】解：（）f（x）=ex2a，若 a0，则 f（x）0，f（x）在 g（x）上单调递增，没有极值若 a0，令 f（x）=0，x=ln2a，列表x（，ln2a）ln2a（ln2a，+）f（x）0+f（x）f（2a）所以当 x=ln2a时，f（x）有极小值 f（2a）=2a2aln2a1，没有极大值19（）方法 1设 g（x）=exax2x1，则 g（x）=ex2ax1=f（x）从而当 2a1，即时，f（x）0（x0），g（x）g（0）=0，g（x）在 0，+）单调递增，于是当x0 时，g（x）g（0）=0当时，若 x（0，ln2a），则 f（x）0，g（x）g（0）=0，g（x）在（0，ln2a）单调递减，于是当x（0，ln2a）时，g（x）g（0）=0综合得 a 的取值范围为（）方法 2由（）当时，f（x）f（2）=0，得 ex1+x（）设 g（x）=exax2x1，则 g（x）=ex2ax1x（12a）从而当 2a1，即时，g（x）0（x0），而 g（0）=0，于是当 x0 时，g（x）0由 ex1+x（x0）可得，ex1x，即 x1ex（x0），从而当时，g（x）ex2a（1ex）1=ex（ex1）（ex2a）故当 x（0，ln2a）时，g（x）0，而 g（0）=0，于是当 x（0，ln2a）时，g（x）g（0）=0综合得 a 的取值范围为