高等数学竞赛专题-专题十四 构造法在数学分析中的应用.doc

专题十四 构造法在数学分析中的应用

构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益.
问题1：什么是构造法呢?
答：构造一个辅助问题,通过这个辅助问题的认识或解决,达到对原问题的认识或解决的方法就称为构造法.
问题2：构造法有固定的模式吗? 其基本的方法是怎样的？
答：构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.
数学分析中有着大量的应用构造法解决的问题,在数学分析的定义、定理和习题中随处可见, 存在性命题的出现,例如:
在证明命题定理时,可以构造一个辅助函数;在求不定积分时,常常要凑微分,也就是构造新函数;在极限求法中可以构造级数,构造定积分;在证明极限不存在的某些问题,可以构造数列;在求函数Z=在条件=0下的条件极值,可构造L氏函数L=+;在计算某些线积分时,可以构造闭围道,化为二重积分或曲面积分等等.
数学分析,从极限到微积分,到无穷级数的理论,不论是概念的引入,形成或是基本理论的研究,可以说处处贯穿着构造的思想.事实上,例如:
1、作为分析基础,实数理论的建立,按照康托尔的观点,构造了有理数列;按戴德金的观点,构造了有理数集的分割.
2、在极限论中,则采用了构造区间套的方法.
3、如果﹙x﹚在有定义,我们构造了极限式: ,进而创造了定积分的理论.
4、对于级数我们构造了序列｛｝定义了级数的敛散性,进而建立了无穷级数理论.
可见，在数学分析中，构造的策略．方法比起初等数学中常用的构造策略．更为灵活、广泛.
问题3：构造法在数学分析理论研究中有哪些方面的应用？
答：构造法在数学分析中几乎在所有的方面都有应用，主要体现在：（1）在极限论中的应用；（2）在微分学中的应用；（3）在计算积分中的运用；（4）在级数中运用。
问题4：举例说明构造法在极限论中是如何应用的？
答：下面举例说明：
例1、证明：若，且有： ---（1），则收敛.
证明： 为了证明 收敛，只要证明. （2）
为此，我们设法构造序列，使从（1）式可推出（2）式.首先，在中有子列，使得 .如此，做作序列如下：
=，这时，，且，因此 ，故（1）式成为 ，可得 ，从而收敛，得证.
例2、求.
解： 首先把上式变形得，，要想求极限只须构造积分得，
==.
例3 菲波拉奇数列（）设，求.
分析： 假设极限存在，值为，则，即
因＞0，负数不合题意，故=.
我们来研究的分布情况：
若＜，则＞；若＞，则＜，
即在的左右来回跳动，而=1＞，故知
＞； ＜
若收敛于，则，亦然，因此我们猜想：是否在左端↗，在右端↘？为此我们来考察的符号：

现在我们构造函数：.而函数的两根为
，
故 =，

可得，↗以为上界，↘以为下界，因此两个子列，记，在及里取极限得：.
由此得，既然， 有相同的极限，知
.
例4 设＞0，且，证明：数列中存在一个子序列是收敛的子序列.
证明： （1）若有界，设，将二等分，得区间，则其中至少有一个区间包含中无穷多项，将它记为再将二等分，又可得区间，且包含中无穷多项，这样继续下去，可得一串区间：
其中每个都包含数列中无穷多项，但 ，
再由区间套原理具有唯一的公共点，即有 ，
然后在，中各取中一项，则：
，而，∴ .
（2）若无界，则中必有有界的子数列（否则，与假设矛盾），则（1）得证.
问题5：举例说明构造法在微分学中是如何应用的？
答：在微分学中的应用，最普遍的就是证明拉格朗日中值定理，首先
（1）拉格朗日中值定理 :若函数满足如下条件, （i）在区间连续,(ii) 在区间 可导, 则在内至少存在一点,使得
() =.
例5 如果()在 上连续,则在上必存在，且,使得
.
证： 作辅助函数：() [(-)]-()-()(c).
显然,它在[, ]上连续.
() [()()],
()(()())().
如果 ()0,则设=,= ；
如果 ()=0, 则设=,=；
如果 ()= ()=0,则上两种情况中取其一确定,；
如果 ()≠0，()≠0，则 () +()=0，()()<0.
由连续函数的介值定理,在(, )内至少存在一点,使得()=0,此时,设=, =.以上这些情况下皆有.
例6 如果（）在内可导，数列、满足条件：＜＜，当时，，，则 .
下面我们利用以上两个例题5、6来证明拉格朗日中值定理：
重复运用例题5的结论，得到的子区间序列且-=，
，，
显然数列、有相同的极限，满足，这里≠，≠，因此如果=或=，则=，此时比例式无意义.
再运用例题6的结论，得
＜＜.
故得证.
例7 中值定理的有趣推论:
定理 2 若（）在上连续,在内可导,则在内至少存在一点,使得 =′().
证 作辅助函数 ,
则(x)在上连续,在内可导,且
= =0,
= =0.
由罗尔定理知,在内至少存在一点,使得()=0.
()=()--,
()=′()b′()=0,
= ,.
定理2的几何意义是 : 在光滑的平面曲线AB(y=(),a≤≤b)上,至少存在异于A,B的点M(,()),使它具有下面的性质.如果过M 、B分别作平行于轴、轴的直线交于N,过M、A分别作平行于轴、轴的直线交于Q,过M处曲线的切线与QA的延长线交于P,则 MN=PQ.
例8 (一般形式的中值定理)设和是闭区间上的两个连续函数,在区间可导, 则在内至少存在一点,使得：
[]() [](),
分析:将结果中的换成,得 [] [],
作恒等变换 : [][] =0,
则 ( [][ ]=0,
积分得 [][ ]=C,
作辅助函数 =[][]
证明: 作辅助函数 =[][]，
显然在闭区间满足定理的条件, 故在内至少存在一点,使得 ()=0 .即 []() =[]() .
从一般形式的中值定理的证明看出,微分中值类问题中的证明,关键是构造一个辅助函数,构造方法一般从结论出发,通过对条件和结论的分析, 构造出辅助函数 ,具体的构造方法如下:将欲证结论中的换成x,然后等式两端积分,在将积分结果移项,使等式一端为常数,则等式的另一端为所求的辅助函数.
例9 设函数()闭区间[0,1]上连续, 在区间(0,1)有二阶导数,证明存在（0,1）,使 (1) 2()+(0)= ().
分析： 将式中换成,变为() = 4((1) 2()(0))，
记 =4((1) 2()(0))得二阶常微分方程()= ,其通解为:
() 2
作辅助函数 ： () () 2
为使()满足定理的条件,令(0)()(1)0可得：
(1) (0) ， (0)
于是： () () ((1) (0))(0)
证明 ： 记=4((1) 2((0))， 作辅助函数：
()() ((1) (0)) (0))
则()闭区间[0,1]上连续, 在区间(0,1)可导,且()(1)=0,
由定理,存在1(0, ),2(,1),使得(1)= (2)=0,再由定理, (1, 2) (0,1),使得：()=,即 ：(1) () (0)().
例 10 设()在[0,1]上非负连续,且(0)=(1)=0.则对任意一个实数(0<<1),必有实数 (01)使()=( ).
证： 构造辅助函数,令 ()=() ()。
∴(0)=(0) ()=()≦0
(1)=(1)(1)=(1)≧0.
分三种情况讨论:
⑴当(0)=0时,则取=0,有①式成立.
⑵当(1-)=0时,则取=1,有①式成立.
⑶当(0)<0. 当(1)>0时,由于(x)在[0, 1]上连续,两端点函数值反号,从而存在∈(0, 1)(即0<<1<1)使()=0,所以：
0=() (+) 即：()=(+).
例11 设是大于的任意一个常数，试证＜对于任意＞0时成立。
分析：题设条件中告诉了是一个常数，我们自然会想到它有可能是一个分界点，这与函数的极值点极为相似，为此我们构造函数，经检验=1恰好是函数的一个极值点，故我们只要证明：当=1时函数的值最小，并且 恒大于零即可。
证明：作辅助函数，其中＞0，
因为，所以只需要证明＞0（当＞0时），
令，可以得到唯一的稳定点.
当＜时， ＜0；＞时，＞0；
所以 =22 +2=2（1）+2＞0.
所以原命题成立，证毕.
注：辅助函数解题法是解题中的一种常用有效的方法,给出解微分中值类问题的辅助函数的构造方法,原函数法和微分方程法,提供了一种具有一定规律可循的构造辅助函数的方法。其实,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各种数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,利用转化运动的观点,就可以构造出合适的构造函数来.
问题6：举例说明构造法在计算积分中是如何应用的？
答：在求不定积分时,常要将被积函数()适当变形,写成 的形式,使得与凑成函数=的微分,这就是凑微分.
使用凑微分法时必须熟悉一些公式,有以下这些:
,
,

.
下面通过几个例题说明:
例12 求 .
解 原 式

+㏑∣x∣-
例13 求.
解 原 式 = =
= .
在求曲线积分和曲面积分的时候,往往会构造封闭曲面化曲面积分为重积分来计算.
例14 以S表示椭球B的上半部分(), 表示的外法线的方向余弦,计算曲面部分.
解 补充平面上的椭圆与构成封闭曲面为,由于: ,从而
=0.
∴
＝ (由高斯公式)
设，

上式

.
应用构造法求解微积分学的问题，其程序是通过对问题的观察，运用联想和类比．从而构造辅助问题 ，通过辅助问题的解决．使原问题得到解决.
例15 设、均为上的连续增函数,证明：

证：构造函数： ()，则： ，∴ 在上单调递增,
∴ .故不等式成立.
问题7：举例说明构造法在级数中是如何应用的？
答：在研究级数收敛性的过程中,构造一新级数帮助解题是非常可取的. 级数与函数、数列、导数、积分等诸多知识密切地联系在一起。根据问题条件中的数量关系和结构特征,构造出一个级数, 然后依据级数的理论, 使问题在新的关系下达到转化而获解。例如:
例16 证明级数收敛.
证 只须证明收敛.构造级数

为证明级数收敛.须再构造级数

是交错级数, ，且

＞
由莱布尼兹判别法,级数收敛,而级数收敛,故级数收敛.设 ，若令为级数的前项部分和.
则 ,设<

, .
故，则级数收敛,
从而级数收敛.
例 17 证明级数:
发散到+∞.
证明: 构造 =.则
.
易知发散到+∞.所以
又 ,所以.
通过以上例题的分析与证明,大家已经对构造有了一定的了解,现在再来看看下面这个例题,怎么样构造另一个问题来解决.
例18 设{}的定义如下=, =, =(+ )(=3.4…):求
解: 构造函数(设=0),具体写出{–},如下: –=,
= ,
( ) = ,
… ,
…
,
…
因此, ,
=+ k-2
=.
综观上述,在数学分析中我们广泛应用着构造函数，构造区间或区间套，构造数列或级数等策略，而且构造的过程, 体现了化归的思想原则．
构造函数思想是数学分析的一种重要的思想方法,在数学分析中具有广泛的应用.它属于数学思想方法中的构造法.所谓构造法解决问题,就是按固定方式,经有限步骤能够实现的方法,在解题时,常表现为不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解. 它具有两个显著的特性:直观性和可行性,正是这两个特性,在数学解题中经常运用它.
构造函数思想在数学分析中的应用,最典型的是拉格朗日中值定理的证明. 这个 定理的证明正是根据几何直观的启示,构造了一个与问题有关的辅助函数,才得以运用罗尔定理解决的.对于初学者来说,大多感到抽象,难以理解. 因此,在教学中应重视这种思想方法的引导和渗透,多加训练,归纳总结,使学生切实掌握. 这不仅可以提高学生的解题能力,而且可以进一步提高学生的数学素质,培养数学能力.

参考文献
[1] 华东师范大学数学系. 数学分析. 高等教育出版社. 1991.
[2] 方初宝. 数学分析选讲[M].南宁：广西出版社
[3] 复旦大学数学系．数学分析．高等教育出版社．1983.7
[4] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社．
[5] 钱昌本．高等数学解题过程的分析与研究．北京科学出版社．
[6] 柳重堪 ．高等教育解题方法指导 [M] .北京：国防工业出版社．1989.
[7] 钱吉林．数学分析题解精粹M．崇文书局．2003.
[8] 李瑞芝主编 ．数学史辞典．山东教育出版社．2000.8
[9] 同济大学教研室．高等数学（第4版）[M]．北京：高等教育出版社．1996
[10] 陈文灯 ．数学（理工类）复习指南 [M]．北京：世界图书出版公司．1998
[11] R．柯朗，Ｆ．约翰著：微积分数学分析引论．科学出版社．2003.3
[12] [15] 侯繁义. 数学思维与数学方法 . 长春：东北师范大学出版社，1991.
13