立体几何大题练习(文科).docx
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1、立体几何大题练习(文科):1.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD就是梯形,ABDC,ABC=90,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD底面ABCD.(1)求证:平面SBD平面SAD;(2)若SDA=120,且三棱锥SBCD得体积为,求侧面SAB得面积.【分析】(1)由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a,AB=2a,运用勾股定理与余弦定理,可得AD,由线面垂直得判定定理可得BD平面SAD,运用面面垂直得判定定理即可得证;(2)运用面面垂直得性质定理,以及三棱锥得体积公式,求得BC=1,运用勾股定理与余弦定理,可得SA,SB,运用三角形得面积公式,即可得到所求值.【解答】(1)证明:在梯形
2、ABCD中,ABDC,ABC=90,BC=CD=,设BC=a,则CD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,BCD=90,可得BD=a,CBD=45,ABD=45,由余弦定理可得AD=a,则BDAD,由面SAD底面ABCD.可得BD平面SAD,又BD平面SBD,可得平面SBD平面SAD;(2)解:SDA=120,且三棱锥SBCD得体积为,由AD=SD=a,在SAD中,可得SA=2SDsin60=a,SAD得边AD上得高SH=SDsin60=a,由SH平面BCD,可得aa2=,解得a=1,由BD平面SAD,可得BDSD,SB=2a,又AB=2a,在等腰三角形SBA中,边SA上得高为=a,则SAB
3、得面积为SAa=a=.【点评】本题考查面面垂直得判定定理得运用,注意运用转化思想,考查三棱锥得体积公式得运用,以及推理能力与空间想象能力,属于中档题.2.如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.【分析】(1)利用ABEF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FGBC,则EGAC,利用线面垂直得性质定理可知FGAD,结合线面垂直得判定定理可知AD平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为ABAD,EFAD,且A、B、E、
4、F四点共面,所以ABEF,又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FGBC,则EGAC,因为BCBD,FGBC,所以FGBD,又因为平面ABD平面BCD,所以FG平面ABD,所以FGAD,又因为ADEF,且EFFG=F,所以AD平面EFG,所以ADEG,故ADAC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直得判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直得性质及判定定理,注意解题方法得积累,属于中档题.3.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC,ACCB,点M与N分别就是B1C1与
5、BC得中点.(1)求证:MB平面AC1N;(2)求证:ACMB.【分析】(1)证明MC1NB为平行四边形,所以C1NMB,即可证明MB平面AC1N;(2)证明AC平面BCC1B1,即可证明ACMB.【解答】证明:(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,因为点M,N分别就是B1C1,BC得中点,所以C1MBN,C1M=BN.所以MC1NB为平行四边形.所以C1NMB.因为C1N平面AC1N,MB平面AC1N,所以MB平面AC1N;(2)因为CC1底面ABC,所以ACCC1.因为ACBC,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.因为MB平面BCC1B1,所以ACMB.【点评】本题考查线面平行得
6、判定,考查线面垂直得判定与性质,考查学生分析解决问题得能力,属于中档题.4.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD|BC,PD底面ABCD,ADC=90,AD=2BC,Q为AD得中点,M为棱PC得中点.()证明:PA平面BMQ;()已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ得距离.【分析】(1)连结AC交BQ于N,连结MN,只要证明MNPA,利用线面平行得判定定理可证;(2)由(1)可知,PA平面BMQ,所以点P到平面BMQ得距离等于点A到平面BMQ得距离.【解答】解:(1)连结AC交BQ于N,连结MN,因为ADC=90,Q为AD得中点,所以N为AC得中点.(2分)当M为P
7、C得中点,即PM=MC时,MN为PAC得中位线,故MNPA,又MN平面BMQ,所以PA平面BMQ.(5分)(2)由(1)可知,PA平面BMQ,所以点P到平面BMQ得距离等于点A到平面BMQ得距离,所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ,取CD得中点K,连结MK,所以MKPD,(7分)又PD底面ABCD,所以MK底面ABCD.又,PD=CD=2,所以AQ=1,BQ=2,(10分)所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ=、,(11分)则点P到平面BMQ得距离d=(12分)【点评】本题考查了线面平行得判定定理得运用以及利用三棱锥得体积求点到直线得距离.5.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA
8、C,D,E分别就是AB,AC得中点.(1)求证:B1C1平面A1DE;(2)求证:平面A1DE平面ACC1A1.【分析】(1)证明B1C1DE,即可证明B1C1平面A1DE;(2)证明DE平面ACC1A1,即可证明平面A1DE平面ACC1A1.【解答】证明:(1)因为D,E分别就是AB,AC得中点,所以DEBC,(2分)又因为在三棱柱ABCA1B1C1中,B1C1BC,所以B1C1DE(4分)又B1C1平面A1DE,DE平面A1DE,所以B1C1平面A1DE(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC,又DE底面ABC,所以CC1DE(8分)又BCAC,DEBC,所以DEAC
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