2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学.pdf

-1-绝密启封并使用完毕前试题类型：A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一.选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2|430Ax xx，|230Bxx，则AB（A）3(3,)2（B）3(3,)2（C）3(1,)2（D）3(,3)2（2）设(1i)1ixy，其中 x，y 是实数，则i=xy（A）1（B）2（C）3（D）2（3）已知等差数列na前 9 项的和为27，10=8a，则100=a（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（A）31（B）21（C）32（D）43（5）已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n的取值范围是（A）(1,3)（B）(1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)-2-（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328，则它的表面积是（A）17（B）18（C）20（D）28（7）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若1 01abc，则（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc（9）执行右面的程序图，如果输入的011xyn，则输出x，y 的值满足（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A、B两点，交 C的准线于D、E两点.已知|AB|=4 2，|DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为-3-(A)2(B)4(C)6(D)8(11)平面 a 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a/平面 CB1D1，a平面 ABCD=m，a平面A11ABB=n，则 m、n 所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)1312.已知函数()sin()(0),24f xx+x，为()f x的零点，4x为()yf x图像的对称轴，且()fx在518 36，单调，则的最大值为（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分(13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=.(14)5(2)xx的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足an满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为。（16）某高科技企业生产产品A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3个工时，生产一件产品A 的利润为2100 元，生产一件产品B的利润为900 元。学.科网该企业现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分为12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cos(coscos).C aB+bAc-4-（I）求 C；（II）若7,cABC的面积为3 32，求ABC的周长（18）（本题满分为12 分）如图，在已 A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD，90AFD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60（I）证明；平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A 的余弦值（19）（本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求()0.5P Xn，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？-5-20.（本小题满分12 分）设圆222150 xyx的圆心为A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D两点，过B 作 AC的平行线交AD 于点 E.（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点 E的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P,Q两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.（21）（本小题满分12 分）已知函数2)1(2)(xaexxfx）（有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1，x2是的两个零点，证明：x1+x22.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心，21OA 为半径作圆.(I)证明：直线AB与 O 相切(II)点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD.（23）（本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线C1的参数方程为taytaxsin1cos（t 为参数，a0）。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos.（I）说明 C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3的极坐标方程为a0，其中a0满足 tan=2，若曲线C1与 C2的公共点都在C3-6-上，求 a。（24）（本小题满分10 分），选修 45：不等式选讲已知函数f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式 f(x)1 的解集。-7-2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分(13)2(14)10（15）64（16）216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分为12 分）解：（I）由已知及正弦定理得，2cosC sincossincossinC，即2cosCsinsinC故2sin Ccos CsinC可得1cosC2，所以C3（II）由已知，13 3sin C22ab又C3，所以6ab由已知及余弦定理得，222cosC7abab故2213ab，从而225ab所以C的周长为57（18）（本小题满分为12 分）解：（I）由已知可得FDF，FF，所以F平面FDC又F平面F，故平面F平面FDC（II）过D作DGF，垂足为G，由（I）知DG平面F以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长度，建立如图所示的空间直角坐-8-标系Gxyz由（I）知DF为二面角DF的平面角，故DF60，则DF2，DG3，可得1,4,0，3,4,0，3,0,0，D 0,0,3由已知，/F，所以/平面FDC又平面CD平面FDCDC，故/CD，CD/F由/F，可得平面FDC，所以C F为二面角CF的平面角，C F60从而可得C2,0,3所以C1,0,3，0,4,0，C3,4,3，4,0,0设,nx y z是平面C的法向量，则C00nn，即3040 xzy，所以可取3,0,3n设m是平面CD的法向量，则C00mm，同理可取0,3,4m则2 19cos,19n mn mn m故二面角C的余弦值为2 1919（19）（本小题满分12 分）解：（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11 的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(XP；-9-16.04.02.02)17(XP；24.04.04.02.02.02)18(XP；24.02.04.022.02.02)19(XP；2.02.02.04.02.02)20(XP；08.02.02.02)21(XP；04.02.02.0)22(XP.所以X的分布列为X16 17 18 19 20 21 22 P04.016.024.024.02.008.004.0（）由（）知44.0)18(XP，68.0)19(XP，故n的最小值为19.（）记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19n时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019EY404004.0)500320019(.当20n时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020EY4080.可知当19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值，故应选19n.20.（本小题满分12 分）解：（）因为|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD，所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA.又圆A的标准方程为16)1(22yx，从而4|AD，所以4|EBEA.由题设得)0,1(A，)0,1(B，2|AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：13422yx（0y）.（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(kxky，),(11yxM，),(22yxN.-10-由134)1(22yxxky得01248)34(2222kxkxk.则3482221kkxx，341242221kkxx.所以34)1(12|1|22212kkxxkMN.过点)0,1(B且与l垂直的直线m：)1(1xky，A到m的距离为122k，所以1344)12(42|22222kkkPQ.故四边形MPNQ的面积341112|212kPQMNS.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12.当l与x轴垂直时，其方程为1x，3|MN，8|PQ，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12.（21）（本小题满分12 分）解：（）()(1)2(1)(1)(2)xxfxxea xxea（i）设0a，则()(2)xf xxe，()f x只有一个零点（ii）设0a，则当(,1)x时，()0fx；当(1,)x时，()0fx所以()f x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增又(1)fe，(2)fa，取b满足0b且ln2ab，则223()(2)(1)()022af bba ba bb，故()f x存在两个零点（iii）设0a，由()0fx得1x或ln(2)xa若2ea，则ln(2)1a，故当(1,)x时，()0fx，因此()f x在(1,)上单调递-11-增又当1x时，()0f x，所以()f x不存在两个零点若2ea，则ln(2)1a，故当(1,ln(2)xa时，()0fx；当(ln(2),)xa时，()0fx因此()f x在(1,ln(2)a单调递减，在(ln(2),)a单调递增又当1x时，()0f x，所以()f x不存在两个零点综上，a的取值范围为(0,)（）不妨设12xx，由（）知12(,1),(1,)xx，22(,1)x，()f x在(,1)上单调递减，所以122xx等价于12()(2)f xfx，即2(2)0fx由于222222(2)(1)xfxx ea x，而22222()(2)(1)0 xf xxea x，所以222222(2)(2)xxfxx exe设2()(2)xxg xxexe，则2()(1)()xxg xxee所以当1x时，()0g x，而(1)0g，故当1x时，()0g x从而22()(2)0g xfx，故122xx请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲解：（）设E是AB的中点，连结OE，因为,120OAOBAOB，所以OEAB，60AOE在RtAOE中，12OEAO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与O相切EODCOBA（）因为2OAOD，所以O不是,A B C D四点所在圆的圆心，设O是,A B C D-12-四点所在圆的圆心，作直线OO由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB同理可证，OOCD所以/ABCD（23）（本小题满分10 分）解：cos1sinxatyat（t 均为参数）2221xya1C为以01，为圆心，a 为半径的圆方程为222210 xyya222sinxyy，222sin10a即为1C的极坐标方程24cosC：两边同乘得22224coscosxyx，224xyx即2224xy3C：化为普通方程为2yx由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C得：24210 xya，即为3C210a1a（24）（本小题满分10 分）解：如图所示：-13-4133212342xxfxxxxx，1fx当1x，41x，解得5x或3x1x当312x，321x，解得1x或13x113x或312x当32x，41x，解得5x或3x332x或5x综上，13x或13x或5x1fx，解集为11353，