六、数形结合思想.doc
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1、在古代兵法三十六计开篇中有一句话:“数中有术,术中有数”,可以理解为:不同的战争形势自有其对战策略,同时,每项对战策略之中,又存在着多种战争的变化形式.同样的,在数学中,“数中有形,形中有数”.数与形是数学中两个最基本的元素,正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科.每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,体现其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义.这样数和形的巧妙结合,会使解题更加便捷灵活,就是我们常说的数形结合思想方法.数形结
2、合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.高考数学中选择题、填空题侧重考查数到形的转化,即“以形助数”,把数量关系的研究转化为图形性质的研究,使代数问题几何化;在解答题中突出形到数的转化,即“以数解形”,把图形性质的研究转化为数量关系的研究,使几何问题代数化,解析几何就是非常典型的例子.由“形”转到“数”,往往比较明显,而由“数”转到“形”却需要转化的意识,因此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.数形结合思想方法可以解决很多数学问题,比如:在解析几何中与斜率、距离、截距、定义等相关的问题
3、,在函数中与零点、单调性、比较数值大小等相关的问题,还可以运用数形结合思想解不等式、解三角函数、集合、线性规划、立体几何等相关的问题.下面通过几个例题来感受数形结合的应用.一、利用数形结合思想讨论方程的根:例1 :方程|x22x|a21(a0)的解的个数是( )A1 B2 C3 D4来源:学科网二、利用数形结合思想解不等式、求参数范围:例2:不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )A(,14,) B(,25,)C1,2 D(,12,)解:f(x)|x3|x1|画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a23a4即可,解得a1或a4.
4、正确选项为A.例3:已知奇函数f(x)的定义域是x|x0,xR,且在(0,)上单调递增,若f(1)0,则满足xf(x)0的x的取值范围是_通过这些例题可以总结出:来源:学_科_网Z_X_X_K1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域等都是实现以形助数的途径,分析题目中所给数量关系的几何意义,利用图形来解决相应的数量问题.2.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象以下给出一些不同内容的练习题,体会其中的数形结合思想.练习题:来源:学*科*网一、集合相关问题:在集合运算中,可借助数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算,从而使求解更加直观清晰.1.【
5、2015浙江理,1】已知集合,则( ) A. B. C. D. 二、函数相关问题:常见问题主要有:借助函数的大致图象研究函数的性质;根据题目给出的函数图象几何特征判断相应的问题;根据函数的关系式判断函数的图象等.在函数问题中,数形结合使得图象的几何特征与数量特征紧密结合.2.【2016全国理,12】已知函数满足,若函数与图象的交点为则( )A.0 B. C. D.3.【2014浙江理,7】在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是( )A . B . C . D . 三、方程与不等式相关:函数与方程常见的是函数的零点问题,此时常将零点问题转化为两个函数图象
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