必修四4.平面向量的数量积(教案).doc

2、4 平面向量得数量积
教案　Ａ
第１课时
教学目标
　　一、知识与技能
1．掌握平面向量得数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律;
３.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题;
二、过程与方法
本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.
三、情感、态度与价值观
通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力；培养学生得交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力.
教学重点、难点
教学重点:平面向量数量积得定义．
教学难点：平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、
教学关键:平面向量数量积得定义得理解.
教学方法
本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.
学习方法
通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算．
教学准备
教师准备: 多媒体、尺规、
学生准备： 练习本、尺规、
教学过程
一、创设情境,导入新课
在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力Ｆ得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算:
W=｜ F | | ｓ ｜ cosθ,
其中θ就是Ｆ与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量（数量).
故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念.
二、主题探究,合作交流
提出问题
①a·b得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么?
②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得乘法运算,它就是否满足实数得乘法运算律?
师生活动：已知两个非零向量ａ与b，我们把数量|ａ||b｜cｏsθ叫做a与ｂ得数量积（或内积)，记作a·b，即
a·b=|a||b|coｓθ（0≤θ≤π).
其中θ就是a与b得夹角,|a|ｃosθ(|b|cｏsθ)叫做向量a在b方向上（b在a方向上)得投影.
在教师与学生一起探究得活动中,应特别点拨引导学生注意:
(1)两个非零向量得数量积就是个数量,而不就是向量，它得值为两向量得模与两向量夹角得余弦得乘积;
(2）零向量与任一向量得数量积为0,即a·0＝０；
（3)符号“·”在向量运算中不就是乘号，既不能省略,也不能用“×”代替；
(４）当0≤θ<时cosθ>0,从而ａ·ｂ>0;当<θ≤π时,coｓθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积得运算律.
已知a、b、c与实数λ，则向量得数量积满足下列运算律：
①a·b=b·a(交换律);
②（λa)·b=λ(a·b）＝a·（λb)(数乘结合律）；
③(a+b)·c=ａ·c+b·c(分配律）.
特别就是:（1)当a≠0时，由ａ·b=0不能推出b一定就是零向量.这就是因为任一与ａ垂直得非零向量b,都有ａ·b=0．

注意：已知实数ａ、ｂ、c(b≠０）,则aｂ=bca=c.但对向量得数量积,该推理不正确,即a·ｂ=b·ｃ不能推出a=ｃ.由上图很容易瞧出,虽然a·ｂ＝ｂ·c,但a≠ｃ．
对于实数a、ｂ、ｃ有(a·b)c＝a(ｂ·c);但对于向量a、b、ｃ,(a·b）ｃ＝a（b·ｃ)不成立．这就是因为(a·b)c表示一个与c共线得向量,而ａ(b·c)表示一个与a共线得向量，而ｃ与a不一定共线，所以(a·b）c=a(b·ｃ)不成立.
提出问题
①如何理解向量得投影与数量积?它们与向量之间有什么关系？
②能用“投影”来解释数量积得几何意义吗？
　 　 师生活动:教师引导学生来总结投影得概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量得数量积得定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性得总结,提出注意点“投影”得概念,如下图.

定义:|ｂ|coｓθ叫做向量b在a方向上得投影.并引导学生思考、
A、 投影也就是一个数量,不就是向量;
Ｂ、 当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|ｂ|．
教师结合学生对“投影”得理解,让学生总结出向量得数量积得几何意义:
数量积a·ｂ等于a得长度与ｂ在a方向上投影｜ｂ|cosθ得乘积.
让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零,所以我们说向量得数量积得结果就是一个实数.教师与学生共同总结两个向量得数量积得性质:
设a、ｂ为两个非零向量,θ为两向量得夹角，e就是与ｂ同向得单位向量.
Ａ、 ｅ·a＝a·e=|ａ｜coｓθ.
Ｂ、 a⊥ba·ｂ=0．
C、 当a与b同向时,ａ·b＝|a||ｂ|；当a与b反向时,a·b=-|ａ||b|.
特别地a·a＝｜ａ|２或|a|=.
Ｄ、 cosθ=.
E、 ｜a·b｜≤|ａ||b|．
　上述性质要求学生结合数量积得定义自己尝试推证,教师给予必要得补充与提示，在推导过程中理解并记忆这些性质.
讨论结果:
①略．
②向量得数量积得几何意义为数量积ａ·b等于a得长度与b在a方向上投影|ｂ|coｓθ得乘积.
三、拓展创新,应用提高
例1 已知|a｜=5,|b|＝4,ａ与b得夹角为1２0°，求a·b
　　　　活动:教师引导学生利用向量得数量积并结合两向量得夹角来求解．
解: a·b=|ａ||b｜cosθ
=5×4　×ｃｏs120°
=５×４×()
=-１０.
点评:　确定两个向量得夹角，利用数量积得定义求解.
例2 我们知道,对任意a,ｂ∈R,恒有(ａ+ｂ)2=ａ2+2ab+ｂ２,（ａ+b）（a-b)=ａ2-b2.对任意向量a、b,就是否也有下面类似得结论?
（1)(a+b)2=ａ２＋2a·b+b2；
(２）(a＋b）·（ａ-b）=a2-b2．
解:(1)(a+b)2=(a+b）·（a＋b)
=ａ·b＋ａ·b+b·a＋b·b
＝ａ2＋２a·b＋ｂ2;
(2）(a+b）·(ａ-b)=a·a-a·b+b·a-b·b
=a２-ｂ2.
例3 已知|ａ|=6,|b|=4，a与b得夹角为６0°，求(ａ+2b)·(ａ-3b)．
解： (a＋2b)·（a－3b)=a·a-ａ·b-6b·ｂ
=｜a|2－a·ｂ-6｜b|2
=|a|２-|a||b|cosθ－6｜ｂ|２
＝6２-6×4×cos６0°-6×4２
＝－72．
例4 已知|ａ|＝3,｜b｜=4，且a与b不共线,当k为何值时，向量a+kb与a－ｋb互相垂直？
解： a+kｂ与a－kb互相垂直得条件就是(ａ+ｋb）·（a－kb)=0,
即ａ２－k2b2=0.
∵a2=32=９,ｂ2＝42=16，
∴９－1６k2=0.
∴k＝±.
也就就是说,当k＝±时,a＋ｋb与a-kb互相垂直．
点评:本题主要考查向量得数量积性质中垂直得充要条件．
四、小结
1．先由学生回顾本节学习得数学知识,数量积得定义、几何意义，数量积得重要性质,数量积得运算律.
２.教师与学生总结本节学习得数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法得同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解．
课堂作业
1.已知a,b，ｃ就是非零向量，则下列四个命题中正确得个数为( 　 　）
①｜ａ·b|＝|a|｜ｂ｜a∥ｂ　 ②ａ与b反向a·b=-|ａ||b｜　
③ａ⊥b|a+b|=｜a-b| 　④|a|＝|b||a·c|=|b·c|
A.1 　 Ｂ．２ 　 　 C.3 　 　 　D.４
2.有下列四个命题:
①在△ＡBC中,若·>0,则△ABC就是锐角三角形;
②在△AＢＣ中,若·>0,则△AＢC为钝角三角形；
③△ABC为直角三角形得充要条件就是·=０;
④△ABC为斜三角形得充要条件就是·≠0.
其中为真命题得就是（　　 )
A．①　 ﻩＢ.② 　 　 　 ﻩＣ.③ 　 　 　 D.④
3.设|a｜=8,ｅ为单位向量,a与e得夹角为60°,则a在e方向上得投影为（ 　 )
A.4　 　 　 ﻩB.４　 　 　 C.４２ 　 　 D.8+
4.设a、b、c就是任意得非零平面向量，且它们相互不共线,有下列四个命题:
①（a·b)c－(c·a)b=0; 　 ②|a|－｜ｂ|<|ａ-ｂ|；
③(b·c）a－(c·a)b不与c垂直; 　 ④（3a+2b)·（３ａ-２b)=９|a｜2-４|ｂ｜２.
其中正确得就是( )
A.①② 　　 B．②③　 　 　　　　 C.③④ 　　 　　　Ｄ.②④
5.在△ABC中，设=b,=c,则等于( )
A.0 B.S△ＡBC Ｃ.S△ABC 　 Ｄ．2S△ABＣ
6.设i,ｊ就是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上得单位向量,且
a=(m+1)i-３ｊ,ｂ=i+(m-1)ｊ,
如果(a＋ｂ)⊥（a－ｂ),则实数m=＿_＿_＿____＿__＿．
7.若向量a、b、c满足ａ+b＋c=０,且|a|=3,｜ｂ|=1，|c|=４,则a·b+b·c ＋c·ａ=__＿______．
参考答案:
1.C 　２.Ｂ 　3.B　 4.D 　5.D　 6.-2 7.-1３
第２课时
教学目标
　 　一、知识与技能
1.掌握平面向量数量积运算规律、
2.能利用数量积得性质及数量积运算规律解决有关问题、
３.掌握两个向量共线、垂直得几何判断，会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题．
二、过程与方法
教师应在坐标基底向量得数量积得基础上，推导向量数量积得坐标表示．通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量得坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其她因素基本题型得求解方法.平面向量数量积得坐标表示就是在学生学习了平面向量得坐标表示与平面向量数量积得基础上进一步学习得，这都为数量积得坐标表示奠定了知识与方法基础.
三、情感、态度与价值观
通过平面向量数量积得坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积得认识,提高学生得运算速度,培养学生得运算能力,培养学生得创新能力,提高学生得数学素质.
教学重点、难点
　　教学重点:平面向量数量积得坐标表示.
教学难点：向量数量积得坐标表示得应用.
教学关键:平面向量数量积得坐标表示得理解.
教学突破方法:教师应在坐标基底向量得数量积得基础上，推导向量数量积得坐标表示.并通过练习,使学生掌握数量积得应用.
教法与学法导航
教学方法:启发诱导,讲练结合、
学习方法:主动探究,练习巩固.
教学准备
教师准备：多媒体、尺规、
学生准备:练习本、尺规、
教学过程
一、创设情境,导入新课
前面我们学习了平面向量得坐标表示与坐标运算,以及平面向量得数量积,那么,能否用坐标表示平面向量得数量积呢?若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题．(板书课题)
二、主题探究,合作交流
提出问题:
①已知两个非零向量a=(ｘ1，ｙ1),ｂ=(ｘ2,y２),怎样用a与b得坐标表示a·b呢?
②怎样用向量得坐标表示两个平面向量垂直得条件?　　
③您能否根据所学知识推导出向量得长度、距离与夹角公式？
师生活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导与探究.提示学生在向量坐标表示得基础上结合向量得坐标运算进行推导数量积得坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要得提示与补充.推导过程如下:
∵a＝x１ｉ+y1j,b=x２ｉ+y2ｊ,
∴ａ·b=(ｘ1i+y1j)·（ｘ２ｉ+ｙ2ｊ)
=x1ｘ2ｉ2+ｘ１y２i·j+ｘ2y1i·j+y1ｙ2j2．
又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1,i·ｊ=j·ｉ=0,
∴a·ｂ＝x1x2+ｙ１y２.
教师给出结论性得总结,由此可归纳如下:
Ａ、　平面向量数量积得坐标表示
两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与，
即ａ=(x1,y1）,ｂ＝（x2,y2),
则a·b=ｘ1x2+y１y2．
B、 向量模得坐标表示
若ａ＝（ｘ,ｙ)，则|a|2=x2+y2,或|ａ|=.
如果表示向量a得有向线段得起点与终点得坐标分别为（x1,y1)、（x2，y２),那么
a=(x２-x1,y２-y1）,｜a|＝
C、 两向量垂直得坐标表示
设a＝(x1,y1),b＝(ｘ２，y2）,则
a⊥bx１x2＋y１y2=０．
Ｄ、　两向量夹角得坐标表示
设a、b都就是非零向量，a＝（x1，y1),b=(x2,y２),θ就是ａ与b得夹角,根据向量数量积得定义及坐标表示,可得
ｃosθ=
三、拓展创新,应用提高
例1 已知A（1,2),B(２，3),Ｃ(－2，5),试判断△ABC得形状,并给出证明．
活动：教师引导学生利用向量数量积得坐标运算来解决平面图形得形状问题.判断平面图形得形状,特别就是三角形得形状时主要瞧边长就是否相等,角就是否为直角.可先作出草图，进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在得向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关；若三角形得两条边所在得向量模相等或者由两边所在向量得数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状得方法.
解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),Ｂ(2,3),C（-2，5)三点,我们发现△ＡBC就是直角三角形．下面给出证明.
∵=(2-1,3－2)＝(１，１)，
=（-2-１,５-2)=（-3，3),
∴·=1×(－3)＋1×３=0.
∴⊥.
∴△ABC就是直角三角形．
　 　 点评：本题考查得就是向量数量积得应用,利用向量垂直得条件与模长公式来判断三角形得形状.当给出要判定得三角形得顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定，然后对您得结论给出充分得证明．
例２　设a=（5,-7),b=（－6,-4),求a·b及ａ、b间得夹角θ(精确到1°).
解:a·ｂ＝5×(-6)+(-7)×(-4)=-３０+２８=-２．
|a|=,|b|＝
由计算器得cｏsθ=≈－0.03.
利用计算器得θ≈1．6rａｄ＝92°.
四、小结
1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积得坐标表示,向量得模，两向量得夹角,向量垂直得条件.其次引导学生总结数量积得坐标运算规律，夹角与距离公式、两向量垂直得坐标表示.
2．在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到得思维方法与数学思想方法，定义法,待定系数法等.　　 　　 　 　　 　　
课堂作业
1．若a＝(2,－3),ｂ=（x,2x),且a·b＝,则ｘ等于（ 　 )
A.３ 　 　　　 B.　 C.　 　 　　ﻩD.-3
2.设ａ=(１，2),b=(１,m),若a与b得夹角为钝角，则m得取值范围就是( ）
A.m＞ Ｂ.ｍ＜ C.m> 　　　 D.m<
3．若ａ=(cosα,siｎα）,b=(cosβ，sinβ）,则( 　 )
A.a⊥b B.ａ∥b 　　C.(a+ｂ)⊥(a-ｂ) D.(a+b)∥(ａ－b)
4.与ａ＝（u,v)垂直得单位向量就是( )
A.（)
B.()
C．(）　
D.（）或()
5.已知向量a＝(coｓ2３°,cｏs67°),b=(cｏs６8°,ｃos22°),u=a+tb(ｔ∈R),求u得模得最小值．
6.已知a,b都就是非零向量,且ａ+3b与7ａ-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b得夹角.
7.已知△AＢC得三个顶点为A(1,1）,Ｂ(3，1),C（４，5)，求△ABC得面积.
参考答案:
1.C　 2．D 　３．Ｃ　　4.D
5.|a|＝=１，同理有|ｂ|＝1.
又ａ·b=cos23°cos6８°+cｏs67°ｃos22°
=coｓ23°ｃos６８°＋sｉn２3°ｓin68°=cos45°=，
∴|u｜2=(a+tb）2=ａ2+2ta·b+t2b２＝t2+t+1＝(t＋)2+≥.
当t=时,|u|mｉn=.
6.由已知(a＋3b)⊥（7ａ-５b)（ａ+３b）·(7a－5b）=07a2+16ａ·b-１5ｂ2=０.①
又　（ａ-4b)⊥(７a-２ｂ)(a-4ｂ)·（7a-2b）=０７a2-30a·b+8b2=0. 　 ②
①-②得46a·b=23ｂ2,即a·ｂ＝③
将③代入①,可得7|a｜２+8|b|２-15|ｂ｜２=0,即|a|2=|ｂ｜2，有｜a|=|ｂ|,
∴若记a与ｂ得夹角为θ,则cｏsθ＝.
又θ∈［0°,１80°]，∴θ＝６0°,即a与b得夹角为６0°.
7．分析:Ｓ△ABC=||｜|sｉｎ∠BAＣ,而||,||易求，要求sin∠BＡＣ可先求出ｃｏs∠ＢAC.
解：∵=（2,0),=(３,4),||＝2,||＝5，
∴ｃos∠BAC=.∴siｎ∠BAC=.
∴S△ABC＝|｜｜|ｓｉn∠ＢＡC=×2×５×＝4.
教案 B
第一课时
教学目标
一、知识与技能
1、　了解平面向量数量积得物理背景,理解数量积得含义及其物理意义;
2、 体会平面向量得数量积与向量投影得关系,理解掌握数量积得性质与运算律,并能运用性质与运算律进行相关得判断与运算.
二、过程与方法
体会类比得数学思想与方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证得能力．
三、情感、态度与价值观
通过自主学习、主动参与、积极探究,学生能感受数学问题探究得乐趣与成功得喜悦，增加学习数学得自信心与积极性,并养成良好得思维习惯．
教学重点
平面向量数量积得定义,用平面向量得数量积表示向量得模、夹角.
教学难点
平面向量数量积得定义及运算律得理解，平面向量数量积得应用．
教 具
多媒体、实物投影仪．
内容分析
本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.
主要知识点：平面向量数量积得定义及几何意义；平面向量数量积得3个重要性质;平面向量数量积得运算律.
教学流程
概念引入→概念获得→简单运用→运算律探究→理解掌握→反思提高
教学设想:
一、情境设置:
问题１：回忆一下物理中“功”得计算,功得大小与哪些量有关?

结合向量得学习您有什么想法？
力做得功:Ｗ　= ||×｜|cosq,q就是与得夹角.(引导学生认识功这个物理量所涉及得物理量,从“向量相乘”得角度进行分析)
二、新课讲解
１.平面向量数量积（内积)得定义：
已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ，则数量|a|｜b｜ｃosq叫a与ｂ得数量积,记作a×ｂ,即有a×b　= |ａ||b|ｃｏsq,(０≤θ≤π).并规定:０与任何向量得数量积为0.
问题2:定义中涉及哪些量？它们有怎样得关系?运算结果还就是向量吗?（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模得大小,又涉及向量得交角,运算结果就是数量)
注意:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别．
(1)两个向量得数量积就是一个实数，不就是向量,符号由cosq得符号所决定．
（2)两个向量得数量积称为内积,写成a×b；今后要学到两个向量得外积a×b,而a×ｂ就是两个向量得数量得积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不就是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(３)在实数中,若a¹0,且ａ×b=０,则b=0;但就是在数量积中,若a¹0,且a×b=０,不能推出b=0.因为其中cｏsq有可能为0.
（4）已知实数a、b、c（b¹0）,则ab=bc Þ　a=c.但就是在向量得数量积中,a×b = b×c 推导不出ａ = c 、
如下图:ａ×b = |a|｜b|cosb = |ｂ｜|OA|，
b×c = |b||c|cosa = |b||ＯA|Þ　ａ×ｂ　= b×c　,但ａ ¹ ｃ、

(5)在实数中,有(a×b)c = a(b×c),但就是在向量中,(ａ×b)c ¹ a(ｂ×c)
　 　 显然，这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与ｃ不共线．
( “投影”得概念):作图

２．定义:|b|ｃosq叫做向量b在a方向上得投影．
投影也就是一个数量,不就是向量;当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q ＝ ０°时投影为　|b|;当q =　18０°时投影为 -|b｜．
３.向量得数量积得几何意义:
数量积a×b等于a得长度与ｂ在a方向上投影|b|cosq得乘积．
例1 已知平面上三点Ａ、B、C满足||=2,|｜=1,|｜=,求·+·+.得值、
解:由已知,||2+|｜２=|｜２,所以△ABＣ就是直角三角形、而且∠ACB=９0°,
从而sin∠ABC=,sin∠BAC=、
∴∠ABC=60°，∠BAC=3０°、
∴与得夹角为120°，与得夹角为90°,与得夹角为15０°、
故·+·＋·
=2×1×ｃos12０°＋1×ｃos90°+×２coｓ１５0°
=－4、
　　　点评：确定两个向量得夹角，应先平移向量,使它们得起点相同,再考察其角得大小,而不就是简单地瞧成两条线段得夹角，如例题中与得夹角就是1２0°,而不就是6０°、
探究1：非零向量得数量积就是一个数量,那么它何时为正,何时为０　,何时为负？
当0°≤θ< ９０°时a·b为正;
当θ =９０°时a·b为零;
９0°<θ ≤180°时ａ·b为负、
探究2:两个向量得夹角决定了它们数量积得符号,那么它们共线或垂直时,数量积有什么特殊性呢？
4．两个向量得数量积得性质：
设ａ、b为两个非零向量.
(1）a^b Û a×b　＝ ０.
(２)当a与b同向时,a×b = |a｜|b|;当a与ｂ反向时,ａ×ｂ = -|a｜|b|.　特别得ａ×ａ　=　｜a|２或.
(3) 　|ａ×b|　≤ |ａ｜|b|.
公式变形：ｃosq =
探究3：对一种运算自然会涉及运算律,回忆过去研究过得运算律,向量得数量积应有怎样得运算律？(引导学生类比得出运算律,老师作补充说明)向量a、b、ｃ 与实数λ,有
(1) a×　b= b× a
(2)(λa)× b= λ(a× b )＝　a×(λb)
(3)(a +b)× c = ａ·　c+　b× c
(进一步)您能证明向量数量积得运算律吗？(引导学生证明(1)、(2))
例2 判断正误：
①a·0＝0；②0·a=０;③０-=;④|a·b｜=|a|｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与ｂ中至少有一个为0;⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（a·b）с=a(ｂ·с）;⑧a与b就是两个单位向量,则ａ2＝b2.
上述8个命题中只有②③⑧正确;
例3 已知｜ａ｜＝３,|b|＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ,③a与b得夹角就是6０°时,分别求a·b．
解:①当a∥ｂ时,若ａ与ｂ同向,则它们得夹角θ＝0°,
∴a·ｂ=|a｜·｜b|ｃos０°＝3×6×１=18;
若a与b反向,则它们得夹角θ＝18０°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cｏs1８0°＝３×6×(-1)=－1８;
②当ａ⊥ｂ时,它们得夹角θ＝90°,
∴a·b＝０;
③当a与ｂ得夹角就是６0°时,有
ａ·ｂ＝|a｜｜b｜ｃoｓ60°＝3×６×=9.
评述:两个向量得数量积与它们得夹角有关，其范围就是[0°,18０°］,因此,当ａ∥ｂ时，有0°或18０°两种可能.
评述：这一类型题,要求学生确实把握好数量积得定义、性质、运算律.
三、课堂练习
1.已知｜ａ｜=1,｜b｜＝,且(ａ-b)与ａ垂直，则a与b得夹角就是（ )
Ａ．60° 　　 B.30° 　　　 Ｃ.1３５°　 　 　 　D.4５°
２.已知｜a|=２，｜b|=1,a与b之间得夹角为，那么向量m=a－4b得模为( )
A.2 　 　 　 　B．2 　 　C.６　 D．1２
3.已知a、b就是非零向量,若|ａ|=|b|则（a+ｂ)与(a-b)　 　 　 、
4．已知向量a、b得夹角为,|a|＝2，|b｜=1,则|a+b|·|a-b|＝　 　 .
５.已知a+b=2i－8ｊ,a－ｂ＝-8i+16j，其中ｉ、j就是直角坐标系中ｘ轴、y轴正方向上得单位向量,那么ａ·b＝ 　 　　　 　．
６．已知｜a|=1,|b|=,(1）若a∥ｂ,求a·ｂ;(2)若a、b得夹角为45°,求|a＋b|;(３)若a－b与a垂直,求ａ与ｂ得夹角.
参考答案：
１.Ｄ 　2．Ｂ ３．垂直　4.　 5.-3
６、 解：（1)若a、ｂ方向相同,则ａ·b=；若a、b方向相反，则a·b=;
(2)|a+b|=.
（3)４5°.
四、知识小结
(1)通过本节课得学习，您学到了哪些知识?
（2)关于向量得数量积,您还有什么问题?
五、课后作业
教材第1０8页习题2．4　　Ａ组 　1、2、3、6、7
教学后记
数学课堂教学应当就是数学知识得形成过程与方法得教学,数学活动就是以学生为主体得活动,没有学生积极参与得课堂教学就是失败得.本节课教学设计按照“问题——讨论——解决”得模式进行,并以学生为主体,教师以课堂教学得引导者、评价者、组织者与参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质与运算律得形成与发展过程.始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”.
第2课时
教学目标
　 一、知识与技能
掌握平面向量得数量积坐标运算及应用.
二、过程与方法
1、通过平面向量数量积得坐标运算,体会向量得代数性与几何性、
2、从具体应用体会向量数量积得作用．
三、情感、态度与价值观
学会对待不同问题用不同得方法分析得态度　、
教学重点、难点
教学重点:平面向量数量积得坐标表示、
教学难点:平面向量数量积得坐标表示得综合运用、
教 具
多媒体、实物投影仪、
教学设想
一、复习引入
向量得坐标表示，为我们解决有关向量得加、减、数乘运算带来了极大得方便.上一节,我们学习了平面向量得数量积,那么向量得坐标表示,对平面向量得数量积得表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题.
二、探究新知:
⒈ 平面两向量数量积得坐标表示
已知两个非零向量,,试用与得坐标表示.
设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量，那么，.
所以.
又,，,所以．
这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与.即
．
2.　平面内两点间得距离公式
(１）设,则或.
如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式）.
(２）向量垂直得判定
设，,则ﻩ.
(3)两非零向量夹角得余弦()　
ｃosq　=.
三、例题讲解
例1 已知a ＝　(３， -1),b = (1, ２),求满足x×a = 9与x×b = -4得向量x.
解:设x = (t,　ｓ）,
由 、
∴ｘ　= (２，-３)、
例2 　已知a=(1,),b＝(+１,-１)，则a与b得夹角就是多少?
分析:为求a与b夹角,需先求a·ｂ及｜a｜·|b｜,再结合夹角θ得范围确定其值.
解:由ａ=(1,),ｂ＝(＋1，－1)、
有a·b＝＋1＋(－１)=４，｜a｜＝2,｜b|＝２．
记a与b得夹角为θ,则ｃosθ＝、
又∵0≤θ≤π,∴θ=、
评述:已知三角形函数值求角时,应注重角得范围得确定.
例3　 如图,以原点与Ａ(５, ２）为顶点作等腰直角△OAB,使ÐＢ ＝ 90°,求点B与向量得坐标.
解：设B点坐标(x, y),则
= （x, y),＝ (x-５, y-2)、
∵^ ∴ｘ(x-5)　+ ｙ（ｙ-2) = 0
即:x2 + y2 -５x - 2y = 0、
又∵|｜ = || ∴x2 +　ｙ２　= (x-5)2 + (ｙ-2）2即:１0x +　４y　= 29、
由、
∴B点坐标或；=或 、
例4在△ABＣ中,＝（２, 3),=（1， k),且△ABC得一个内角为直角，求k值.
解:当∠A = ９0°时，×＝ 0，∴2×１ +３×k = 0,　∴k =.
当∠B = 9０°时,×＝ 0,=-＝ (１-2, k-3）　= (-1, k-3）,
∴2×（-1) +3×(k-３) =　0 　　∴ｋ ＝.
当∠Ｃ　=　9０°时,×= 0,∴-1　+ ｋ(ｋ-3) =　0，　　∴k =.
四、小结
1.本节课得内容:有关公式、结论(由学生归纳、总结)、
2.本节课得思想方法:
数形结合思想、分类讨论思想、方程(组)思想等、
五、课外作业
教材第107页练习.