大学数学-武汉大学2009数学(非数学类)竞赛模拟试题(1)及解答.pdf
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1、武汉大学 2009 数学(非数学类)竞赛模拟试题(1)武汉大学 2009 数学(非数学类)竞赛模拟试题(1)一、填空题 1、若有一、填空题 1、若有223 517212 4162+=?nnnx,则,则lim=nnx 2、极限 2、极限+=22000arctan(1)lim(1)uxxxt dtduxe 3、与曲面相交,且交线的对称中心在坐标原点的平面方程为:3、与曲面相交,且交线的对称中心在坐标原点的平面方程为:22224842842xyzyzxzxyxyz+=0 4、设 4、设(,)f x y有二阶连续偏导数,有二阶连续偏导数,2200(cos,sin),(cos,sin)duuf rrdf
2、 rrddrr=22211222201(cos,sin),d uf rrdffdrrr=+=,则,则22d ududrdrr+=5、极限 5、极限1 11212120 002limcos()nnxxxdx dxdxn+=?n?二、设当时,可微函数满足条件 二、设当时,可微函数满足条件1x)(xf0d)(11)()(0 =+xttfxxfxf,且,试证明:当时,有成立.,且,试证明:当时,有成立.1)0(=f0 x1)(xfex三、设,在区间上连续,试证:三、设,在区间上连续,试证:0()f x 0 1,0111lim()max()nnnnxiiff xnn=四、设 四、设44422222333
3、2Faxbyczdx yey zfx z=+为四次齐次函数,利用齐次函数的性质为四次齐次函数,利用齐次函数的性质4FFFxyzxyz+=F,求曲面积分,求曲面积分(,)F x y z ds?的值,其中的值,其中是以坐标原点为球心的单位球面。五、设,证明:是以坐标原点为球心的单位球面。五、设,证明:010 1 2(),()()(,)xnnfxefxxfxn+=?01()!ennfen=六、在方程中,在 六、在方程中,在,32()yyyf x+=()f x)a+上连续,且上连续,且0lim()xf x+=,试证明:已知方程的任意一解,试证明:已知方程的任意一解()y x均有。均有。0lim()xy
4、 x+=七、求证:内切于一给定正方形的所有椭圆中,以圆的周长为最长。八、求 使得不等式七、求证:内切于一给定正方形的所有椭圆中,以圆的周长为最长。八、求 使得不等式c22xxcxeee+对一切成立。对一切成立。x 1武汉大学 2009 数学(非数学类)竞赛模拟试题(1)解答 武汉大学 2009 数学(非数学类)竞赛模拟试题(1)解答 二、填空题 二、填空题 1、若有223 517212 4162+=?nnnx,则lim=nnx 解:由222223 51721111111112 4162222()()()(nnnnx+=+?22)+在右边乘以112112,再对分子反复应用公式22()()ab a
5、bab+=故有:222222111111211111222212()()()()()nnnx=+=?,从而得到:2limnnx=2、极限+=22000arctan(1)lim(1)uxxxt dtduxe 解 22222000000arctan(1)(arctan(1)limlim(1)(1)+=uxuxxxxxxt dtet dt duduxex e 220003200(arctan(1)arctan(1)tlimlim3+=xuxxxt dt dut dxx 20arctan(1)2lim612+=xxxx=0 3、与曲面相交,且交线的对称中心在坐标原点的平面方程为:22224842842
6、xyzyzxzxyxyz+=解:由题设知,交线的投影曲线也以坐标原点为对称中心。设所求平面方程为:0 xByCz+=交线在yoz面上的投影柱面为:22224842842()()()()ByCzyzyzByCz zByCz yByCzyz+=00 即:2222428142224222()()()()()BByCCzBCBCyzbYcZ+=在yoz面上的投影曲线为:22224281422242220()()()()()BByCCzBCBCyzbYcZx+=0 由交线的投影曲线也以坐标原点为对称中心,故分别用,yz替换,y z,方程保持不变,所以有:,故所求平面方程为:240 2204(),(),B
7、CBC+=2042xyz+=24、设(,)f x y有二阶连续偏导数,2200(cos,sin),(cos,sin)duuf rrdf rrddrr=22211222201(cos,sin),d uf rrdffdrrr=+=,则22d ududrdrr+=解:由题设条件得:2120(cossin)duffddr =+,2222111222202(coscossinsin)d ufffddr =+又22121200(cossin)sincosduffdf df ddr20 =+=221011120sin|(sin)cos sinffrf rd=+222021220cos|(sin)cos co
8、sffrf rd+22211122202sinsincoscosr fffd =+故 22211222002()d udurrffdddrdr+=+=5、极限1 11212120 002limcos()nnxxxdx dxdxn+=?n?解:令 11 2,kkx,ykn=?则 1 11212120 002limcos()nnnxxxdx dxdxn+?1 11212120 002limcos()nnnnyyydy dydyn=+?1 11212120 002limsin()nnnyyydy dydyn=+?1 11212120 002limsin()nnnxxxdx dxdxn=+?故 1 1
9、1212120 002limcos()nnnxxxdx dxdxn+?31 11212120 00122limcos()nnnxxxdx dxdxn=+?1 11212120 002sin()nnxxxdx dxdxn+?1 11120 001122limnndx dxdx=?二、设当时,可微函数满足条件二、设当时,可微函数满足条件1x)(xf0d)(11)()(0 =+xttfxxfxf,且,试,且,试证明:当时,有成立.1)0(=f0 x1)(xfex分析:这是一个积分微分方程,可以通过两边求导变成一个微分方程,然后求解。证明:设由题设知1)0(=f,则所给方程可变形为 .=+xttfxf
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