2013年高考文科数学浙江卷-答案.pdf

1/9 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）答案解析 选择题部分 一、选择题 1.【答案】D【解析】解如图所示，(2,1ST ，所以选 D.【提示】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集.【考点】交集及其运算 2.【答案】C【解析】原式262i3ii65i 155i ，所以选 C【提示】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式.【考点】复数代数形式的乘除运算 3.【答案】A【解析】因为0，sin0cos1，所以是充分条件，反之由sincos，得出32,2()44kkkZ,，即不一定等于 0，所以是不必要条件，所以选 A.【提示】当0可以得到sincos.当sincos时，不一定得到0.所以得到0是sincos的充分不必要条件.【考点】必要条件，充分条件，充要条件 4.【答案】C【解析】A.m，n，则mn，m与n可能相交也可能异面，所以 A 不正确；B.m，m，则，还有与可能相交，所以 B 不正确；C.mn，m，则n，满足直线与平面垂直的性质定理，故 C 正确.Dm，则m，也可能m，也可能mA，所以 D 不正确；故选 C 2/9 【提示】用直线与平面平行的性质定理判断 A 的正误；用直线与平面平行的性质定理判断 B 的正误；用线面垂直的判定定理判断 C 的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断 D 的正误.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系 5.【答案】B【解析】解此图的直观图是一个底面边长为 6 和 3，高为 6 的长方体截去一个角，截去的是一个从长方体顶点出发的相互垂直的三条棱分别是 3，4，4 的三棱锥，如图所示，所以该几何体的体积是 3116 6 334 4100cm32V .所以选 B.【提示】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角）.据此即可得出体积.【考点】三视图知识，多面体的体积计算公式 6.【答案】A【解析】13()sin2cos2sin2 coscos2 sinsin(2)22333f xxxxxx.因为1sin 213x，所以振幅为 1，周期是.故选 A.【提示】()f x解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出的值，求出函数的最小正周期即可.【考点】两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法.7.【答案】A【解析】由(0)(4)ff知，函数的对称轴是22bxa，所以40ba.由(0)(1)ff知函数在对称轴的左边递减，所以开口向上，所以选 A.【提示】由(0)(4)ff可得40ba；由(0)(1)ff在对称轴左边递减即可求解.【考点】二次函数的性质 8.【答案】B 3/9 【解析】由导函数图象可知导函数的函数值在 1,1上大于零，所以原函数递增，且导函数的函数值在 1,0递增，即原函数在 1,0上切线的斜率递增，导函数的函数值在0,1递减，即原函数在0,1上切线的斜率递减，所以选 B.【提示】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项.【考点】函数的图象 9.【答案】D【解析】由已知得12(3,0),(3,0)FF，设双曲线实半轴为a，由椭圆及双曲线的定义和已知得到：212212212|=4|=22|12AFAFAFAFaaAFAF，所以双曲线的离心率为3622ca，所以选 D.【提示】由双曲线的定义及性质可得21212212|=4|=2|12AFAFAFAFaAFAF，解此方程组可求得 a 的值，即可求得2C的离心率.【考点】椭圆的简单性质 10.【答案】C【解析】设511aabb，2222aababb ，所以 A，B 错误；设551aabb，2222aababb .设222ccdd，3121ccdcdd ，所以选 C；【提示】依题意，对 a，b 赋值，对四个选项逐个排除即可.【考点】函数的值 非选择题部分 二、填空题 11.【答案】10【解析】由已知得到()131910f aaaa ，所以填 10.【提示】利用函数的解析式以及()3f a 求解 a 即可.【考点】函数的值 4/9 12.【答案】15【解析】从 6 名学生中任选 2 名共有2615C 种情况，满足 2 名都是女同学的共有233C 种情况，故所求的概率为：31155.故答案为：15.【提示】由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有2615C 种情况，2 名都是女同学的共有233C 种情况，由古典概型的概率公式可得答案.【考点】古典概型及其概率计算公式 13.【答案】4 5【解析】由已知得到圆的标准方程为22(3)(4)25xy，所以圆心是(3,4)，半径是5，所以圆心到直线230 xy的距离|643|541d，所以弦长等于2 2554 5，所以填4 5.【提示】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可.【考点】直线与圆的位置关系 14.【答案】95【解析】由图可知当5k 时程序运行结束，即最后一次运行4k，注意S的初始值是 1，而不是 0，所以111111119112223344555S，所以填95.【提示】由题意可知，该程序的作用是求解111111 22 33 44 5S 的值，然后利用裂项求和即可求解.【考点定位】程序框图，数列的裂项相消求和 15.【答案】2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示：ykxz，当0k 时，直线0:lykx平移到 A 点时目标函数取最大值，即44122kk；当0k 时，直线0:lykx平移到 A 或 B 点时目标函数取最大值，可知 k 取值是大于零，所以不满足，所以2k，所以填 2.5/9 【提示】把不等式组所表示的平面区域表示出来，然后对 k 进行分类讨论即可解决.【考点】简单线性规划 16.【答案】1【解析】当1x 时，将 1 代入不等式有00ab，所以0ab.当0 x 时，可得01b.结合0ab可得10a，令43()f xxxaxb，即(1)0fa b ，又32(1)43fxxa，2()126fxxx.令()0fx，可得12x，则32()43fxxxa在10,2上递减，在1,2上递增，又10a，所以(0)0fa，(1)10fa，又0 x时恒有430 xxaxb，结合(1)0fab知，1 必为函数43()f xxxaxb的极小值点，也是最小值点.故有(1)10fa，由此得11ab，故1ab.【提示】由题意，0 x时恒有43220(1)xxaxbx，考察22(1)x，发现当1x 时，其值为 0，再对照不等式左边的 0，可由两边夹的方式得到参数 a，b 满足的方程，再令43()f xxxaxb，即()0f x 在0 x恒成立，利用导数研究函数在0 x的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数 a，b 的值，问题即可得解.【考点】导数在最大值，最小值问题中的应用，函数恒成立问题 17.【答案】2【解析】222222123|()|22bbxeyebxyxy22222223|131yyxxxxxyxyb.设22min21(31)4|yxtttxb的最大值为 4，所以答案是 2.【提示】由题意求得1232e e，所以22212|()bbxeye，从而可得22222|3xxxyxyb，再利用二次 6/9 函数的性质求得22|xb的最大值，进而求得|xb的最大值.【考点】数量积表示两个向量的夹角 三、解答题 18.【答案】（）3A（）3ABCS【解析】（）由已知得到：2sinsin3sinABB，且0,2B，3sin0sin2BA，且0,23AA.（）由（）知1cos2A，由已知得到：222128362()3366433623bcbcbcbcbcbc，所以1283732323ABCS.【提示】（）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由 A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数.（）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a，bc及cosA的值代入求出 bc 的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积.【考点】正弦定理，余弦定理 19.【答案】（）414611nnddanan 或（）1232(21),(111)2|21220,(12)2nnnnaaaannn【解析】（）由已知得到：22221 311(22)54(1)50(2)(11)25(5)aa aadaddd 224112122125253404611nndddddddanan 或.（）由（）知，当0d 时，11nan，7/9 当111n时，0na，123123(10 11)(21)|22nnnnnnaaaaaaaa.当12n时，0na，123123111213|()nnaaaaaaaaaaa 123111232()()naaaaaaaa 211(21 11)(21)212202222nnnn 所以，综上所述：1232(21),(111)2|21220,(12)2nnnnaaaannn.【提示】（）直接由已知条件110a，且1a，222a，35a成等比数列列式求出公差，则通项公式 an可求.（）利用（）中的结论，得到等差数列na的前 11 项大于等于 0，后面的项小于 0，所以分类讨论求0d 时123|naaaa的和.【考点】数列的求和，等差数列的通项公式，等比数列的性质 20.【答案】（）证明：设点O为AC，BD的交点由ABBCADCD，得BD是线段AC的中垂线 所以O为AC的中点，BDAC.又因为PAABCD平面，BDABCD平面，所以PABD.所以BDAPC平面.（）连接OG.由（）可知ODAPC平面，则DG在平面APC内的射影为OG，所以OGD是DG与平面APC所成的角由题意得1322OGPA.在ABC中，222cos2 3ACACBCAB BCABC，所以132OCAC.在RtOCD中，222ODCDOC.在RtOGD中，4 3tan3ODOGDOG.所以DG与平面PAC所成的角的正切值为433.（）因为PCBGD平面，OGBGD平面，所以PCOG.在PAC中，得15PC.所以 8/9 2 155AC OCGCPC，从而3 155PG，所以32PGGC.【提示】（）由PAABCD面，可得PABD；设AC与BD的交点为 O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故 O 为AC的中点，且BDAC再利用直线和平面垂直的判定定理证得BDPAC面.（）OGD是DG与平面APC所成的角.再利用三角函数相关性质即可求解.（）先证PCOG，15PC.再由COGCAP，可得GCOCACPC，解得GC的值，从而得PG的值，从而求得PGGC的值.【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算 21.【答案】（）曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为680 xy.（）当1a 时，函数()yf x最小值是233aa；当1a时，函数()yf x最小值是31a.【解析】（）当1a 时，32()266(2)1624 124f xxxxf，所以2()6126fxxx.(2)242466f，所以()yf x在(2,(2)f处的切线方程是：46(2)680yxxy.（）因为22()66(1)66(1)6(1)()fxxaxaxaxaxxa 当1a 时，(,1,)xa 时，()yf x递增，(1,)xa时，()yf x递减，所以当0,2|xa时，且2|2a，0,1,2|xaa时，()yf x递 增，(1,)xa时，()yf x递 减，所 以 最 小 值 是32223()23(1)63f aaaaaaa；当1a时，且2|2a，在 0,2|xa时，(0,1)x时，()yf x递减，1,2|xa时，()yf x递增，所以最小值是(1)31fa；综上所述：当1a 时，函数()yf x最小值是233aa；当1a时，函数()yf x最小值是31a.【提示】（）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线()yf x在(2,(2)f处的切线方程.（）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数求闭区间上函数的最值 22.【答案】（）抛物线方程是：24xy.（）|MN的最小值是8 25.【解析】（）由已知可得抛物线的方程为：22(0)xpy p，且122pp，所以抛物线方程是：24xy.9/9 （）设221212,44xxA xB x，所以12,44AOBOxxkk所以AO的方程是：14xyx.由118442Mxyxxxyx，同理由228442Nxyxxxyx.所以21212121288|1 1|28 244164()MNxxMNxxxxxxx x 设:1AB ykx，由1222121444044ykxxxkxkxx xxy ，且22121212|()441xxxxx xk，代入得到：22411|8 28 216 164|43|kkMNkk.设34304tktk .当0t 时，22256256|8 22 2 12 24ttMNttt，所以此时|MN的最小值是2 2.当0t 时，222256256531648 2|8 22 2 12 22 2452555ttMNtttt，所以此时|MN的最小值是8 25，此时253t ，43k .综上所述：|MN的最小值是8 25.【提示】（）由抛物线的几何性质及题设条件焦点(0,1)F可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程.（）由题意可设221212,44xxA xB x，直线AB的方程为1ykx，将直线方程与（）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN，根据所得的形式分类讨论作出判断，即可求得最小值.【考点】直线与圆锥曲线的关系，抛物线的标准方程