立体几何线线垂直专题(史上).doc
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1、立体几何垂直总结1、线线垂直得判断: 线面垂直得定义:若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。补充:一条直线与两条平行直线中得一条垂直,也必垂直平行线中得另一条。2、线面垂直得判断: (1)如果一直线与平面内得两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。(2)如果两条平行线中得一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。(3)一直线垂直于两个平行平面中得一个平面,它也垂直于另一个平面。(4)如果两个平面垂直,那么在个平面内垂直于交线得直线必垂直于另个平面。3、面面垂直得判断: 一个平面经过另一个平面得垂线,这两个平面互相垂直。证明线线垂直得常用方法:AEDBC例1、(等腰三角形三
2、线合一)如图,已知空间四边形中,就是得中点。求证:(1)平面CDE;(2)平面平面。 证明:(1) 同理,又 平面(2)由(1)有平面又平面, 平面平面例2、(菱形得对角线互相垂直、等腰三角形三线合一)已知四棱锥得底面就是菱形,为得中点()求证:平面;()求证:平面平面例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,求证:面证明: 又面 面 又面 图2例4、(直径所对得圆周角为直角)如图2所示,已知垂直于圆O在平面,就是圆O得直径,就是圆O得圆周上异于、得任意一点,且,点就是线段得中点、求证:平面、证明:所在平面,就是得弦,、 又就是得直径,就是直径所对得圆周角,、 平面,平面、 平面,平面,、
3、,点就是线段得中点、 ,平面,平面、 平面、 例5、(证明所成角为直角)在如图所示得几何体中,四边形ABCD就是等腰梯形,ABCD,DAB60,AEBD,CBCDCF、 求证:BD平面AED;证明因为四边形ABCD就是等腰梯形,ABCD,DAB60,所以ADCBCD120、又CBCD,所以CDB30,因此ADB90,即ADBD、又AEBD,且AEADA,AE,AD平面AED,所以BD平面AED、例6、(勾股定理得逆定理)如图775所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC90,且ABAA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC得中点求证:(1)DE平面ABC;(2)
4、B1F平面AEF、例7、(三垂线定理)证明:在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C平面BC1D 证明:连结AC AC为A1C在平面AC上得射影练习;1、 如图在三棱锥PABC中,ABAC,D为BC得中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上、证明:APBC;2、直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBCAA1,D就是棱AA1得中点,DC1BD、证明:DC1BC。3如图,平行四边形ABCD中,DAB60,AB2,AD4、将CBD沿BD折起到EBD得位置,使平面EBD平面ABD、(1)求证:ABDE;(2)求三棱锥EABD得侧面积、4、在正三棱柱中,若AB=2,求点A到平面得距离。5、如图所示,在
5、四棱锥PABCD中,底面ABCD就是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别就是AB、PC得中点,PAAD、求证:(1)CDPD;(2)EF平面PCD、6、如图759(1),在RtABC中,C90,D,E分别为AC,AB得中点,点F为线段CD上得一点,将ADE沿DE折起到A1DE得位置,使A1FCD,如图(2)(1)求证:DE平面A1CB、(2)求证:A1FBE、(3)线段A1B上就是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由立体几何垂直总结1、线线垂直得判断: 线面垂直得定义:若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。补充:一条直线与两条平行直线中得一条垂直,也必垂直平行线中得另一条。2
6、、线面垂直得判断: (1)如果一直线与平面内得两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。(2)如果两条平行线中得一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。(3)一直线垂直于两个平行平面中得一个平面,它也垂直于另一个平面。(4)如果两个平面垂直,那么在个平面内垂直于交线得直线必垂直于另个平面。3、面面垂直得判断: 一个平面经过另一个平面得垂线,这两个平面互相垂直。证明线线垂直得常用方法:AEDBC例1、(等腰三角形三线合一)如图,已知空间四边形中,就是得中点。求证:(1)平面CDE;(2)平面平面。 证明:(1) 同理,又 平面(2)由(1)有平面又平面, 平面平面例2、(菱形得对角线互相
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