2018学年高考理科数学年全国卷3.pdf

1/10 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】C【解析】21 i2i2i2ii1i 1 i2z,则1z,选 C.2.【答案】B【解析】2|20RC Ax xx|12xx,故选 B.3.【答案】A【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的 2 倍,所以建设后种植收入为 37%相当于建设前的 74%,故选 A.4.【答案】B【解析】令 na的公差为d,由3243SSS,12a 得113(33)67adad3d,则51410aad,故选 B.5.【答案】D【解析】xR,3232()()(1)(1)fxf xxaxaxxaxax22(1)ax0,则1a,则3()f xxx,2()31fxx,所以(0)1f,在点(0,0)处的切线方程为yx,故选 D.6.【答案】A【解析】1111113()()()2222444BEBABDBABCBAACABACAB,则3144EBABAC,故选 A.7.【答案】B【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形,从点M到点N的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为2 5,故选 B.2/10 8.【答案】D【解析】由方程组22(2)34yxyx,解得12xy或44xy,不妨记(1,2),(4,4)MN.又F为(1,0),所以(0,2)(3,4)8FM FN,故选 D.9.【答案】C【解析】若()g x存在 2 个零点,即()0f xxa有 2 个不同的实数根,即()yf x与yxa 的图像有两个交点,由图可知直线yxa 不在直线1yx 的上方即可,即1a,则1a.故选 C.10.【答案】A【解析】令Rt ABC角,A B C分别对应的边长为,a b c,对应的面积分别为123,s s s.则112sbc；2231142228aabcsbc；222222341122228bcabccbss,因为222bca,所以212sbc.所以1212sspp,故选 A.11.【答案】B【解析】如图所示,不妨记90OMF,F为(2,0),渐近线为33yx,所以30MOFNOF,则cos3,tan3OMOFMOFMNOMMON,故选 B.12.【答案】A【解析】正方体中,连接顶点,M N P Q,三棱锥QMNP为正三棱锥,侧棱与底面所成的角都相等,所以正方体的每条棱与平面MNP所成的角均相等,不妨令平面 N(B)M N 2 16 4 M(A)3/10 MNP平面.易知,当平面截得正方体的截面为如图所示的平行六边形ABCDEF时截面的面 积 可 以 取 到 最 大 值.不 妨 取(01)A Mxx,则2AFEDBCx,2(1)ABEFCDx,/CFMN且2CFMN,等腰梯形ABCF、DEFC的高分别为6(1)2x和62x 所以ABCDEFABCFDEFCSSS23(2(1)2)6(221)222xxxx.当12x 时,截面面积的最大值为333 3224.故选 A.二、填空题 13.【答案】6【解析】可行域为ABC及其内部,当直线322zyx 经过点(2,0)B时,max6z.14.【答案】63【解析】由11121aSa得11a ,当2n时,1121 21nnnnnaSSaa,即12nnaa,所以 na是等比数列,61248163263S .15.【答案】16【解析】恰有 1 位女生的选法有122412C C 种,恰有 2 位女生的选法有21244C C 种,所以不同的选法共有 16 种.16.【答案】3 32【解析】因为()f x是奇函数,且()(2)f xf x,即周期为2,所以只需要研究()f x在,上的图像.又2()2cos2cos22(2coscos1)2(2cos1)(cos1)fxxxxxxx,则()f x在,上 的 极 值 点 为,3 3x ,因 为3 3()(),()0332fff ,所 以m i n()f x3 32.三、解答题（一）必考题：共 60 分。4/10 17.【答案】(1)235(2)5【解析】(1)如图所示,在ABD中,由正弦定理sinsinBDABAADB,得2sin5ADB,90ADC,ADB为锐角,223cos1 sin5ADBADB；(2)90ADC,2coscos(90)sin5CDBADBADB,若2 2DC,则在BCD中,由余弦定理2222cosBCBDDCBD DCCDB,得22582 5 2 255BC .18.【答案】(1)见解析(2)34【解析】(1)证明：四边形ABCD为正方形,E F分别为,AD BC的中点,/EFABCD且BFEF,PFBF EFPFF,BF平面PEF,BF 平面ABFD,平面PEF 平面ABFD.(2)方法方法 1：由(1)知BF 平面PEF,BFPE,/BFAD,PEAD.令正方形ABCD的边长为 2,2,1PDDCED,223PEPDDE.作POEF交EF于点O,连接OD,由(1)知平面PEF 平面ABFD,PO平面PEF,平面PEF平面ABFDEF,PO平面ABFD,斜线DP在平面ABFD内的射影为OD,PDO等于DP与平面ABFD所成的角.1,2PFCFEF,222PEPFEF,即PEPF且60PFE,A B C D A B P C F E D O 5/10 在Rt POF中,3322OPPF.在Rt POD中,3sin4POPDOPD,即DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.方法方法 2：作POEF交EF于点O,连接OD,由(1)知平面PEF 平面ABFD,PO平面PEF,平面PEF平面ABFDEF,PO平面ABFD,斜线DP在平面ABFD内的射影为OD,PDO等于DP与平面ABFD所成的角,令正方形ABCD的边长为 2,(0)OFa a,则2EOa,2221POPFOFa,2223DOPDPOa,由222DOEDEO得2231(2)aa,解得12a.32PO,2PD,则3sin4POPDOPD,即DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.方法方法 3：作POEF交EF于点O,由(1)知平面PEF 平面ABFD,PO平面PEF,平面PEF平面ABFDEF,PO平面ABFD,以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.令正方形ABCD的边长为 2,(0)OFa a,则2(0,2,0),(0,2,1),(1,0,0)FPaaD 90DPF,0PF DP,即22(0,1)(1,2,1)0aaaa,即2(2)(1)0aaa,解得12a.所以33(1,)22DP,易知平面ABFD的一个法向量为(0,0,1)n,故332cos,1 24n DPn DPnDP,即DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.A B P C F E D O x y z 6/10 19.【答案】(1)直线AM的方程为：2(2)2yx 或2(2)2yx(2)见解析【解析】(1)右焦点为(1,0)F,当l与x轴垂直时有:1l x,则A为2(1,)2或2(1,)2,直线AM的方程为：2(2)2yx 或2(2)2yx；(2)方法方法 1：令直线,AM BM的斜率分别为12,k k,当l与x轴重合时有120kk,所以0OMAOMB；当l与x轴不重合时,令:1,l myx1122(,),(,)A x yB x y,由22112myxxy得22(2)210mymy,则12122221,22myyy ymm,因为12kk121212121212122()2211(1)(1)yyyymy yyyxxmymymymy,所 以12kk221222220(1)(1)mmmmmymy,即 直 线,AM BM的 倾 斜 角 互 补,得OMAOMB.综合所述,得OMAOMB.方法方法 2：令直线,AM BM的斜率分别为12,k k,由(1)知,当l与x轴垂直时有12kk,即直线,AM BM的倾斜角互补,得OMAOMB；当l不与x轴垂直时,令:(1),l yk x1122(,),(,)A x yB x y,由22(1)12yk xxy得2222(21)4220kxk xk,则22121222422,2121kkxxx xkk,因为12kk12121212121212(1)(1)23()42222(2)(2)yyk xk xkx xxxxxxxxx,所以12kk2222122(22)43421210(2)(2)kkkkkxx,即直线,AM BM的倾斜角互补,得OMAOMB.综合所述,得OMAOMB.7/10 20.【答案】(1)0110p (2)()490EX ()应该对这箱余下的所有产品都作检验.【解析】(1)由 n 次独立重复事件的概率计算得221821820()(1)190(1)f pC pppp,1821717()380(1)190 18(1)380(1)(1 10)fpppppppp且01p,()0fp时,得110p.又当1(0,)10p时,()0fp,()f p单调递增；当1(,1)10p时,()0fp,()f p单调递减,所以110p 是()f p在(0,1)上唯一的极大值点,也是最大值点,即0110p.(2)()已检验的 20 件产品的检验费用为20 240元.该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布1(180,)10B,估计不合格品件数为11801810,若不对该箱余下的产品作检验,余下的产品的赔偿费用估计为18 25450元.所以,若不对该箱余下的产品作检验,则40450490EX.()若对该箱余下的产品都作检验,则只需支付检验费用,40 180 2400EX.因为490400,所以应该对这箱余下的所有产品都作检验.21.【答案】(1)2a 时,()f x在定义域(0,)上始终单调递减；2a 时,()f x在2244(0,),(,)22aaaa上递减,在2244(,)22aaaa上递增.(2)见解析【解析】(1)22211()1(0)axaxfxxxxx 令2()1g xxax,24a.2,2a 时,0,()0fx恒成立,所以()f x在定义域(0,)上始终单调递减.2a 或2a 时,0.8/10 由()0g x 即()0fx解得221244,22aaaaxx,且1212,1xxa x x.2a 时,120,0 xx,()0fx恒成立,所以()f x在定义域(0,)上始终单调递减.2a 时,210 xx,在12(0,),(,)xx 上()0fx,()f x单调递减；在12(,)x x上()0fx,()f x单调递增.综上所述,2a 时,()f x在定义域(0,)上始终单调递减；2a 时,()f x在2244(0,),(,)22aaaa上递减,在2244(,)22aaaa上递增.(2)证明：方法方法 1：由(1)知2a 时()f x存在两个极值点,且210 xx.欲证明1212()()2f xf xaxx等价于证明1212()()(2)()f xf xaxx.即证明1122()(2)()(2)f xaxf xax,其中12,x x是方程210 xax 的两个根.令()()(2)h tf tat,则满足210tat,即1tat.221111 111()()(2)1(2)1()(2)2()h tf taaattttttt ttt 12tat,1()2()0h ttt,()()(2)h tf tat在(0,)t上为减函数.因为210 xx,所以12()()h xh x,即1122()(2)()(2)f xaxf xax,得证.方法方法 2：由(1)知210 xx,122xxa,121x x,从而有2110 xx.11221212121211lnln()()xaxxaxf xf xxxxxxx 1211212212121()(1)ln()()xxxaf xf xx xxxxxx11222lnxaxxx ,要证明1212()()2f xf xaxx等价于证明11222ln2xaaxxx,即证明1122lnxxxx.121x x,只需证明21111lnxxx,即证明11112ln0 xxx成立即可.令1()2ln,(0,1)ttttt,9/10 则222222121(1)()10tttttttt,()t在(0,1)上为减函数.所以()(1)0t,根据1(0,1)x,证得11112ln0 xxx成立,得证.（二）选考题：共 10 分。22.【答案】(1)2C的直角坐标方程为22230 xyx (2)1C的方程为：4|23yx.【解析】(1)cos,sinxy,所以2C的直角坐标方程为22230 xyx；(2)曲线1C：2,02,0kxxykxx,其图像是关于y轴对称且以(0,2)为端点的两条射线.2C：22(1)4xy,其图像是以(1,0)为圆心,半径为 2 的圆.若1C与2C有且仅有三个公共点,则0k 且2(0)ykxx与2C相切(如图).由2221kk 且0k,解得43k ,则1C的方程为：4|23yx.23.【答案】(1)解集为1(,)2.(2)02a.【解析】(1)当1a 时,()11f xxx,则 1x时,()2f x,则()1f x 无解；11x 时,()2f xx,则()1f x 的解集为1(,1)2；1x 时,()2f x,则()1f x 的解集为1,).综上所述,所求解集为1(,)2.(2)(0,1)x时不等式()f xx成立,即11xaxx,则11ax成立.所以211 10axax .因为01x时,有2(2,)x,所以02a.x O 2 y 10/10