高等数学竞赛专题-专题十四 构造法在数学分析中的应用.doc

专题十四 构造法在数学分析中的应用 构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益.问题1：什么是构造法呢?答：构造一个辅助问题,通过这个辅助问题的认识或解决,达到对原问题的认识或解决的方法就称为构造法.问题2：构造法有固定的模式吗? 其基本的方法是怎样的？答：构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.数学分析中有着大量的应用构造法解决的问题,在数学分析的定义、定理和习题中随处可见, 存在性命题的出现,例如: 在证明命题定理时,可以构造一个辅助函数;在求不定积分时,常常要凑微分,也就是构造新函数;在极限求法中可以构造级数,构造定积分;在证明极限不存在的某些问题,可以构造数列;在求函数Z=在条件=0下的条件极值,可构造L氏函数L=+;在计算某些线积分时,可以构造闭围道,化为二重积分或曲面积分等等.数学分析,从极限到微积分,到无穷级数的理论,不论是概念的引入,形成或是基本理论的研究,可以说处处贯穿着构造的思想.事实上,例如:1、作为分析基础,实数理论的建立,按照康托尔的观点,构造了有理数列;按戴德金的观点,构造了有理数集的分割.2、在极限论中,则采用了构造区间套的方法.3、如果x在有定义,我们构造了极限式: ,进而创造了定积分的理论.4、对于级数我们构造了序列定义了级数的敛散性,进而建立了无穷级数理论.可见，在数学分析中，构造的策略方法比起初等数学中常用的构造策略更为灵活、广泛. 问题3：构造法在数学分析理论研究中有哪些方面的应用？答：构造法在数学分析中几乎在所有的方面都有应用，主要体现在：（1）在极限论中的应用；（2）在微分学中的应用；（3）在计算积分中的运用；（4）在级数中运用。问题4：举例说明构造法在极限论中是如何应用的？答：下面举例说明：例1、证明：若，且有： -（1），则收敛.证明： 为了证明 收敛，只要证明. （2）为此，我们设法构造序列，使从（1）式可推出（2）式.首先，在中有子列，使得 .如此，做作序列如下：=，这时，且，因此 ，故（1）式成为 ，可得 ，从而收敛，得证.例2、求.解： 首先把上式变形得，要想求极限只须构造积分得，=.例3 菲波拉奇数列（）设，求.分析： 假设极限存在，值为，则，即因0，负数不合题意，故=.我们来研究的分布情况：若，则；若，则，即在的左右来回跳动，而=1，故知； 若收敛于，则，亦然，因此我们猜想：是否在左端，在右端？为此我们来考察的符号：现在我们构造函数：.而函数的两根为，故 =， 可得，以为上界，以为下界，因此两个子列，记，在及里取极限得：.由此得，既然，有相同的极限，知.例4 设0，且，证明：数列中存在一个子序列是收敛的子序列.证明： （1）若有界，设，将二等分，得区间，则其中至少有一个区间包含中无穷多项，将它记为再将二等分，又可得区间，且包含中无穷多项，这样继续下去，可得一串区间： 其中每个都包含数列中无穷多项，但 ，再由区间套原理具有唯一的公共点，即有 ，然后在，中各取中一项，则： ，而， .（2）若无界，则中必有有界的子数列（否则，与假设矛盾），则（1）得证.问题5：举例说明构造法在微分学中是如何应用的？答：在微分学中的应用，最普遍的就是证明拉格朗日中值定理，首先（1）拉格朗日中值定理 :若函数满足如下条件, （i）在区间连续,(ii) 在区间 可导, 则在内至少存在一点,使得() =.例5 如果()在 上连续,则在上必存在，且,使得.证： 作辅助函数：() (-)-()-()(c).显然,它在, 上连续.() ()(),()()()().如果 ()0,则设=,= ；如果 ()=0, 则设=,=；如果 ()= ()=0,则上两种情况中取其一确定,；如果 ()0，()0，则 () +()=0，()()0.由连续函数的介值定理,在(, )内至少存在一点,使得()=0,此时,设=, =.以上这些情况下皆有.例6 如果（）在内可导，数列、满足条件：，当时，则 .下面我们利用以上两个例题5、6来证明拉格朗日中值定理：重复运用例题5的结论，得到的子区间序列且-=，显然数列、有相同的极限，满足，这里，因此如果=或=，则=，此时比例式无意义.再运用例题6的结论，得.故得证.例7 中值定理的有趣推论: 定理 2 若（）在上连续,在内可导,则在内至少存在一点,使得 =().证 作辅助函数 ,则(x)在上连续,在内可导,且 = =0, = =0.由罗尔定理知,在内至少存在一点,使得()=0. ()=()-, ()=()b()=0,= ,. 定理2的几何意义是 : 在光滑的平面曲线AB(y=(),ab)上,至少存在异于A,B的点M(,(),使它具有下面的性质.如果过M 、B分别作平行于轴、轴的直线交于N,过M、A分别作平行于轴、轴的直线交于Q,过M处曲线的切线与QA的延长线交于P,则 MN=PQ.例8 (一般形式的中值定理)设和是闭区间上的两个连续函数,在区间可导, 则在内至少存在一点,使得：() (),分析:将结果中的换成,得 ,作恒等变换 : =0, 则 ( =0,积分得 =C,作辅助函数 = 证明: 作辅助函数 =，显然在闭区间满足定理的条件, 故在内至少存在一点,使得 ()=0 .即 () =() . 从一般形式的中值定理的证明看出,微分中值类问题中的证明,关键是构造一个辅助函数,构造方法一般从结论出发,通过对条件和结论的分析, 构造出辅助函数 ,具体的构造方法如下:将欲证结论中的换成x,然后等式两端积分,在将积分结果移项,使等式一端为常数,则等式的另一端为所求的辅助函数. 例9 设函数()闭区间0,1上连续, 在区间(0,1)有二阶导数,证明存在（0,1）,使 (1) 2()+(0)= ().分析： 将式中换成,变为() = 4(1) 2()(0)，记 =4(1) 2()(0)得二阶常微分方程()= ,其通解为: () 2作辅助函数 ： () () 2为使()满足定理的条件,令(0)()(1)0可得： (1) (0) ， (0)于是： () () (1) (0)(0)证明 ： 记=4(1) 2(0)， 作辅助函数：()() (1) (0) (0)则()闭区间0,1上连续, 在区间(0,1)可导,且()(1)=0,由定理,存在1(0, ),2(,1),使得(1)= (2)=0,再由定理, (1, 2) (0,1),使得：()=,即 ：(1) () (0)().例 10 设()在0,1上非负连续,且(0)=(1)=0.则对任意一个实数(01),必有实数 (01)使()=( ). 证： 构造辅助函数,令 ()=() ()。 (0)=(0) ()=()0(1)=(1)(1)=(1)0.分三种情况讨论:当(0)=0时,则取=0,有式成立.当(1-)=0时,则取=1,有式成立.当(0)0时,由于(x)在0, 1上连续,两端点函数值反号,从而存在(0, 1)(即011)使()=0,所以： 0=() (+) 即：()=(+).例11 设是大于的任意一个常数，试证对于任意0时成立。分析：题设条件中告诉了是一个常数，我们自然会想到它有可能是一个分界点，这与函数的极值点极为相似，为此我们构造函数，经检验=1恰好是函数的一个极值点，故我们只要证明：当=1时函数的值最小，并且 恒大于零即可。证明：作辅助函数，其中0， 因为，所以只需要证明0（当0时）， 令，可以得到唯一的稳定点.当时， 0；时，0；所以 =22 +2=2（1）+20. 所以原命题成立，证毕. 注：辅助函数解题法是解题中的一种常用有效的方法,给出解微分中值类问题的辅助函数的构造方法,原函数法和微分方程法,提供了一种具有一定规律可循的构造辅助函数的方法。其实,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各种数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,利用转化运动的观点,就可以构造出合适的构造函数来.问题6：举例说明构造法在计算积分中是如何应用的？答：在求不定积分时,常要将被积函数()适当变形,写成 的形式,使得与凑成函数=的微分,这就是凑微分.使用凑微分法时必须熟悉一些公式,有以下这些:,.下面通过几个例题说明:例12 求 .解 原 式 +x-例13 求.解 原 式 = = = .在求曲线积分和曲面积分的时候,往往会构造封闭曲面化曲面积分为重积分来计算.例14 以S表示椭球B的上半部分(), 表示的外法线的方向余弦,计算曲面部分.解 补充平面上的椭圆与构成封闭曲面为,由于: ,从而=0. (由高斯公式) 设，上式 . 应用构造法求解微积分学的问题，其程序是通过对问题的观察，运用联想和类比从而构造辅助问题 ，通过辅助问题的解决使原问题得到解决. 例15 设、均为上的连续增函数,证明： 证：构造函数： ()，则： ， 在上单调递增, .故不等式成立.问题7：举例说明构造法在级数中是如何应用的？答：在研究级数收敛性的过程中,构造一新级数帮助解题是非常可取的. 级数与函数、数列、导数、积分等诸多知识密切地联系在一起。根据问题条件中的数量关系和结构特征,构造出一个级数, 然后依据级数的理论, 使问题在新的关系下达到转化而获解。例如:例16 证明级数收敛.证 只须证明收敛.构造级数为证明级数收敛.须再构造级数 是交错级数, ，且 由莱布尼兹判别法,级数收敛,而级数收敛,故级数收敛.设 ，若令为级数的前项部分和.则 ,设, .故，则级数收敛, 从而级数收敛.例 17 证明级数:发散到+.证明: 构造 =.则 . 易知发散到+.所以又 ,所以. 通过以上例题的分析与证明,大家已经对构造有了一定的了解,现在再来看看下面这个例题,怎么样构造另一个问题来解决.例18 设的定义如下=, =, =(+ )(=3.4):求 解: 构造函数(设=0),具体写出,如下: =,= , ( ) = , , ,因此, , =+ k-2 =. 综观上述,在数学分析中我们广泛应用着构造函数，构造区间或区间套，构造数列或级数等策略，而且构造的过程, 体现了化归的思想原则 构造函数思想是数学分析的一种重要的思想方法,在数学分析中具有广泛的应用.它属于数学思想方法中的构造法.所谓构造法解决问题,就是按固定方式,经有限步骤能够实现的方法,在解题时,常表现为不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解. 它具有两个显著的特性:直观性和可行性,正是这两个特性,在数学解题中经常运用它.构造函数思想在数学分析中的应用,最典型的是拉格朗日中值定理的证明. 这个 定理的证明正是根据几何直观的启示,构造了一个与问题有关的辅助函数,才得以运用罗尔定理解决的.对于初学者来说,大多感到抽象,难以理解. 因此,在教学中应重视这种思想方法的引导和渗透,多加训练,归纳总结,使学生切实掌握. 这不仅可以提高学生的解题能力,而且可以进一步提高学生的数学素质,培养数学能力.参考文献 1 华东师范大学数学系. 数学分析. 高等教育出版社. 1991.2 方初宝. 数学分析选讲M.南宁：广西出版社3 复旦大学数学系数学分析高等教育出版社1983.7 4 裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京：高等教育出版社5 钱昌本高等数学解题过程的分析与研究北京科学出版社6 柳重堪 高等教育解题方法指导 M .北京：国防工业出版社1989.7 钱吉林数学分析题解精粹M崇文书局2003.8 李瑞芝主编 数学史辞典山东教育出版社2000.89 同济大学教研室高等数学（第4版）M北京：高等教育出版社199610 陈文灯 数学（理工类）复习指南 M北京：世界图书出版公司199811 R柯朗，约翰著：微积分数学分析引论科学出版社2003.312 15 侯繁义. 数学思维与数学方法 . 长春：东北师范大学出版社，1991.13