小波分析及应用.pptx
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1、内内 容容 简简 介介1.小波分析的数学基础小波分析的数学基础2.小波分析的发展历程小波分析的发展历程3.小波变换小波变换4.小波分析应用小波分析应用5.主要参考文献主要参考文献1.小波分析的数学基础小波分析的数学基础集合论上定义的三大空间:集合论上定义的三大空间:距离空间、赋范线性空间、距离空间、赋范线性空间、Hilbert空间。空间。相关概念及理论:相关概念及理论:空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由有确定元素的集合构成,并在这些元素间引入某种关系。有确定元素的集合构成,并在这些元素间引入某种关系。
2、距离空间:距离空间:定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间;定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间;定义元素之间代数运算(向量加法及数与向量乘法)的集合称为线性空间;定义元素之间代数运算(向量加法及数与向量乘法)的集合称为线性空间;赋范线性空间:赋范线性空间:定义了元素范数(向量长度的推广)的线性空间称为赋范定义了元素范数(向量长度的推广)的线性空间称为赋范线性空间;线性空间;定义了元素与元素内积(积分运算)的线性空间称为内积空间;定义了元素与元素内积(积分运算)的线性空间称为内积空间;如果再引入极限概念,研究其收敛性,这些空间就是完备的;如果再引入极限概念,研究其收敛性,这些空间就是
3、完备的;Hilbert空间:空间:完备的内积空间就是完备的内积空间就是Hilbert空间。空间。1.1 距离空间的定义距离空间的定义设设R表示一个非空集合,若任意两元素表示一个非空集合,若任意两元素 ,都按一定的规则与一个都按一定的规则与一个实数实数 相对应,且相对应,且 满足以下三公理:满足以下三公理:(1),当且仅当:,当且仅当:时等号成立;(非负性)时等号成立;(非负性)(2);(对称性);(对称性)(3)对)对R中任意三元素中任意三元素 ,有:,有:(三角不等(三角不等式)式)则称则称 为为 和和 的距离,称的距离,称R为距离空间。为距离空间。1.2 赋范线性空间定义赋范线性空间定义设
4、设 为实数(或复数)线性空间,若任意的为实数(或复数)线性空间,若任意的 ,都有一个非负的,都有一个非负的实数实数 与之对应,且满足:与之对应,且满足:(1);(2)(齐性齐性);(3)(三角不等式)。(三角不等式)。则称则称 为为 的范数,称的范数,称 为线性赋范线性空间。为线性赋范线性空间。1.3 Hilbert空间定义空间定义内积空间定义:内积空间定义:设设 是数域(实或复),是数域(实或复),是是 上的线性空间。若对任上的线性空间。若对任意的意的 ,都有唯一的数,都有唯一的数 与之对应,且满足:与之对应,且满足:(1)(2)(3)(4)且且 则称则称 为为 的内积,称的内积,称 为内积
5、空间。其中(为内积空间。其中(1),),(2)是对第一变元线性性;()是对第一变元线性性;(3)为共扼对称性;()为共扼对称性;(4)为正定性。)为正定性。HibertHibert空间定义空间定义:若内积空间若内积空间 按范数按范数 完备,则称完备,则称 为为Hibert空空间。间。1.4 小波分析的数学基础小波分析的数学基础q 首先,小波变换以空间理论为基础的;首先,小波变换以空间理论为基础的;q 小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的,小小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的,小波构造及运算规则都与波构造及运算规则都与HilbertHilbert空间理论密不可分;空间理论密不可分;q 小波
6、分析的数学基础课程如下:泛函分析、矩阵小波分析的数学基础课程如下:泛函分析、矩阵分析、数值分析、数理统计。分析、数值分析、数理统计。2.小波分析的发展历程小波分析的发展历程FourierFourier变换:变换:18071807年由年由FourierFourier提出,时域到频域的域变换;提出,时域到频域的域变换;19091909年年A.HaarA.Haar提出提出HaarHaar函数系函数系,正交、对称、紧支撑,但不光滑;,正交、对称、紧支撑,但不光滑;19361936年年Littlewood-PaleyLittlewood-Paley提出对频率按提出对频率按 进行划分;进行划分;19461
7、946年,年,GaberGaber提出提出窗口窗口FourierFourier变换变换;19481948年年ShannonShannon建立建立信息论信息论,后来发现可用小波基不失真传输编码的存在;,后来发现可用小波基不失真传输编码的存在;19741974年,年,Guido WeissGuido Weiss和和R.Coifman R.Coifman 研究函数空间研究函数空间原子分解原子分解及重构;及重构;19811981年年Morlet Morlet 首先提出首先提出小波分析小波分析的概念;的概念;19841984年年J.MorletJ.Morlet和物理学家和物理学家A.GrossmanA.
8、Grossman第一次提出第一次提出“WaveletWavelet”一词;一词;19851985年年MeyerMeyer证明了一维小波基的存在,证明了一维小波基的存在,19861986年国际上掀起小波研究的热潮;年国际上掀起小波研究的热潮;19871987年年MeyerMeyer和和MallatMallat合作提出合作提出多分辨分析多分辨分析的框架;的框架;19881988年年DebauchiesDebauchies构造出紧支集有限光滑小波函数(构造出紧支集有限光滑小波函数(b b),发表著名长文;),发表著名长文;19901990年崔锦泰和王建忠构造了单正交年崔锦泰和王建忠构造了单正交样条小
9、波基样条小波基;19921992年经典小波的基本理论已成熟,国内年经典小波的基本理论已成熟,国内19911991年发表第一篇小波论文。年发表第一篇小波论文。2.1 Heisenberg 不确定原理不确定原理HeisenbergHeisenberg不确定原理限制了时频能量的同时集中!不确定原理限制了时频能量的同时集中!HeisenbergHeisenberg不确定理:不确定理:如果如果 ,时间的根方差为,时间的根方差为 ,频率的根方差为频率的根方差为 则则:即即:时时频局域化只能在均方意义下获得:频局域化只能在均方意义下获得:这种局域化可表示为这种局域化可表示为Heisenberg Box:He
10、isenberg Box:2.2 傅立叶分析傅立叶分析Fourier Fourier 变换把信号从时间域变到频率域,在时间域内难以观察的现象和规变换把信号从时间域变到频率域,在时间域内难以观察的现象和规律,在频率域内往往能十分清楚地显示出来。连续律,在频率域内往往能十分清楚地显示出来。连续FourierFourier变换定义如下:变换定义如下:FT时频相平面图timeAmplitudeFourier Fourier 变换的缺陷:变换的缺陷:在时域表示中不能直接利用信号的频域信息;在频域在时域表示中不能直接利用信号的频域信息;在频域表示中,也不能直接利用信号的时域信息表示中,也不能直接利用信号的
11、时域信息,傅立叶分析没有时傅立叶分析没有时频局域化能力。频局域化能力。2.3 窗口傅立叶分析窗口傅立叶分析窗窗口口FourierFourier变变换换在在点点附附近近局局部部地地测测量量了了频频率率为为的的正正弦弦分分量量 ,使使FoureierFoureier在时域与频域内均有局域化功能。在时域与频域内均有局域化功能。连续窗口连续窗口FourierFourier变换如下:变换如下:积积 分分 核核:窗口窗口FourierFourier变换的缺陷:变换的缺陷:一旦选定特定大小的时间窗口,它对整个信号的一旦选定特定大小的时间窗口,它对整个信号的所有频率是固定不变的,这就不适于处理频率成分随时间变
12、化的瞬变信号。所有频率是固定不变的,这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。2.4 小波分析的时频特性小波分析的时频特性在空间在空间 中小波函数中小波函数 是一经伸缩和平移得到的一族双窗口函数:是一经伸缩和平移得到的一族双窗口函数:满足下述条件:满足下述条件:(1 1)具有)具有k k阶消失矩:阶消失矩:(2 2)容许条件:)容许条件:(3 3)稳定性条件:)稳定性条件:在信号频率降低时,尺度参数在信号频率降低时,尺度参数a a增大,小波的时窗变宽,同时频窗变窄;增大,小波的时窗变宽,同时频窗变窄;在信号频率增高时,尺度参数在信号频率增高时,尺度参数a a减小,小波的时窗变窄,同时频窗变宽
13、。减小,小波的时窗变窄,同时频窗变宽。FourierFourier变换的重要性质之一是其伸缩性。变换的重要性质之一是其伸缩性。对于小波有:对于小波有:在某一尺度在某一尺度a a下小波的双窗口宽度如下:下小波的双窗口宽度如下:小波基函数的窗口面积不随参数小波基函数的窗口面积不随参数 而变,改变而变,改变 对对 和和 的的伸展或收缩作用刚好相反,因此小波分析的时伸展或收缩作用刚好相反,因此小波分析的时频窗口大小可以自适应变化!频窗口大小可以自适应变化!2.5 小波时小波时频窗的自适应变化频窗的自适应变化2.6 小波分析的优越性小波分析的优越性 Fourier 变换:变换:时间到频率的域变换,没有时
14、频局化功能,时间到频率的域变换,没有时频局化功能,可离散正交化,有快速算法可离散正交化,有快速算法FFTFFT。窗窗口口Fourier变变换换:时时窗窗固固定定的的FourierFourier变变换换,有有时时频频局局域域化功能,但性能不好;不能离散正交化。化功能,但性能不好;不能离散正交化。小小波波变变换换:时时窗窗-频频窗窗可可自自适适应应变变化化的的双双窗窗口口变变换换,时时频频局局域化能力强;有离散正交化(或双正交)有快速算法域化能力强;有离散正交化(或双正交)有快速算法FWTFWT。变窗口、平移和正交性是分析信号的重要条件!变窗口、平移和正交性是分析信号的重要条件!2.7 三种分析方
15、法的一个比喻三种分析方法的一个比喻 我们可以把要分析的全体信号看成为一个信息大厦,而把三种分析我们可以把要分析的全体信号看成为一个信息大厦,而把三种分析方法所用核函数看作为建造这些大厦的用砖,则有如下的一个比喻:方法所用核函数看作为建造这些大厦的用砖,则有如下的一个比喻:n傅立叶分析:傅立叶分析:核函数是正弦波,这是一块很长很长的预制块(理论上核函数是正弦波,这是一块很长很长的预制块(理论上无限长),品种、规格均单一,只能用来建造类似长城这样的简单建筑,无限长),品种、规格均单一,只能用来建造类似长城这样的简单建筑,即不具备局域化能力,只能分析平稳信号。即不具备局域化能力,只能分析平稳信号。n
16、窗口傅立叶分析:窗口傅立叶分析:核函数是高斯窗包络下缩短了的正弦波,它把傅立核函数是高斯窗包络下缩短了的正弦波,它把傅立叶变换中的长大形预制块截短成长方形的砖头,品种仍然单一,规格增叶变换中的长大形预制块截短成长方形的砖头,品种仍然单一,规格增加了,但在使用时只能用一个规格,可以建造不同大小的方形大厦。即加了,但在使用时只能用一个规格,可以建造不同大小的方形大厦。即初步具备局域化能力,可以分析变化不太剧烈的非平稳随机信号。初步具备局域化能力,可以分析变化不太剧烈的非平稳随机信号。n小波分析:小波分析:核函数是小波基,它能灵活伸缩变化,这是形状各一、大核函数是小波基,它能灵活伸缩变化,这是形状各
17、一、大小不同,可按需求定制的形形色色的砖头,可谓种类、规格繁多,能建小不同,可按需求定制的形形色色的砖头,可谓种类、规格繁多,能建筑各种风格的大厦。即具有极其灵活的局域化能力,可以分析各种平稳筑各种风格的大厦。即具有极其灵活的局域化能力,可以分析各种平稳信号及非平稳随机信号。信号及非平稳随机信号。3.小波变换小波变换3.1 几点解释几点解释(2)支撑区:)支撑区:支撑区是函数或信号自变量的定义域,它是一个闭集,支撑区是函数或信号自变量的定义域,它是一个闭集,在这个集上信号或过程是非零的,在支撑区之外信号或过程迅速下降在这个集上信号或过程是非零的,在支撑区之外信号或过程迅速下降为零。为零。(1)
18、小波的涵义:)小波的涵义:从物理意义上,小波函数从物理意义上,小波函数 是指一类迅速衰减、是指一类迅速衰减、均值为零的波;从数学意义上又称为子波,因为小波族是一个称为母均值为零的波;从数学意义上又称为子波,因为小波族是一个称为母小波函数经过伸缩和平移而产生的,它们具有自相似的特征。小波函数经过伸缩和平移而产生的,它们具有自相似的特征。(3)几个约定:)几个约定:小波分析所涉及的函数空间是小波分析所涉及的函数空间是 ;小波函数在时域记为:小波函数在时域记为:,在频域记为:,在频域记为:;尺度函数在时域记为:尺度函数在时域记为:,在频域记为:,在频域记为:。3.2 连续小波变换连续小波变换对于任意
19、函数或信号对于任意函数或信号 ,其小波变换为:,其小波变换为:其逆变换为:其逆变换为:3.3 二进小波二进小波如果小波函数如果小波函数 满足稳定性条件:满足稳定性条件:则对于任意则对于任意j,称为二进小称为二进小波:波:A/B愈愈接接近近于于1,稳稳定定性性越越强强,当当A=B时时最最稳稳定定。与与连连续续小小波波比比不不会会损损失失基基本本信信息息,由由于于其其正正交交性性消消除除空空间间冗冗余余信信息,变换结果更能反映信号本身的性质。息,变换结果更能反映信号本身的性质。3.4 二进小波变换二进小波变换(Dyadic Wavelet Transform)为了简化数值计算,尺度沿着二进序列为了
20、简化数值计算,尺度沿着二进序列 被采样,被采样,这样就有了下面的二进小波变换。这样就有了下面的二进小波变换。对于任意的函数对于任意的函数 ,其二进小波变换为:,其二进小波变换为:其逆变换为:其逆变换为:当当A=B时:时:当当A B时:时:3.5 多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis)上上的的一一列列闭闭线线性性子子空空间间 和和函函数数 共同称为多分辨分析,如果它们满足如下要求:共同称为多分辨分析,如果它们满足如下要求:(1)单调性:)单调性:(4)伸缩性:)伸缩性:(5)构造性:)构造性:(3)稠密性:)稠密性:(2)唯一性:)唯一性:生成生成 的标准正交基
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