2021年实数知识点总结.doc

实数平方根关于概念夯实基本一 算术平方根名称定义表达办法举例算术平方根普通地，如果一种正数平方等于，即，那么这个正数叫做算术平方根。规定0算术平方根是0非负数算术平方根记作“”，读作“根号”，其中叫做被开方数如，那么5叫做25算术平方根（或者说25算术平方根是5）温馨提示一种正数平方根有两个，分别为和，咱们把正平方根叫做算术平方根。一种正数算术平方根是一种正数；零算术平方根仍为零；负数没算术平方根。例1：写出下列各数算术平方根。（1）0.0009；（2）；（3）。二 平方根1. 定义：如果一种数平方等于，这个数就叫做平方根（或二次方根）。即如果，那么就叫做平方根。如：，因此4平方根是；，因此平方根是；，因此0平方根是0。2. 表达办法 一种数正平方根，用符号“”表达，叫做被开方数，2叫做根指数，负平方根用“”表达，根指数是2时，普通省略不写。如记作，读作“根号”，记作，读作“正、负根号”。 温馨提示任何数平方都不能为负数，因此负数没有平方根。“5是25平方根”这种说法是对的，反过来说“25平方根是5”就错了，由于“正数有两个平方根”，因此必要说“25平方根是5”。求一种数平方根就是把平方后等于这个数所有数都求出来，而判断一种数是不是另一种数平方根，只要把这个数平方，看其与否等于另一种数即可。3. 平方根性质（1） 一种正数有两个平方根，它们互为相反数，记作。（2） 零平方根是零。（3） 负数没有平方根。 温馨提示时，表达算术平方根，表达平方根。由于负数没有平方根，因此被开方数。如中隐含着，即这一条件。，例2：判断下列说法与否对的，并阐明理由。（1） 平方根是36；（2）1平方根是1；（3）-9平方根是；（4）；（5） 是算术平方根。三 平方根与算术平方根区别与联系算术平方根平方根区别概念如果一种正数平方等于，即，那么这个正数叫做算术平方根如果一种数平方等于，即，那么这个数叫做平方根或二次方根表达办法性质正数只有一种算术平方根，且恒正；规定；负数没有算术平方根正数有两个平方根，且互为相反数；0平方根是0；负数没有平方根求法开平方后取非负平方根开平方联系（1） 取值范畴相似，均为；（2） 平方根中包括了算术平方根，即算术平方根是平方根中一种，平方根中非负 那一种即为算术平方根。掌握办法一 开平方办法求一种数平方根运算，叫做开平方。开平方运算与平方运算互为逆运算。表达非负数平方根，表达非负数算术平方根，表达非负数负平方根。例1：下列各式中对的是（ ） A. B. C. D.二 平方根性质应用办法要判断一种数有无平方根或平方根有几种，核心是拟定这个数是正数、负数还是0。如果是正数平方根，那么有或；但如果正数平方根是，那么只能有。例2：如果一种数平方根是与，那么这个数是多少？三运用平方根概念解方程办法一种正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一种平方根，负数没有平方根。在解方程时，运用平方根定义进行开方，从而求出未知数值。例3：求下列各式中值。（1） ；（2）；（3） ；（4）。实数立方根关于概念夯实基本一 立方根1. 立方根名称定义表达办法举例立方根普通地，如果一种数立方等于，即，那么叫做立方根或三次方根数立方根记作“”，读作“三次根号”，其中叫做被开方数如，那么叫做立方根温馨提示负数没有平方根，但有立方根。依照立方根概念可知：“5是125立方根”，反过来说“125立方根是5”也对的。判断一种数是不是某数立方根，就看是不是等于。例1：求下列各数立方根：（1） ；（2）；（3）。2. 立方根性质（1） 正数只有一种正立方根；（2） 负数只有一种负立方根；（3） 零立方根为零。 温馨提示一种数立方根是唯一。正数奇次方根时正数，负数奇次方根是负数，零任何正整多次方根均为0。、，公式中可取任意数。当两个数相等时，这两个数立方根相等，反过来，当两个数立方根相等时，这两个数也相等。即若，则；若，则。例2：下列说法中错误有（ ）任何一种数均有立方根；14立方根是；3是27立方根；正数平方根有两个，立方根也有两个。 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二 开立方求一种数立方根运算叫做开立方。例如：8立方根为。 温馨提示被开方数数可以是正数、负数和0。开立方运算与立方运算是互为逆运算关系，负数（在实数范畴内）不能开平方但可以进行开立方运算。求一种负数立方根，可以先求出这个负数绝对值立方根，然后取它相反数，即。求一种带分数立方根时，必要把带分数化成假分数，再求它立方根。例3：求下列各式值。（1） ；（2）；（3）；（4）。三 立方根与平方根区别和联系1. 立方根与平方根不同点：（1） 定义不同：平方根概念强调“平方”二字，立方根概念强调“立方”二字，即平方根逆运算是平方，立方根逆运算是立方。（2） 表达办法不同：平方根用“”表达，根指数2可以省略，写成“”；立方根用“”表达，根指数3不能省略，更不能写成“”。（3） 性质不同：一种正数平方根有两个，它们互为相反数；而任何一种数立方根却只有一种，正数立方根是正数，负数立方根是负数，零立方根是零。（4） 取值范畴不同：平方根中取值范畴必要是非负数，而立方根中取值为任何数，即正数、负数、零均可。2. 立方根与平方根相似点：（1） 都是求根：平方根与立方根定义都是建立在乘方概念基本上。在指数式中，当时，求值就是求平方根；当时，求值就是求立方根。这就表白无论是求平方根还是求立方根，都是已知指数和幂，求底数。（2） 都与乘方知识关于：无论是求平方根还是求立方根，都属于开方运算。开方是乘方逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。（3） 零平方根与立方根都是零。（4） 都可以归结为非负数非负方根来研究：平方根重要是通过算术平方根来研究；而负数立方根也可以通过转化为整数立方根来研究。掌握办法一 立方根性质应用办法（1） 正数、0、负数均有立方根，且只有一种立方根，一种数立方根符号与这个数符号是一致；（2） 一种数立方立方根、一种数立方根立方都等于其自身；（3） 互为相反数立方根仍互为相反数，互为相反数立方仍互为相反数。例1：若，求值。二 运用立方根概念解方程办法正数立方根是一种正数；负数立方根是一种负数；0立方根是0。在解方程时，运用立方根定义进行开立方，从而求出未知数值，在求立方根时，常需转化为形式，也经常将中看作一种整体。例2：求下列各式中值：（1） ；（2）；（3）；（4）。三方根中小数点移动规律应用在开方运算中，被开方数小数点移动时，其方根小数点相应地移动是有规律：（1）在开平方运算中，被开方数小数点向左（右）移动两位时，其平方根小数点向左（右）移动一位；（2）在开立方运算中，被开方数小数点向左（右）移动三位时，其立方根小数点向左（右）移动一位。例3：填空：（1） 已知，则= ，= 。（2） 已知，则= ，= 。实数实数夯实基本一 无理数无限不循环小数叫做无理数。 温馨提示无限小数涉及无限循环小数和无限不循环小数，而无理数是指无限不循环小数。常遇到无理数有三类：开放开不尽数方根，如，等；特定构造数，如0.303 003 0003；特定意义数，如。许多带根号数是无理数，如、等，但带根号并不是无理数本质特性，由于像，等都是有理数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都是有理数；而无限不循环小数不能化为分数，是无理数。无理数与有理数和、差一定是无理数。无理数乘或除以一种不为0有理数，成果一定是无理数。二 实数及其分类有理数和无理数统称为实数。1. 按定义分类2. 按性质分类例1：把下列各数填入相应集合内：，（每两个之间依次各种），。整数集合 ；正无理数集合 ；负分数集合 ；负实数集合 。三 实数性质（1） 实数相反数实数相反数意义和有理数相反数意义是同样。只有符号不同两个数互为相反数，即实数相反数是。实数与互为相反数，则，反之也成立。（2） 实数绝对值实数绝对值和有理数绝对值意义相似，一种正实数绝对值等于它自身；一种负实数绝对值等于它相反数；0绝对值是0。一种实数绝对值：（3） 实数倒数实数倒数和有理数倒数同样，如果表达一种非零实数，那么与互为倒数。实数与互为倒数，则，反之也成立。（4） 实数与数轴上点是一一相应关系，数轴上每一种点都表达一种实数；反过来，每一种实数都可以用数轴上一种点来表达。在数轴上，右边点相应实数比左边点相应实数大；正实数不不大于一切负实数，0不不大于一切负实数，正实数都不不大于0。任意两个实数间均有无数个有理数和无理数。（5） 实数和有理数同样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范畴内运算律、运算法则在实数范畴内仍合用。 互换律：，； 结合律：，； 分派律：。例2：求下列各数相反数和绝对值。（1） ；（2）；（3）；（4）。掌握办法一 无理数辨认办法判断一种数是不是无理数，核心就看它能不能写成无限不循环小数形式，而把无理数写成无限不循环小数形式不但很麻烦，并且还是咱们运用既有知识无法解决难题。初中常用无理数有三种类型：（1）开方开不尽数方根，但切不可以为带根号数都是无理数；（2）化简后含；（3）不循环无限小数。掌握常用无理数类型有助于辨认无理数。例1：把下列各数分别填入相应括号内。，。二 无理数预计办法对于无理数估算问题，要理解算术平方根、立方根意义。求一种数算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数值在哪两个相邻正整数平方之间，与被开方数差值较小那个正整数算术平方根即为与其最接近整数。求一种数立方根与哪个整数最接近，办法和求一种数算术平方根与哪个整数最接近相似，只要拟定被开方数值在哪两个相邻整数立方之间，再拟定和被开方数差值最小那个整数立方根即可。例2：若，则值所在范畴是（ ） A. B. C. D.三 实数与数轴上点相应关系应用办法每一种实数都可以用数轴上一种点表达；数轴上每一种点都表达一种实数，即数轴上点与实数是一一相应关系。例3：如图所示，数轴上表达，点分别为，点到点距离与点到点距离相等，设点所示数为。（1） 写出实数值；（2） 求值。四 实数大小比较办法比较实数大小办法较多，常用有作差法、作商法、倒数法、平办法、估算法。这里重要简介一下平办法。用平办法比较实数大小根据是对任意正实数，有。例4：比较下面几组数大小：（1） 与；（2）与；（3）与；（4）五 非负数性质应用办法（1） 在实数范畴内，正数和零统称为非负数。常用非负数：任意实数绝对值是非负数，即；任意实数平方（偶次方）是非负数，即（，为正整数）；任意非负数算术平方根是非负数，即。（2） 非负数性质：若两个非负数和为0，那么这两个数一定都为0，常用一下几种形式：若，则；反之亦然。若，则；反之亦然。若，；反之亦然。可推广为个非负数之和为0，则这个非负数一定都为0。非负数有最小值，最小值是0。有限个非负数之和依然是非负数。例5：若为实数，且，则值是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.1六 无理数小数某些拟定办法拟定一种非完全平方数算术平方根小数某些办法：把这个无理数夹在相邻两个整数之间，则较小整数就是这个数整数某些，用这个数减去整数某些就得到它小数某些。例6：已知分别是整数某些与小数某些，则 。