复变函数习题答案第5章习题详解.pdf

第五章习题详解第五章习题详解1 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：1)1 1z z z z 1 1 2 22 2解：2)3)4)5)6)7)sinz z1 1z z3 31 1z z3 3 z z2 2 z z 1 1lz lz z z 1 1 z zz z 1 1 z z2 2 1 1 e e z z 1 1e ez z 1 11 1z z2 2 e ez z 1 1 z z2 2n n8)，n n为正整数n n1 1 z z9)2 求证：如果z z0 0是f f z z 的m m m m 1 1 级零点，那么z z0 0是f f3 验证：z z 4z z 0 0是函数 sin z z shzshz 2 2z z 的几级极点？2 21 1sin z z2 2 z z 的m m 1 1级零点。i i2 2是chzchz的一级零点。1f f z z f f z z 5 如果f f z z 和g g z z 是以z z0 0为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么lim（或 limz zz z0 0g g z z z zz z0 0g g z z 两端均为）6 设函数 z z 与 z z 分别以z z a a为m m级与n n级极点（或零点），那么下列三个函数在z z a a处各有什么性质：z z；1)z z 2)3)z z z z；7 函 数f f z z z z；z z 1 1在z z 1 1处 有 一 个 二 级 极 点；这 个 函 数 又 有 下 列 洛 朗 展 开 式：2 2z z z z 1 1 1 11 11 11 1 ，z z 1 1 1 1，所以“z z 1 1又是f f z z 的本性奇点”；2 25 54 43 3 z z 1 1 z z 1 1 z z 1 1 z z z z 1 1 又其中不含 z z 1 1 幂，因此Res s f f z z,1 1 0 0。这些说法对吗？1 18 求下列各函数f f z z 在有限奇点处的留数：1)z z 1 12 2z z 2 2z z1 1 e e2 2z z2)z z4 43)4)21 1 z z4 4 z z2 2 1 1 3 3z zcosz z5)cos1 11 1 z z6)z z2 2sin1 1z z7)1 1z zsin z z8)shzshzchzchz9 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）1)sinz zz z 3 3z zdzdz2 22 2z z2)e e 1 1 2 2dzdzz z 2 2 z z3)1 1 cosz zz z 3 3z zm mdzdz，其中m m为整数2 24)z z 2 2 thzdzthzdzi i 1 15)zdzzdzz z tg tg 3 36)1 1dzdz（其中n n为正整数，且a a 1 1，b b 1 1，a a b b），z z 1 1 z z a a n n z z b b n n。提示：试就a a的大小关系分别进行讨论。10判定z z 是下列各函数的什么奇点？并求出在 的留数：1 11)e ez z2 2解：3b b与 12)cosz z sin z z3)11求Res s f f z z,的值，如果2 2z z2 23 3 z ze ez z1)f f z z 2 2z z 1 1e ez z2)f f z z 4 4z z z z 1 1 z z 4 4 12计算下列各积分，C C为正向圆周：1)z zC Cz z15152 2 1 1 z z 2 2 2 24 41 13 3dzdz，C C：z z 3 3z z3 3z z2)e e dzdz，C C：z z 2 21 1 z zC Cz z2 2n n3)，C C：z z r r 1 1dzdz（n n为一正整数）n nC C1 1 z z13计算下列积分：1)2)3)0 01 1d d 5 5 3 3sin sin2 2 d d，a a b b 0 0 a a b bcos 0 0 1 1 x x 1 12 22 2dxdxx x2 2dxdx4)1 1 x x4 445)6)cos x xdxdxx x2 2 4 4x x 5 5x xsin x x 1 1 x x2 2dxdx14试用图 5.10 中的积分路线，求例4 中的积分：15利用公式 5 5.4 4.1 1 计算下列积分：1)0 0sin x xdxdxx x1 1dzdz z zz z 3 3z zdzdz2 2 z z 3 3z z 1 1解：2)3)4)16设C C为区域D D内的一条正向简单闭曲线，z z0 0为C C内一点。如果f f z z 在D D内解析，且f f z z0 0 0 0，z z 3 3 tgzdztgzdz1 1dzdz z z z z 1 1 z z 3 31 1zf zf z z f f z z0 0 0 0。在C C内f f z z 无其他零点。试证：dzdz z z0 0 2 2 i iC Cf f z z 17设 z z 在C C：z z 1 1上及其内部解析，且在C C上 z z 1 1。证明在C C内只有一个点z z0 0使 z z0 0 z z0 0。z zn n18证明：当a a e e时，方程e e azaz 0 0在单位圆z z 1 1内有n n个根。7 73 319证明方程z z z z 1212 0 0的根都在圆环域1 1 z z 2 2内。5