2016年高考文科数学天津卷-答案.pdf

1/11 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）答案解析 第 I 卷 一、选择题 1.【答案】A【解析】根据题意，集合1,3,5,1,3BAB选 A【提示】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得1,3,5B，由交集的定义计算可得答案【考点】集合运算 2.【答案】A【解析】甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件 根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率115326P 【提示】利用互斥事件的概率加法公式即可得出【考点】概率 3.【答案】B【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1DADC，棱1CD在左侧面的投影为1BA，故选 B【提示】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案【考点】三视图 4.【答案】A【解析】双曲线22221xyab（00ab，）的焦距为2 5，5c，双曲线的一条渐近线与直线20 xy垂直，12ba，2ab，222cab，21ab，双曲线的方程为2214xy 故选：A【提示】利用双曲线22221xyab（00ab，）的焦距为2 5，且双曲线的一条渐近线与直线20 xy垂直，求出几何量abc，即可求出双曲线的方程【考点】双曲线渐近线 5.【答案】C 2/11 【解析】设0 x，yR，当0 x，1y 时，满足xy但不满足|xy，故由0 x，yR，则“xy”推不出“|xy”，而“|xy”“xy”，故“xy”是“|xy”的必要不充分条件，故选：C【提示】直接根据必要性和充分判断即可【考点】充要关系 6.【答案】C【解析】()f x是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增，()f x在(0,)上单调递减 1|20(2)(2)aff，1|12222a|11|2a，解得1322a 故选：C【提示】根据函数的对称性可知()f x在(0)，递减，故只需令1|22a即可【考点】利用函数性质解不等式 7.【答案】B【解析】设BAa，BCb，11()22DEACba，33()24DFDEba，1353()2444AFADDFabaab ，25353144848AF BCa bb ，故选 B【提示】由题意画出图形，把AF、BC都用BA、BC表示，然后代入数量积公式得答案【考点】向量数量积 8.【答案】D【解析】函数2111 cos112()sinsinsinsin22222224xxf xxxx，由()0f x，可得sin04x，3/11 解得4(,2)kx，1 15 59 91 15,8 48 48 48 48，()f x在区间(,2)内没有零点，11 50,84 8 故选：D【提示】函数2()sin24f xx，由()0f x，可得sin04x，解得4(,2)kx，因此1 15 59 91 15,8 48 48 48 48，即可得出【考点】解简单三角方程 第卷 二、填空题 9.【答案】1【解析】由(1 i)2z，得22(1 i)2(1 i)1 i1i(1i)(1 i)2z，z 的实部为 1故答案为 1【提示】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【考点】复数概念 10.【答案】3【解析】解：()(21)exf xx，()2e(21)exxfxx，00(0)2e(2 0 1)e2 13f 故答案为：3【提示】先求导，再带值计算【考点】导数 11.【答案】4【解析】解：第一次循环：82Sn，；第二次循环：23Sn，；第三次循环：44Sn，4/11 结束循环，输出4S，故答案为：4【提示】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出 S 的值【考点】循环结构流程图 12.【答案】22(2)9.xy【解析】由题意设圆的方程为222()0)(xayra，由点(0,5)M在圆上，且圆心到直线20 xy的距离为4 55，得225|2|4 555ara，解得23ar，圆 C 的方程为：22(2)9xy 故答案为：22(2)9xy【提示】由题意设出圆的方程，把点 M 的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解【考点】直线与圆位置关系 13.【答案】2 33【解析】解：如图，过 D 作DHAB于 H，22BEAEBDED，1BHHE，则21AHBH，22DHAH BH，则2DH，在RtDHE中，则222 13DEDEHE，由相交弦定理可得：CE DEAE EB，1 22 333AE EBCEDE 故答案为：2 33 5/11 【提示】由BDED，可得BDE为等腰三角形，过 D 作DHAB于 H，由相交弦定理求得DH，在RtDHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE【考点】相交弦定理 14.【答案】1 2,3 3【解析】()f x是R上的单调递减函数，2(43)3yxaxa在(,0)上单调递减，(log1)1ayx在(0,)上单调递减，且()f x在(,0)上的最小值大于或等于(0)f 34020131aaa，解得1334a 作出(|)yf x和23xy 的函数草图如图所示：|()23xf x 恰有两个不相等的实数解，32a，即23a 综上，1233a 故答案为1 2,3 3 6/11 【提示】由减函数可知()f x在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|()|f x和23xy 的图象，根据交点个数判断3a与 2 的大小关系，列出不等式组解出【考点】函数综合 三、解答题 15.【答案】（）解：在ABC中，由sinsinabAB，可得sinsinaBbA，又由sin23 sinaBbA得 2 sincos3 sin3 sinaBBbAaB，所以3cos2B，得6B；（）解：由1cos3A得2 2sin3A，则sinsin()sin()CABAB，所以sinsin6CA312 61sincos226AA【提示】（）利用正弦定理，将边化为角：2sinsincos3sinsinABBBA,再根据三角形内角范围化简得3cos2B，6B （）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解【考点】同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式m，两角和的正弦公式以及正弦定理 16.【答案】（）解：由已知,x y满足的数学关系式为452008536031030000 xyxyxyxy，该二元一次不等式组所表示的区域为图 1 中的阴影部分 （）解：设利润为z万元，则目标函数23zxy，这是斜率为23，随z变化的一族平行直线.3z为直线(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO 7/11 在y轴上的截距，当3z取最大值时，z的值最大，又因为xy，满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线23zxy经过可行域中的点M时，截距3z的值最大，即z的值最大，解方程组45200310300 xyxy得点M的坐标为(20,24)M，所以max2 203 24112z .答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.【提示】（）根据生产原料不能超过 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润23zxy，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润【考点】线性规划 17.【答案】（）证明：取BD的中点为O，连接,OE OG，在B C D中，因为G是BC的中点，所以/OGDC且112OGDC，又因为EFABABDC，所以EFOG且EFOG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FGOE，又FG 平面BED，OE 平面BED，所以FG平面BED.（）证明：在ABD中，1260ADABBAD，由余弦定理可3BD，进而可得90ADB，即BDAD，又因为平面AED平面ABCDBD，平面ABCD；平面AED平面ABCDAD，所以BD 平面AED.又因为BD平面BED，所以平面BED平面AED.（）解：因为EFAB，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角.过点A作AHDE于点H，连接BH，又因为平面BED平面AEDED，由（）知AH 平 面BED，所 以 直 线AB与 平 面BED所 成 角 即 为ABH.在ADE中，136ADDEAE，由余弦定理可得2cos3ADE，所以5sin3ADE，M2x+3y=z2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO 8/11 因此5sin3AHADADE，在R t A H B中，5sin6AHABHAB，所以直线AB与平面BED所成角的正弦值为56【提示】（）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（）根据余弦定理求出3BD，继而得到BDAD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案【考点】直线与平面平行和垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成角 18.【答案】（）解：设数列na的公比为q，由已知有2111112aa qa q，解之可得21qq，又由61(1)631naqSq知1q ，所以61(12)6312a，解之得11a，所以12nna.（）解：由题意得122122111(loglog)(log 2log 2)222nnnnnbaan，即数列 nb是首项为12，公差为1的等差数列.设数列2(1)nnb的前n项和为nT，则 222222212212342121222()()()()22nnnnnn bbTbbbbbbbbbn 【提示】（）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由2111112aa qa q解得21qq，分别代入61(1)631naqSq得1q ，11a （）先根据等差中项得122122111(loglog)(log 2log 2)222nnnnnbaan，再利用分组求和法求和：222222212212342121222()()()()22nnnnnn bbTbbbbbbbbbn 【考点】等差数列、等比数列及其前n项和 19.【答案】（）解：设(,0)F c，由113|cOFOAFA，即113()ccaa ac，可得2223acc，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy.（）设直线的斜率为(0)k k，则直线l的方程为(2)yk x，9/11 设(,)BBB xy，由方程组22143(2)xyyk x，消去y，整理得2222(43)1616120kxk xk，解得2x 或228643kxk，由题意得228643Bkxk，从而21243Bkyk，由（）知(1,0)F，设(0,)HHy，有(1,)HFHy，2229412,43 43kkBFkk，由BFHF，得0BF HF，所以222124904343Hkykkk，解得29412Hkyk，因此直线MH的方程为219412kyxkk，设(,)MMM xy，由方程组219412(2)kyxkkyk x，消去y，得2220912(1)Mkxk，在MAO中，MOAMAO|MAMO，即2222(2)MMMMxyxy，化简得1Mx，即22209112(1)kk，解得64k 或64k，所以直线l的斜率为64k 或64k.【提示】（）由题意画出图形，把|OF、|OA、|FA代入113e+=|OFOAFA，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（）由已知设直线l的方程为(2)yk x，(0)k，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BFHF，得11(1,)(1,)0HBF HFxyy，整理得到M的坐标与k的关系，由MOAMAO，得到01x，转化为关于k的等式求得k的值【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 20.【答案】（）解：由3()f xxaxb，可得2()3fxxa，下面分两种情况讨论：当0a 时，有2()30fxxa恒成立，所以()f x的单调增区间为(,).当0a 时，令()0fx，解得33ax 或33ax .当x变化时，()fx、()f x的变化情况如下表：10/11 x 3,3a 33a 33,33aa 33a 3,3a()fx 0 0 ()f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以()f x的单调递减区间为33,33aa，单调递增区间为3,3a，3,3a.（）证明：因为()f x存在极值点，所以由（）知0a 且00 x.由题意得200()30fxxa，即203ax，进而300002()3af xxaxbxb，又3000000082(2)822()33aafxxaxbxaxbxbf x ，且002xx，由题意及（）知，存在唯一实数1x满足10()()f xf x，且10 xx，因此102xx，所以10+2=0 xx.（）证明：设()g x在区间 1,1上的最大值为M，max,x y表示x，y两数的最大值，下面分三种情况讨论：当3a 时，331 133aa ，由（）知()f x在区间 1,1上单调递减，所以()f x在区间 1,1上的取值范围为(1),(1)ff，因此，max(1),(1)max|1|,|1|Mffabab max|1|,|1|abab 1,01,0ab bab b ，所以1|2Mab.当334a时，2 3332 3113333aaaa ，由（）和（）知：2 33(1)33aafff，2 33(1)33aafff，所以()f x在区间 1,1上的取值范围为33,33aaff，所以3322max,max3,33399aaaaffabab 2222331max3,33|39999444aaaababab.11/11 当304a时，2 32 31133aa ，由（）和（）知，2 33(1)33aafff，2 33(1)33aafff，所以()f x在区间 1,1上的取值范围为(1),(1)ff，因此，max(1),(1)max|1|,|1|max|1|,|1|max|1|,|1|Mffabababababab 11|4ab 综上所述，当0a 时，()g x在区间 1,1上的最大值不小于14.【提示】（）求出()f x的导数，讨论0a 时()0fx，()f x在R上递增；当0a 时，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间；（）由条件判断出0a，且00 x，由0()0fx求出0 x，分别代入解析式化简0()f x，0(2)fx，化简整理后可得证；（）设()g x在区间1,1上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用()f x单调性和前两问的结论，求出()g x在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式