【广东省佛山市】2017年高考二模理科数学试卷-答案.pdf

-1 1-/1515 广东省佛山市广东省佛山市 2017 年年高考高考二模理科二模理科数学数学试卷试卷 答答 案案 一、选择题 15ABCCB 610CBDCA 1112DD 二、填空题 131 e 1412 1585 16624 三、解答题 17解：（）因为11a，12nnaa，所以na为首项是 1，公差为 2 的等差数列，所以1(1)221nann，又当1n 时，1112bSb，所以11b，当2n时，2.nnSb，112.nnSb 由得1nnnbbb，即112nnbb，所以 nb是首项为 1，公比为12的等比数列，故11()2nnb，*nN；（）由（）知1212nnnnnca b，则012113521.2222nnnT，1211132321.22222nnnnnT，得01211132221.222222nnnnT 11111121212321 1.1312222212nnnnnnnn -2 2-/1515 所以12362nnnT 18解：（）设工种A的每份保单保费为a元，设保险公司每单的收益为随机变量X，则X的分布列为：X a 450 10a P 51110 5110 保险公司期望收益为45511EX(1)(50 10)51010aaa 根据规则50.2aa 解得6.25a元，设工种B的每份保单保费为b元，赔付金期望值为4550 4021010元，则保险公司期望利润为10b元，根据规则100.2bb，解得12.5b元，设工种C的每份保单保费为c元，赔付金期望值为4450 10=5010元，则保险公司期望利润为50c元，根据规则500.2cc，解得62.5c元（）购买 A 类产品的份数为20000 60%=12000份，购买 B 类产品的份数为20000 30%=6000份，购买 C 类产品的份数20000 10%=2000份，企业支付的总保费为12000 6.25+6000 12.5+2000 62.5=275000元，保险公司在这宗交易中的期望利润为275000 20%=55000元 19【解答】（）证明：连接BD交AE于点O，依题意得2ABADDADE，RRtABDtDAE，DAEABD，得90AOD，则AEBD，即OBAE，ODAE，又=OBOD O，OB，OD平面OBD AE 平面OBD 又BD平面OBD，AEBD；（）解：平面ADE平面ABCE，由（）知，OD平面ABCE，-3 3-/1515 以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示 在RtADE中，求得25OD，45OA，15OE，4(,0,0)5A，8(0,0)5B，2(0,0,)5D，则48(,0)55AB，82(0,)55BD，设平面ABD的法向量1(,)n x y z，则1100nABnBD，即4805582055xyyz，解得24xyzy，令1y，得1(2,1,4)n，显然平面ABE的一个法向量为2(0,0,1)n 12121244 21cos,21|21 1nnn nnn，二面角DABE的余弦值为4 2121 20解：（）依题意得24c，则1(2,0)F 2(2,0)F ；所以椭圆1C与抛物线2C的一个交点为(2,2)P，于是122|4 2aPFPF，从而2 2a 又222abc，解得2b 所以椭圆1C的方程为22184xy（）依题意，直线m的斜率不为 0，设直线:2m xty，由22xtyyx，消去x整理得220yty，由2()8 0t 得28t 由22228xtyxy，消去x整理得22(2)440tyty，-4 4-/1515 设11(,)A x y，22(,)B x y，则12242tyyt，12242y yt，所以222212121224 2(1)|1|1()42tABtyytyyy yt，m 与 n 间的距离241dt（即点2F到m的距离），由椭圆的对称性知，四边形ABCD为平行四边形，故1 222222114 2(1)48 2122221AF F DABCDttSSttt，令211,3)ts ，则1 22228 2(1)8 28 212 2(,4 21225AF F DtsStsss，所以四边形12AFF D的面积的取值范围为12 2(,4 25 21 解：（）()(1 ln)xf xaex，()f x是(0,)上的增函数等价于()0f x 恒成立 令()0f x，得1lnexxa，令1ln()(0)exxg xx以下只需求()g x的最大值 求导得1()e(1ln)xg xxx，令1()1lnh xxx，211()0h xxx，()h x是(0,)上的减函数，又(1)0h，故 1 是()h x的唯一零点，当(0,1)x，()0h x，()0g x，()g x递增；当(1,)x，()0h x，()0g x，()g x递减；故当1x 时，()g x取得极大值且为最大值1(1)eg，所以1ea，即a的取值范围是1,)e 证明：（）e()0ln0 xaf xxx 令e()ln(0)xaF xx xx，以下证明当22ea时，()F x的最小值大于 0 求导得22(1)e11()(1)exxa xF xa xxxxx 当01x 时，()0F x，()(1)e0F xFa；-5 5-/1515 当1x时，2(1)()e(1)xa xxF xxa x，令()e(1)xxG xa x，则2()e0(1)xxG xa x，又222e2(2)e0aGaa，取(1,2)m且使2e(1)ma m，即22e1e1ama，则22(2)eee0(1)mmGa m，因为()(2)0G m G，故()G x存在唯一零点0(1,2)x，即()F x有唯一的极值点且为极小值点0(1,2)x，又00e()lnxaF xxx，且0000()e0(1)xxG xa x，即000e(1)xxa x，故0001()ln1F xxx，因为020011()0(1)F xxx，故0()F x是(1,2)上的减函数 所以00()()(2)1 ln2 0F xF xF，所以()0F x 综上，当22ea时，总有()0f x 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22解：（）因为cosx，siny，222xy，1C的极坐标方程为3 cossin40，2C的普通方程为22(1)1xy，即2220 xyy，对应极坐标方程为2sin（）曲线 C3的极坐标方程为(0,0)2 设1(,)A，2(,)B，则143cossin，22sin，所以21|1112sin(3cossin)3sin2cos21)2sin(2)1|4446OBOA（，又02，52666，所以当262，即3时，|OBOA取得最大值34 选修 4-5：不等式选讲 23解：（）当1a 时，不等式即|1|1|2 0 xxx|，等价于11(1)20 xxxx 或11(1)120 xxxx 或1(1)(1)20 xxxx 解得1x或10 x 或2x，-6 6-/1515 即不等式()0f x 的解集为(,0)(2,)（）当,1)xa 时，()1f xax，不等式()0f x 可化为1ax，若存在0,1)xa，使得0()0f x，则2a，所以a的取值范围为2a -7 7-/1515 广东省佛山市广东省佛山市 2017 年年高考二模理科高考二模理科数学数学试卷试卷 解解 析析 1【考点】1F：补集及其运算【分析】先求出集合 A，再由补集定义能求出RA【解答】解：R 为实数集，集合 A=x|x22x30=x|x3 或 x1，RA=x|1x3=（1，3）故选：A【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用 2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数=i+3，=3i 故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3【考点】7C：简单线性规划【分析】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先求出 z 的值【解答】解：做出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由 z=2x+y，得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图像可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最小，此时 z 最小 由，解得，即 A（0，2），此时 z=0+2=2，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 4【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前 n 项和公式进行判断即可【解答】解：若公比 q=1，则当 a10 时，则 S20170 成立，1q 与 1q2017符号相同，-8 8-/1515 a1与 S2017的符号相同，则“a10”“S20170”，即“a10”是“S20170”充要条件，故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前 n 项和公式是解决本题的关键 5【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：，=，故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题 6【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知三视图得到几何体的形状，然后计算体积【解答】解：由已知三视图得到几何体是一个正方体割去半径为 2 的个球，所以表面积为=24；故选：C【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体 7【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 的最小值，可得 tan 的值【解答】解：将函数的图像向左平移（0）个单位，可得 y=cos（2x+2+）的图象；再根据所得关于原点对称，可得 2+=k+，kZ，的最小值为，tan=tan=，-9 9-/1515 故选：B【点评】本题主要考查 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题 8【考点】BN：独立性检验的基本思想【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论【解答】解：由图 2 知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图 1 知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故选 D【点评】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，比较基础 9【考点】EF：程序框图【分析】根据程序框图，依次进行运行，直到满足条件即可得到结论【解答】解：模拟循环，r=1，不满足条件，n=2，r=2，满足条件，i=2，S=2，n=3，r=0，不满足条件，n=4，r=1，不满足条件，n=5，r=2，满足条件，i=2，S=7，n=6，r=0，不满足条件，n=7，r=1，不满足条件，n=8，r=2，满足条件，i=3，S=15，n=9，r=0，不满足条件，n=10，退出循环，输出 i=3，S=15，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，依次验证条件是解决本题的关键 10【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出 ABC 的坐标，利用 BC 的直线方程求出点 D 的坐标，再写出、，计算的值【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，A（0，0），B（3，0），C（0，1）；则 BC 的直线方程为+y=1，设点 D（m，n）；则，解得 m=，n=，D（，）；=（3，0），=（，），=3+0（-10 10-/1515）=故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积与运算问题，是基础题 11【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，圆 C 的圆心和半径，设 OA=t，由，可得 OB=5t，AB=4t，可得 t=1，过 C 作 CDAB，且 D 为 AB 的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式，解得 a，b，c，再由离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线：的一条渐近线 l 的方程为 y=x，圆 C：（xa）2+y2=8 的圆心 C（a，0），半径为 r=2，由ABC 为等腰直角三角形，可得 AB=r=4，设 OA=t，由，可得 OB=5t，AB=4t，可得 t=1，过 C 作 CDAB，且 D 为 AB 的中点，OD=3，AB=4，AD=2，C 到直线 l 的距离为 CD=，在直角三角形 OCD 中，CD2=OC2OD2，在直角三角形 ACD 中，CD2=AC2AD2，即有 a29=84，解得 a=，即有 CD=2=，解得 b=，c=，e=故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查圆的垂径定理和直角三角形的勾股定理的运用，以及向量的共线，考查化简整理的运算能力，属于中档题 12【考点】3E：函数单调性的判断与证明 -11 11-/1515【分析】化简 f（1）+f（3）=2f（2），得出 b=6a；根据 f（x）是二次函数，对称轴为 x=2，（0，1）和（3，4）关于对称轴对称；当 f（x）是（0，1）上的增函数时，得出 f（x）是（3，4）的增函数；讨论 a0 和 a0 时，f（x）=0 有实数根，判断 f（x）有极值；根据 f（x）=0 得 x=2，求出曲线过点（2，f（2）处的切线方程，即可得出结论正确【解答】解：函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）满足 f（1）+f（3）=2f（2），（a+b+c+d）+（27a+9b+3c+d）=2（8a+4b+2c+d），化简得 6a+b=0，解得 b=6a；对于，f（x）=3ax2+2bx+c=3ax212ax+c，是二次函数，对称轴为 x=2，且（0，1）和（3，4）关于对称轴对称；当 f（x）是（0，1）上的增函数时，f（x）0，x（3，4）时，f（x）0，f（x）是（3，4）的增函数，正确；对于，当 a0 时，af（1）af（3）化为 f（1）f（3），即 a+b+c+d27a+9b+3c+d，26a+8b+2c0，13a24a+c0，即 11ac；=（12a）212ac=12a（12ac），由 a0，=12a（12ac）0，f（x）有极值；当 a0 时，af（1）af（3）化为 f（1）f（3），即得 11ac，=（12a）212ac=12a（12ac）0，f（x）有极值；正确；对于，f（x）=6ax12a，令 f（x）=0，解得 x=2；又 f（2）=c12a，过点（2，f（2）作曲线的切线，切线方程为 y=（c12a）（xx0）+f（x0），由切线与曲线 y=f（x）有唯一公共点知正确 综上，正确命题个数为 3 个 故选：D【点评】本题考查了函数与导数的综合应用问题，是综合性题目，是难题 13【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（x0，y0），求出 y=x+ex的导数，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论【解答】解：设切点为（x0，y0），则 y0=x0+ex0，y=（x+ex）=1ex，切线斜率 k=1ex0，-12 12-/1515 又点（x0，y0）在直线上，代入方程得 y0=kx0，即 x0+ex0=（1ex0）x0，解得 x0=1，k=1e 故答案为：1e【点评】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题 14【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，先将 5 名志愿者分成 3 组，再将分好的三组全排列，对应 3 个社区，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，先将 5 名志愿者分成 3 组，由于甲、乙两名女志愿者需到同一社区，将甲乙看成第一组，将第三名女志愿者与一名男志愿者作为第二组，剩下的男志愿者作为第三组，则有 C22C21C11=2 种分组方法；再将分好的三组全排列，对应 3 个社区，有 A33=6 种情况，则不同的分法种数为 2 6=12 种；故答案为：12【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先按要求分组，再进行全排列 15【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】由抛物线的定义可知：丨 PH 丨=x1+，根据三角形的性质，即可求得 P 点坐标，代入抛物线方程，即可求得 p 的值【解答】解：设 P（x1，y1），故 P 做 PDOA，则由|PH|=|PA|，APH=120，则APD=30，由抛物线的定义可知：丨 PH 丨=x1+，|PA|=x1+，丨 AD 丨=4x1，sinAPD=，则 x1=，则丨 PD 丨=丨 AP 丨 cosAPD=（+），则 P（，（+），将 P 代入抛物线方程，整理得：5p248p+64=0，解得：p=，或 p=8（舍去），-13 13-/1515 故答案为：【点评】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题 16【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】求出 AD，可得DAC=90，即可得出结论【解答】解：由题意，AC=50n mile，60min 后，轮船到达 D，AD=501=50nmile=sinACB=，cosACD=cos（135 ACB）=，AD=350，cosDAC=0，DAC=90，CD=100，ADC=60，sin=sin（75 60）=，故答案为【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 17【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（）由等差数列的定义和通项公式可得 an；运用数列的递推式：当 n=1 时，b1=S1，当 n2 时，bn=SnSn1，即可得到bn的通项公式；（）由（）知，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可-14 14-/1515 得到所求和【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项公式和数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题 18【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（）设工种 A 的每份保单保费为 a 元，设保险公司每单的收益为随机变量 X，求出 X 的分布列和保险公司期望收益，根据规则 a50.2a，从而 a625 元，设工种 B 的每份保单保费为 b 元，求出赔付金期望值为 10 元，则保险公司期望利润为 b10 元，根据规则 b100.2b，解得 b125 元，设工种 C 的每份保单保费为 c 元，求出赔付金期望值为 50 元，则保险公司期望利润为 c50 元，根据规则 c500.2c，解得 c625 元（）购买 A 类产品的份数为 12000 份，购买 B 类产品的份数为 6000 份，购买 C 类产品的份数为 2000 份，由此能求出保险公司在这宗交易中的期望利润【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是中档题 19【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）连接 BD 交 AE 于点 O，依题意得可得AOD=90，则 AEBD，由已知求得 ODAE，利用线面垂直的判定可得 AE平面 OBD从而得到 AEBD；（）由平面 ADE平面 ABCE，且由（）知，OD平面 ABCE，以 O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz求解三角形可得 OD，OA，OE，得到 A，B，D的坐标，分别求得平面 ABD与平面 ABE 的法向量，然后由两法向量所成角的余弦值可得二面角 DABE 的余弦值【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题 20【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程【分析】（）依题意可得 F1F2的坐标，由此可得椭圆 C1与抛物线 C2的一个交点为，由椭圆的定义可得 a 的值，又由 a2=b2+c2，解得 b 的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（）依题意，分析直线的斜率不为 0，可以设直线 l：x=ty2，联立直线与抛物线的方程、直线与椭圆的方程可得关于 t 的方程，进而设 A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系分析可得|AB|的长度以及 F2到直线 l 距离 d，进而可以表示四边形 AF1F2D 的面积，借助换元法分析可得答案【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程 21【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）f（x）=aex（1+lnx），f（x）是（0，+）上的增函数等价于 f（x）0 恒成立令 f（x）0，得，令（x0），求导得，令，-15 15-/1515，由此能求出 a 的取值范围【点评】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题 22【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（）利用 x=cos，y=sin，x2+y2=2，求曲线 C1，C2的极坐标方程；（）=，即可得出结论【解答】解：（）因为 x=cos，y=sin，x2+y2=2，C1的极坐标方程为，C2的普通方程为 x2+（y1）2=1，即 x2+y22y=0，对应极坐标方程为=2sin【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 23【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法【分析】（）当 a=1 时，不等式即|x1|+|x+1|x20，等价于或或，即可求不等式 f（x）0 的解集；（）当 xa，1）时，f（x）=ax1，不等式 f（x）0 可化为 ax+1，若存在 x0a，1），使得f（x0）0，即可求 a 的取值范围【点评】本题考查不等式的解法，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题