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图形的初步认识讲义及练习
图形的初步认识
一、 几何图形
柱体（圆柱、棱柱）
立体图形（体） 锥体（圆锥、棱锥）
球体
点
几何图形（点、线、面、体） 直线（射线、线段）
线
平面图形 曲线
平面（角、三角形、平行四边形、圆等）
面
曲面
点动成线，线动成面，面动成体。
二、线段、射线和直线
1、概念及记法的区别
线段：（1）有两个端点（2）可以度量（3）A a B 记作：线段AB或线段BA或线段aRRl29Bq。3gKgPvO。
射线：（1）有一个端点（2）向一方无限延伸（3） A B 记作：射线ABKEFP12M。EYo6Cv9。
直线：（1）无端点（2）向两方无限延伸（3） A B l 记作：直线AB或直线BA或直线lK7ikQ9h。AwO61sI。
2、相关概念
两点间的距离：连接两点的线段的长度
线段的中点：分一条线段为两条相等的线段的点。如 A C B C为线段AB上一点，且hMKEhkP。8wEjHxC。
AC＝BC，则C为线段AB的中点，记作AB＝2AC＝2BC或AC＝BC或AC＝BC＝AB
3、线段大小的比较
线段长短的比较有两种方法：（1）度量法（用刻度尺量出两线段的长度再比较）（2）叠合法（用圆规）
4、相关性质公理
直线公理：过两点有且只有一条直线
线段公理：两点之间，线段最短
三、角的认识
1、 角的概念
静止角度：由公共端点的两条射线组成的图形（公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边）
运动角度：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（起始位置的射线称为角的始边，终止位置称为角的终边）
2、 角的表示方法
（1）可以用三个大写字母来表示，如
（2）在不引起混淆的情况下，可以只用顶点大写字母来表示，如
（3）可以用一个数学或小写希腊字母来表示，如或
3、角的大小
角的大小不是看角的两边的长与短，而是由两条射线的位置（张口大小）来决定。
(1) 计量单位：度，分，秒（时钟的分针，经过一分转，时针经过一小时转）

(2) 角的大小比较
两种方法：①度量法（用量角器）②叠合法（保持顶点和其中一条边重合）
（3）两个角的和或差
两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角；两个角的差是在一个较大角中去掉一个较小角后的角。uabs1gn。MXo3sfn。
（4）角平分线
概念：从角顶点发出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
表示方法：如图，若是的平分线，则①②③ B
O C
A
性质：角平分线的点到这个角两边的距离相等；到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上
（5）角的分类
锐角（大于小于的角）
直角（等于的角）
钝角（大于小于的角）
平角（的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时所形成的角）
周角（的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转到起始位置所形成的角）
1周角＝2平角＝4个直角
注：不能说“一个平角是一条直线，一条射线就是周角”
（6）补角、余角、对顶角和邻补角
补角和余角属于数量关系角，对顶角和邻补角属于位置关系角。
①如果两个角的和是一个平角，则这两个角互为补角，即，则互为补角，简称互补，是的补角或是的补角。同角或等角的补角相等。nhiwKJq。Bld90Rg。
②如果两个角的和是一个直角，则这两个角互为余角，即，则互为余角，简称互余，是的余角或是的余角。同角或等角的余角相等。9HwYHVx。iAKe3ug。
③两条直线相交形成两类角：一是对顶角，一是邻补角。对顶角相等，邻补角是特殊位置上的补角。
如图(a)，两直线AB、CD相交于O，则对顶角有两组：；邻补角有四组：和，和，和，和
( b ) ( a ) ( c )nv1Ltcd。6TZhCGX。
（7）方位角
方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一。具体表示时，是南（或北）在先，
再说偏东（或偏西）。
如上图(b)，OA的方向为北偏东，OB的方向为南偏西（即西南方向）
四、相交线和平行线
同一平面内，两直线的位置关系：相交或平行。
1、 相交线
（1）相关概念
两直线相交：若两直线有且只有一个公共点，则称两直线相交，公共点叫做交点。
垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如上图（c），直线AB，CD互相垂直，垂足为O，记作ABCD或CDAB于O，读作“AB垂直于CD，垂足为O”。VBt0yuM。IQ3TGjo。
注：垂线是直线而不是线段。
点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这点和垂足之间的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。
线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（亦叫中垂线）。
比例尺＝
（2）相关性质
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
②直线外一点与直线上各点联结的线段中，垂线段最短
③线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。BrXqM8t。JjlgMgg。
2、 平行线
（1）相关概念
两直线平行：在同一平面内不相交的两条直线。如在同一平面内a与b不相交，即a平行于b，记作∥。
两平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。
（2）平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果同一平面内有两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即“∥”
五、作图
1、过直线l外一点A画直线l的垂线
方法一：用三角尺（作法：如下图，三角尺一条直角边和l重合，并移动使得另一直角边过A点，再用铅笔沿另一条边画直线即为所求）1nTH7Nn。aWknJve。
方法二：用量角器（作法：如下图，量角器的线与l重合，并移动使得零刻度线过A点，零刻度线所在直线即为所求） 1DgCApJ。w0pFBTO。

2、过直线a外一点P画一条直线b，使得∥
方法一：如图，①任意画一条直线l，使②过点P画直线，则∥，b即为所求

方法二：如图，用三角尺和直尺画∥

3、 画已知的角平分线OP
方法一：用量角器量出的度数，以OB为始边用量角器量出，终边为OP，则OP即为所求
方法二：尺规法（同4、（4））
4、 尺规作图
（1）比较两已知线段a和b的大小
作法：①将圆规的两脚和线段a的两端点重合 ②此圆规的一脚和b的一端点重合，进行叠合后若另一脚落在b上，则；若落在b外，则；若则好跟b另一端点重合，则3AFLJ7P。oQVUfDg。
（2）画一线段等于已知线段a和b（）的长度的和或差
①记c为a和b长度的和，则
作法：如下图，用直尺延长a（AB）到一定长度，再用圆规往右顺次截取BC＝b，则AC即为所求
②记d为a和b长度的差，则
作法：如下图，用圆规在a上截取AC＝b，则BC即为所求

（3）画一已知线段AB的垂直平分线
作法：如图（3）①分别以AB为圆心，大于长为半径在AB上下画弧，上面两条弧的交点为C，下面两条弧的交点为D ②连接CD，则直线CD即为所求QYezvTB。nfMpMX3。
（4）画一已知的角平分线OP
作法：如图（4）①以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于C，D ②分别以C，D为圆心，大于长为半径在内画弧，两弧交点为P ③连结OP，则OP即为所求esh8NLV。gfmxuIp。

图(3) 图(4)
【探索】
1、已知直线l上有n个点，问共有多少条线段和多少条射线？
答案：线段有：
射线有：
2、如果以O为端点有n条射线（构成的角都小于平角），组成的角有多少个？
答案：角有：
3、利用一副三角板可以拼出多少个角（不包括和角）？
答案：可以拼出11个角（这11个角分别以递增：
【练习】
单元测试 ( A )
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．不在同一直线上的四点最多能确定 条直线.
2．如图，从A地到B地走 条路线最近，它根据的是 .Q6M8Jpw。ph1BXLv。
3．(02宁德市 )如图，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于
度.
4． (02杭州市)当图中的∠1和∠2满足_________时，能使OA⊥OB（只需填上一个条件即可）.dbIOGmz。I42zJH7。
A
B
①
②
③

5．从A市开往B市的特快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有 种不同的票价DPUrt2e。5LyFRI0。
6．小明每天下午5:30回家，这时分针与时针所成的角的度数为___________．
7．(02岳阳市)在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，那么10个圆把平面最多分成 个部分.YCnkSH3。TZI57zD。
8．有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4，…的等边三角形 (如图所示)．根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数s与边长n的关系式是 .5eejMQN。wUHg8cV。

9．如图所示的4×4正方形网格中，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= ．
二、选择题（每小题3分，共30分）
10．若∠α=30°，则∠α的补角为( )．
A．30° B．60° C．120° D．150°
11. 平面上有三点A、B、C，如果AB=8，AC=5，BC=3，则（ ）
A．点C在线段AB上 B．点B在线段AB的延长线上
C． 点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
12.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）
A．南偏西50度方向 B．南偏西40度方向 C．北偏东50度方向 D．北偏东40度方向
13．如图，,,点B、O、D在同一直线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知∠AOC＝90º，∠COB＝α，OD平分∠AOB，则∠COD等于（　　）
A．　　　B．　 　C．　　D．
15．某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有1 5人，C区有1 0人.三个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此问只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( ) xgpiGpL。F1DUMiR。
A．A区 B．B区 C．C区 D．A，B两区之间
16．一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送．例如信息到b2点可由经al的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条途径传送．则信息由A点到达d3的不同途径共有( )． Ik2iho4。isVF4v0。
A．3条 B．4条 C．6条 D．12条
17．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知各村及电厂之间的距离如图所示（单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是( )gJGp6C7。9kBgrpo。
A．19．5 B．20．5 C．21．5 D．25．5
18．(02烟台市)花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如下图的A、B、C、D所示，其中的阴影部分用于种植花草．种植花草部分面积最大的图案是( )．ZBWZ8PQ。iZ35Hdc。
(说明：A、B、C中圆弧的半径均为，D中圆弧的半径为a)
19．已知α、β是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（ ）OZUn0HN。FbrLAJz。
A．86° B．76° C．48° D．24°(02烟台市)
三、解答题（21~25题每题6分，26~27题每题10分，共50分）
20．已知∠1与∠2互为补角，且∠2的比∠1大15°，求∠1的余角．
21．如图所示，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20º,求∠AOB的度数。

22．如图，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a，BC=b，求线段AD的长．PEwcV5X。VxWXFoG。

23．如图，已知A、O、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°，试问：∠COD与∠DOE之间有什么关系?说明理由．iUxQBnm。ADF0qsk。

24．如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°．
（1） 若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是___________；
（2） OD是OB的反向延长线,OD的方向是_________；
（3） ∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE,OE的方向是____________；tS33LxN。A3gEsGJ。
（4） 在(1)、（2）、（3）的条件下，∠COE=______°．
25．如图，是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点,E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位：千米).一学生从A处出发，以 2千米 /小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时.（01南昌）eg38kdP。S5QL8DY。
(1)当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；
(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在4小时内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由(不考虑其他因素).8oHsGxH。gOLtwIH。

单元测试 （B）
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．若∠α的补角为1200，则∠α＝ 度．
2．如图，直线AB⊥CD于O，直线EF过点O，且∠AOE＝40°，则∠DOF＝ 度．
3． 38°12′等于 度．
4．在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是 个．
5．从A市开往B市的特快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有 种不同的票价．t8kB6Do。VNEzpMw。
6．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，则线段AC的长度为 ．QMs6JtG。D1rW5CQ。
7．将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为 ．

8．观察两两相交但无三线共点的若干条直线，将平面划分成的区域个数K，有如下事实：一条直线将平面划分成2个区域，K=2=+1；两条直线将平面划分成4个区域，K=4=+1；三条直线将平面划分成7个区域，K=7=+1；…．请根据你的推测，n条直线最多可将平面划分成的区域个数K，用n的代表式表示为K=　　　　．UYKv5qS。u8NmwRQ。
9． (02潍坊市)观察下列图形：

若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为，第3个图形中阴影部分的面积为，第4个图形中阴影部分的面积为，……则第n个图形中阴影部分的面积为 (用字母n表示) ．BELGR1a。mbAHxJv。
10．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则= ．M0mZlix。7FCS0FK。
二、选择题（每小题3分，共30分）
11．下列各图形中，有交点的是（ ）

12．12：15时，钟表的时针与分针所成的角是 ( )
A.直角 B.锐角 C.钝角 D.平角
13．如图，∠AOB是一直角，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，那么∠AOD等于( )
A.65° B.50° C.40° D.25°
14．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．
A ．1条 B．4条 C 6条 D．1条或4条或6条
15．小华用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是( )gUKSPhg。2QAdnqx。

16．一条船在灯塔的北偏东方向，那么灯塔在船的什么方向（ ）
A 南偏西 B 西偏南 C 南偏西 D 北偏东
17．(02吉林省)在图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点．甲虫沿弧ADA1、A1EA2 、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是( ) jrZWNk0。1K3PxHQ。
A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B点 D．无法确定
18．平面内有条直线(n≥2)，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是( )．DIJG3fT。uz0H2Qa。
A．n(n一1) B．n2一n+1 C． D．
19．如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为( ) 6tzmiaL。acAiGw9。
(A)两点之间线段最短 (B)两直线相交只有一个交点
(C)两点确定一条直线 (D)垂线段最短

20．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为( )．NhNz9hH。AncTVSU。
A．19 B．20 C ．24 D．26
三、解答题（21~22题每题5分，23~26题每题6分，27~28题每题8分，共50分）
21．已知∠1与∠2互为补角，且∠2的比∠1大15°，求∠1的余角．

22．如图, 已知线段，．
（1）画线段AB=
（2）画出线段AB的中点C．
23．如图,AD=DB, E是BC的中点,BE=AC=2cm,线段DE的长,求线段DE的长.

24．小王玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去．当小王撕到第n次时，手中共有s张纸片． SPpNr8B。xsZ5eJI。

(1)用含有n的代数式表示s；
(2)当小王手中共有70张小纸片时，小王撕纸多少次?
(02柳州市)
25．A、B两观测站相距4km，A站在B站南偏东60°．当C地发出信号时，A站测出C在它的北偏东30°，B站测出C在它的正东方向．OsmAkt8。gPW7XGw。
(1)用1∶100000的比例尺画出图形；
(2)测算出BC、AC的实际距离(精确到0.1km) ．
26．以“ 、Δ、==”（一个半圆、一个三角形、两条平行线）为条件，在下列空白处，画出2个独特且有意义的图形，并用文字来说明你要表达的含意．oI0ywJq。ZgC31B8。
27． 已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE．
（1）不添加其它条件情况下，请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；
A
B
C
D
E
O
（2）找出图中所有互余的角．
28．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，OD是∠AOB的平分线，若∠AOB=36°，求∠COD的度数．sOqrQME。bYFx3Hd。