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初三总复习---方程(组)与不等式(组)
方程组与不等式组
一、概述
初中阶段的方程主要包括一元一次方程、一次方程组、一元二次方程和分式方程,不等式(组)有一元一次不等式和一元一次不等式组.
数学方法：待定系数法、配方法、换元法.
数学思想：数形结合、分类讨论、方程与函数、转化与划归等
二、题型分析
（一）方程与方程组的复习
考点1：方程的解
1.已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为　　．
2.已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
3.若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（　）

A．
4，2
B．
2，4
C．
﹣4，﹣2
D．
﹣2，﹣4
4.现定义运算“★ ”，对于任意实数a、b，都有a★ b=a2﹣3a+b，如：3★ 5=32﹣3×3+5，若x★ 2=6，则实数x的值是　　．
5.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　　．
6.若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（　）
　 A．1或4 B． ﹣1或﹣4 C． ﹣1或4 D． 1或﹣4
考点2：利用相关概念构造方程或方程组
1.若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是（）

A．
2
B．
0
C．
﹣1
D．
1
2.函数y=2x与y=x+1的图象交点坐标为　　．
3.若2a﹣b=5，a﹣2b=4，则a﹣b的值为　　．
4.已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
　 A．7或8 B． 6或1O C． 6或7 D． 7或10
考点3：方程或方程组解法练习
1.（1）解方程：2﹣=
2.解方程组：．
3.解方程：2x2﹣4x﹣1=0．
（二）分式方程的复习
考点1：解分式方程
1.分式方程=
2.解分式方程：+=﹣1．
3.解方程：=1．
4.解方程：． ．
5.解方程：．
考点2：含参数的分式方程的解的情况
1.已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（　）
　 A．m＞2 B． m≥2 C． m≥2且m≠3 D． m＞2且m≠3
*考点3：分式方程的增根（是指方程求解后得到的不满足题设条件的根）
1.当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？
2.当a为何值时，关于x的方程①无解？
（三）方程、方程组应用题的复习
1.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）

A．
1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87
B．
1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87

C．
2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87
D．
2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87
2.服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多　　元．
3.20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）

A．

B．

C．

D．

4.小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
5.今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．
6.（1）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．
（2）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　）
A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C． x（x+1）=28 D． x（x﹣1）=28
8.某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（　　）

A．
﹣=2
B．
﹣=2

C．
﹣=2
D．
﹣=2
9.小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　．
10.某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
11.甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
12.几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话：
如果今天看演出，我们每人一张票，正好会差两张票的钱.

这两天就是“儿童节”了，那时候
来看这场演出，票价会打六折，
我们每人一张票，还能剩72元钱呢!

根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数.
（四）不等式及不等式组
考点1：考查不等式的基本性质
1.若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
　 A．x﹣3＞y﹣3 B． ＞ C． x+3＞y+3 D． ﹣3x＞﹣3y
考点2：考查不等式（组）的解法
1.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．B．C．D
2.不等式组的整数解共有（　　）
　 A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3.计算：解不等式≤，并求出它的正整数解
4.解不等式组，并写出它的非负整数解．
考点3：由不等式（组）的解集，确定字母的取值
1.（若不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2=0的解为（　　）

A．
y=﹣1
B．
y=1
C．
y=﹣2
D．
y=2
2.若不等式组无解，则实数a的取值范围是( )
A．a≥一1 　 B．a<－1 　　 C．a≤1 　　　 D.a≤－1
3.已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是( )．
考点4：综合应用类
1.如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是　　．
2.已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是　　．
3.阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为=ad﹣bc。如=2×5﹣3×4=﹣2． 如果有＞0，求x的解集．
4.定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．
例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．
（1）如果[a]=﹣2，那么a的取值范围是　　．
（2）如果[]=3，求满足条件的所有正整数x.
5.如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点5：一元一次不等式（组）应用
1.某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
3.学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
（五）一元二次方程根的判别式的应用（2课时）
考点1：根的判别式的应用—根的情况的判定
1.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根

C．
只有一个实数根
D．
没有实数根
3.已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　　．
4.已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．
5.已知关于的方程有两个实数根，m的取值范围为 如果为非负整数.则的值为
6.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：根的判别式的应用—整数根问题
一、一元一次方程和一元二次方程整数根
（一）求根型：
1.已知关于x的一元二次方程 .
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的
横坐标都是整数，且时，求m的整数值．
解：（1）由题意 m≠ 0， ………………………………………………………… 1分
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ △>0． ……………………………………………………………… 2分
即 ．
得 m≠﹣3． ………………………………………………………………… 3分
∴ m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；
（2）设y=0，则．
∵ ， ∴ ．
∴ ，．……………………………………………… 5分
当 是整数时，
可得m=1或m=-1或m=3．………………………………………………………… 6分
∵ ，
∴ m的值为﹣1或3 ． …………………………………………………………… 7分
2.已知：关于的一元二次方程.
（1）当方程有两个相等的实数根时，求的值；
（2）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．
（1）∵原方程是关于x的一元二次方程
∴k2-1≠0
∴k≠±1
∵方程有两个相等的实数根
∴Δ=(k-3)2 =0 ………………………………………………………1分
∴k=3
∴k=3时，原方程有两个相等的实数根………………………………………2分
（2）∵方程有两个不相等的整数根，
∴，且．………………………………………………………3分
∴
……………………4分
当时，可使，均为整数，
∴ ……………………………………………………………………5分
当时，抛物线为．
顶点坐标为（，） …………………………7分
把抛物线向右平移个单位长度后，得到的抛物线的
顶点坐标为（1，） …………………………………………7分
3.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；
（1）证明：∵≥0， ……… 1分
∴方程总有两个实数根．……………………………………………… 2分
（2）解：∵，
∴，．………… 3分
∵方程有两个互不相等的负整数根，
∴．∴或
∴．
∵m为整数，∴m=1或2或3． ………………………………………… 4分
当m=1时，，符合题意；
当m=2时，，不符合题意；
当m=3时，，但不是整数，不符合题意．
∴m=1．　………………………………………………………………… 5分
4.关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数.
（1）证明：根据题意得．
．[来^&*源:中@教……………1分
∴方程有两个不相等的实数根．…………………………………………2分
（2）解：由（1）知：△=4
∴，． ……………3分
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∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴或2．
∴或3． ………………………………………………………5分
（二）不等式组型
1.已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；
解： (1)∵ 方程有实数根
∴
∴
∴ ..........................................................1分
∵为正整数∴为1，2，3........................................2分
（2）当时，，方程的两个整数根为6，0
当时，，方程无整数根
当时，，方程的两个整数根为2，1
∴,原抛物线的解析式为： ..................................4分
∴平移后的图象的解析式为 ...............................................5分
2.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数.
解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ ---------------------1分
解得，． ------------------------------------------------------------------------2分
（2）k的正整数值为1、2、4． -----------------------------------------------------------3分
如果k＝1，原方程为．解得，，不符合题意 舍去.　
如果k＝2，原方程为，解得，不符合题意，舍去.
如果k＝4，原方程为，解得，符合题意． ----------------4分
∴ k＝4． --------------------------------------------------------------------------------------------5分
方程与函数（强化条件和比较大小）
1.关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；
（1）证明：

所以方程有两个不等实根. ……………2分

2.已知关于x的方程：．
（1）求证：无论为任何实数，方程总有两个不相等的实根；
（2）若为整数，当关于x的方程的两个有理数根都在与之间
（不包括-1、）时，求的值．
解：（1）∵△=，
∴无论为任何实数，都有………………………… 1分
∴抛物线与x轴总有两个交点． …………………………………… 2分
（2）由题意可知：抛物线的开口向上，与y轴交于（0，-2）点，
∵方程的两根在-1与之间，
∴当x=-1和时，．
即 ………………………………………… 4分
解得 ． ………………………………………… 5分
因为 m为整数，所以 m=-2，-1，0 ．
当 m=-2时， 方程的判别式△=28，根为无理数，不合题意.
当 m=-1时， 方程的判别式△=25，根为，符合题意.
当 m=0时， 方程的判别式△=24，根为无理数，不合题意.
综上所述 m=-1 . ………………………………………… 6分
方程与几何
1.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程都有两个实数根；
（2） 当时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
解：（1）根据题意，得．
∵无论m为任何实数时，都有(m－4)2≥0，即≥0，
∴方程有两个实数根．……………………………2分
（2）令y=0，则．
解得 x1=6－2m，x2=－2．
∵ m＜3，点A在点B的左侧，
∴ A（－2，0），B（，0）．………………3分
∴ OA=2，OB=．
令x=0，得y=2m－6．∴C（0，2m－6）．
∴OC=－(2m－6)=－2m+6．
∵ 2AB =3 OC，
∴ ．
解得．………………………4分
分类讨论：
1.已知关于x的方程 .
（1）求证: 不论m为任何实数, 此方程总有实数根；
（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；
解：（1）当m=0时，原方程化为 此时方程有实数根 x = -3. 1分
当m¹0时，原方程为一元二次方程.
∵³0.
∴ 此时方程有两个实数根. ……………………………2分
综上, 不论m为任何实数时, 方程 总有实数根.
（2）∵令y=0, 则 mx2+(3m+1)x+3=0.
解得 ，. ……………………………3分
∵ 抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
∴.
∴抛物线的解析式为. ……………………4分
答案解析
（一） ————————————————————————
考点1
1、1 2、D 3、A　 4、﹣1或4 5、23 6、B
考点2
1、D 2、（1，2） 3、3 4、A
考点3
1、x=1； 2、 3、 x==
（二）————————————————————————————
考点1
1、x=2 2、x=2是增根，分式方程无解 3、x=﹣3 4、x=﹣ 5、x=3
考点2 1、C
考点3
1、解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得（a－1）x＝－10 ②
若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．
把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．
2、解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得（a－1）x＝－10 ②
若原方程无解，则有两种情形：
（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．
综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．
（三）——————————————————————————
1、B 2、120 3、D
4、

5、

6、A 7、B 8、D 9、（x+2）（﹣0.5）=12
10、

11、

12、

（四）————————————
考点1 1、D
考点2
1、D 2、B 3、正整数解为1，2，3，4． 4、它的非负整数解为：0，1，2，3．
考点3 1、D 2、D 3、答案： -3＜a≤-2．
考点4
1、a＜﹣5（两种情况：1、开口向上经过y轴负半轴 2、开口向下经过y轴正半轴）
2、1≤k＜3（前式变形求出X的取值范围，然后用Y表示X带入K，化成X的一元一次函数，利用求出的定义域确定其K范围）

3、x＞1． 4、﹣2≤a＜﹣1，(5,6) 5、A
考点5
1、
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=50经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：
0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
3、

解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，工作量为1。则王师傅的工作效率为：
由题意，得：20（ + ）+20×=1，
解得：x=80，
经检验得：x=80是原方程的根．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．
（2）设李老师要工作y分钟，
由题意，得：（1﹣）÷≤30，
解得：y≥25．
答：李老师至少要工作25分钟．
（五）——————————————————————
考点1
1、B 2、D 3、0 4、k=2 5、答案： ∴且； 6、D