2015年高考文科数学湖北卷.pdf

数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）数学试卷 第 3 页（共 6 页）绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分 150 分,考试时间 120分钟.注意事项：1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i为虚数单位，607i=（）Ai Bi C1 D1 2我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 （）A134 石 B169 石 C338 石 D1 365 石 3命题“0(0,)x，00ln1xx”的否定是 （）A0(0,)x，00ln1xx B0(0,)x，00ln1xx C(0,)x，ln1xx D(0,)x，ln1xx 4已知变量x和y满足关系0.11yx，变量y与z正相关.下列结论中正确的是（）Ax与y负相关，x与z负相关 Bx与y正相关，x与z正相关 Cx与y正相关，x与z负相关 Dx与y负相关，x与z正相关 51l，2l表示空间中的两条直线，若 p：1l，2l是异面直线；q：1l，2l不相交，则 （）Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 6函数256()4|lg3xxf xxx的定义域为 （）A(2,3)B(2,4 C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6 7设xR，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0,xxxx则 （）A|sgn|xxx B|sgn|xxx C|sgnxxx D|sgnxxx 8在区间0,1上随机取两个数x，y，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“12xy”的概率，则 （）A1212pp B1212pp C2112pp D2112pp 9将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()b ab同时增加(0)m m 个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则 （）A对任意的a，b，12ee B当ab时，12ee；当ab时，12ee C对任意的a，b，12ee D当ab时，12ee；当ab时，12ee 10已知集合22(,)1,Ax y xyx yZ，(,)|2,|2,Bx yxyx yZ，定义集合12121122(,)(,),(,)ABxxyyx yAxyB，则AB中元素的个数为 （）A77 B49 C45 D30 第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.把答案填在题中的横线上.11已知向量OAAB ，|3OA ，则 OAOB _.12若变量,x y满足约束条件4,2,30,xyxyxy则3xy的最大值是_.13函数2()2sin sin()2f xxxx的零点个数为_.14某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示.（）直方图中的a _；（）在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_.15如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _m.16如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的上方），且2AB.（）圆C的标准方程为_；（）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_.17 a 为实数，函数2()|f xxax在区间0,1上的最大值记为()g a.当a _时，()g a的值最小.-在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_ 数学试卷 第 4 页（共 6 页）数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18（本小题满分 12 分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,|)2f xAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x 0 2 32 2 x 3 56 sin()Ax 0 5 5 0（）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x的解析式；（）将()yf x图象上所有点向左平行移动6个单位长度，得到()yg x的图象，求()yg x的图象离原点 O 最近的对称中心.19（本小题满分 12 分）设等差数列na的公差为 d，前 n 项和为nS，等比数列 nb的公比为 q，已知11ba，22b，qd，10100S.（）求数列na，nb的通项公式；（）当1d 时，记nnnacb，求数列 nc的前 n 项和nT.20（本小题满分 13 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD 底面ABCD，且PDCD，点E是 PC的中点，连接DE，BD，BE.（）证明：DEPBC 平面.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）记阳马PABCD的体积为1V，四面体EBCD的体积为2V，求12VV的值.21（本小题满分 14 分）设函数()f x，()g x的定义域均为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，()f x()g xex，其中 e 为自然对数的底数.（）求()f x，()g x的解析式，并证明：当0 x时，()0f x，()1g x；（）设0a，1b，证明：当0 x时，()()(1)()(1)f xag xabg xbx.22（本小题满分 14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示，O是滑槽AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，3MN.当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕O转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.（）求椭圆 C 的方程；（）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,P Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.