2016年高考文科数学全国卷2-答案.pdf

1/9 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 2）文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】由A，得33x，所以|33Bxx，因为1,2,3A，所以1,2AB，故选 D.【提示】先求出集合AB和，由此利用交集的定义能求出AB的值.【考点】一元二次不等式的解法，集合的运算.2.【答案】C【解析】由i3iz 得32iz ，所以32iz ，故选 C.【提示】根据已知求出复数 z，结合共轭复数的定义，可得答案.【考点】复数的运算，共轭复数 3.【答案】A【解析】由题图知，2A，最小正周期236T，所以22，所以2sin(2)yx.因为图象过点,23，所以22sin 23，所以2sin13，所以22()32kkZ，令0k，得6，所以2sin 26yx，故选 A.【提示】根据已知中的函数sin()yAx的部分图象，求出满足条件A，值，可得答案.【考点】三角函数的图像与性质 4.【答案】A【解析】因为正方体的体积为 8，所以棱长为 2，所以正方体的体对角线长为2 3后，所以正方体的外接球的半径为3后，所以该球的表面积为24(3)12，故选 A【提示】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积.【考点】正方体的性质，球的表面积 5.【答案】D【解析】因为F是抛物线24yx的焦点，所以(1,0)F，又因为曲线(0)kykx与C交于点P，PFx轴，2/9 所以21k，所以22222222341616120 341616120kxk xkkxk xk（）（），选 D.【提示】根据已知，结合抛物线的性质，求出 P 点坐标，再由反比例函数的性质，可得 k 值.【考点】抛物线的性质，反比例函数的性质.6.【答案】A【解析】由2228+130 xyxy配方得22(1)+(4)4xy，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，所以22|+4 1|1+1aa，解得43a ，故选 A.【提示】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案.【考点】圆的方程，点到直线的距离公式 7.【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12 2 416S，圆锥的侧面积为212 2 482S，圆柱的底面面积为23 24S，故该几何体的表面积为12328SSSS，故选 C.【提示】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是2 3，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面.【考点】三视图，空间几何体的体积 8.【答案】B【解析】因为红灯持续时间为 40 秒，所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40 155408，故选 B.【提示】求出一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率.【考点】几何概型 9.【答案】C【解析】由题意，2200 xnks，输入2a，则0 2221sk，循环；输入2a，则2 2262sk，循环；输入5a，6 25 1732sk，结束循环.故输出的17s，选 C【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【考点】程序框图，直到型循环结构 3/9 10.【答案】D【解析】lg10 xyx，定义域与值域均为(0,)，只有 D 满足，故选 D.【提示】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案.【考点】函数的定义域、值域，对数的计算 11.【答案】B【解析】因为22311()12sin6sin2 sin22f xxxx ，而sin 1,1 x，所以当sin1x 时，()f x取得最大值 5，选 B.【提示】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得21 2sin6sinyxx，令sin(11)txt ，可得函数2261ytt，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值.【考点】正弦函数的性质、二次函数的性质 12.【答案】B【解析】因为2()|23|yf xyxx，的图像都关于1x 对称，所以它们图像的交点也关于1x 对称，当m为偶数时，其和为22mm；当m为奇数时，其和为1212mm，因此选 B.【提 示】根 据 已 知 中函 数()()f x xR，满 足()(2)fxfx，分 析 函 数 的 对 称 性，可 得 函数223|()yxxyf x与图象的交点关于直线1x 对称，进而得到答案.【考点】函数图像的对称性 第卷 二、填空题 13.【答案】6【解析】因为a b，所以24 30m ，解得6m.【提示】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可.【考点】平面向量的坐标运算（14）【答案】5【解析】由+10+30 xyx y得12xy，记为点(1,2)A；由+1030 xyx得34xy，记为点(3,4)B；由30+30 xx y得30 xy，记为点(3,0)C，分别将,A B C的坐标代入2zxy的最小值为5.4/9 【提示】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【考点】简单的线性规划 15.【答案】2113【解析】因为4cos5A，5cos13C,且AC，为三角形的内角，所以3sin5A，12sin13C，63sinsin()sin()sincoscossin65BACACACAC，又因为sinsinabAB，所以sin21sin13aBbA.【提示】运用同角的平方关系可得sin A，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得sinsinaBbA，代入计算即可得到所求值.【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式 16.【答案】1 和 3【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为 1 和 3，乙的卡片上的数字为 2 和 3，丙的卡片上的数字为 1和 2.【提示】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少.【考点】推理 三、解答题 17.【答案】（）235nna（）24【解析】试题解析：（）设数列 na的公差为 d，由题意有112+54+53adad，.解得1215ad，；所以na的通项公式为2+35nna.（）由（）知2+35nnb 当1,2,3n时，2+31215nnb，当4,5n 时，232325nnb，当6,7,8n时，2+33435nnb，5/9 当9,10n时，2+34545nnb，所以数列 nb的前 10 项和为1 32 23 34 224 .【提示】（）根据等差数列的通项公式及已知条件求1a，d，从而求得na；（）由（）求nb，再求数列 nb的前 10 项和.【考点】等差数列的通项公式，数列的求和.18.【答案】（）0.55（）0.3（）1.1925a【解析】试题解析：（）事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内险次数小于2 的频率为60500.55200，故()P A的估计值为 0.55.（）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于4 的频率为30300.3200，故()P B的估计值为 0.3.（）由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.1020.05 1.1925aaaaaaa，因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.【提示】（）求出 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数；总事件人数，即可求()P A的估计值；（）求出 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数.然后求 P B（）的估计值；（）利用数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值.【考点】样本数据的频率，由频率估计概率，平均值的计算 19.【答案】（）由已知得ACBDADCD，。又由AECF得AECFADCD，故ACEF。由此得EFHDEFHD，所以ACHD。（）由EFAC得14OHAEDOAD。6/9 由56ABAC，得：224DOBOABAO 所以13OHDHDH，于是22222(2 2)19ODOHDHODOH，故 由（）知ACHD，又ACBDBDHDH，；所以ACBHDACOD平面，于是。又由ODOHACOHO，所以ODABC平面.又由EFDHACDO，得92EF；五边形ABCFE的面积119696 832224S ；所以五棱锥 DABCFE 体积16923 22 2342V.【提示】（）根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明EFDD H平面即可.（）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD是五棱锥D ABCFE-的高，即可得到结论.【考点】空间中线面位置关系的判断，几何体的体积 20.【答案】（）220 xy（）,2【解析】（）()f x的定义域为(0,).当4a 时，1()(+1)ln4(1)()ln+3f xxxxfxxx，(1)2(1)0ff，曲线()yf x在(1,(1)f处的切线方程为2+20 x y（）当(1,)x时，()0f x，等价于(1)ln01a xxx(1)()ln+1a xg xxx设，则222122(1)1()(1)()axa xg xxxx x，(1)0g（）2(1,)ax，时22+2(1)+12+10()0()xa xxxg xg x，故，在(1,)上单调递增，因此()0g x；（）当2a 时，令()0g x得 22121(1)11(1)1xaaxaa ，.由21x 和121x x 得11x，故当2(1,)xx时，()0g x，()g x在2(1,)x单调递减，因此()0g x.7/9 综上，a的取值范围是,2.【提示】（）先求()f x的定义域，再求()fx，(1)f，(1)f，由直线方程的点斜式可求曲线()yf x在(1,(1)f处的切线方程为220 xy.（）构造新函数(1)()ln1a xg xxx，对实数a分类讨论，用导数法求解.【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性.21.【答案】（）设11(,)M x y，则由题意知10y.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.又(2,0)A，因此直线AM的方程为2yx.将2xy代入22143xy得27120yy.解得0y 或127y，所以1127y.因此AMN的面积11212144227749AMNS.（）将直线AM的方程(2)(0)yk xk代入22143xy得 2222(34)1616120kxk xk.由2121612(2)34kxk得2122(34)34kxk，故221212 1|2|134kAMxkk.由题设，直线AN的方程为1(2)yxk，故同理可得22121|3+4kkANk.由2|AMAN得222343+4kkk，即3246380kkk.设32()4638f tttt，则k是()f t的零点，22()121233(21)0f tttt，所以()f t在(0,)单调递增.又(3)15 3260(2)60ff，因此()f t在(0,)有唯一的零点，且零点k在(3,2)内，所以32k.【提示】（）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；（）设11,M x y，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示1x，从而表示|AM，同理用k表示|AN，再由2 AMAN求k的取值范围.8/9 【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 22.【答案】（）因为DFEC，所以,DEFCDF 则有DFDEDGGDFDEFFCBCFCDCB，所以DGFCBF，由此可得DGFCBF，由此180CGFCBF，所以BCGF，四点共圆.（）由BCGF，四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB.由 G 为RtDFC斜边 CD 的中点，知GFGC故RtBCGRtBFG，因此四边形BCGF的面 积 S 是GCB面积GCBS的 2 倍，即111221222GCBSS 【提示】（）证DGFCBF，再证BCGF，四点共圆；（）在RtDFC中，GFCDGC，因此可得RtBCGRtBFG，则2BCGBCGFSS四边形，据此解答.【考点】三角形相似与全等，四点共圆 23.【答案】（）212 cos110（）153【解析】（）由cossinxy，可得圆C的极坐标方程212 cos110。（）在（）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为()R.设AB，所对应的极径分别为12，.将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212 cos110。于是121212cos11，。22121212|()4144cos44AB。由|10AB 得2315cos,tan83.所以l的斜率为153或153.【提示】（）利用222xy，cosx可得 C 的极坐标方程；9/9 （）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率.【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，弦长公式 24.【答案】（）12,211()1,2212,.2x xf xxx x 1()22212xf xxx 当时，由得，解得；11()222xf x当时，由；1()22212xf xxx当时，由得，解得.所以()2f x 的解集|11Mxx.（）由（）知，当abM，时，11a，11b 从而 22222222(+)(1+)+1(1)(1)0a bababa bab，因此|1+|abab.【提示】（）先去掉绝对值，再分12x ，1122x和12x 三种情况解不等式，即可得M；（）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，bM时，1abab.【考点】绝对值不等式，不等式的证明